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上海市静安区2018届高三二模数学试卷

上海市静安区 2018 届高三二模数学试卷
2018.05

一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知集合 A ? {1,3,5,7,9} , B ? {0,1,2,3,4,5} ,则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是 2. 若复数 z 满足 z(1 ? i) ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 | z | ? 3. 函数 y ? lg 的定义域为 (x ? 2) 4. 在从 4 个字母 a 、 b 、 c 、 d 中任意选出 2 个不同字母的试验中,其中含有字母 d 事件 的概率是
3 5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm 的几何体的三视图,则 h ?

6. 如上右图,以长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点,过 D 的三条棱所在的直线 为坐标轴,建立空间直角坐标系,若 DB1 的坐标为 (4,3, 2) ,则 BD1 的坐标为 7. 方程 cos 2 x ? ?

uuu r

uuu r

3 的解集为 2

8. 已知抛物线顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,抛物线上 一点 M (a, ?4) (a ? 0) 到焦点 F 的距离为 5,则该抛物线的 标准方程为 9. 秦九韶是我国南宋时期数学家,他在所著的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算 法,右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入 n 、 x 的值分别为 4、2,则输出 q 的值为 (在算法语言中用“ ? ”表示乘法运算符号,例如 5 ? 2 ? 10 ) 10. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ( n ? N* ) ,且

S6 19 15 ? ? , a4 ? a2 ? ? ,则 a 3 的 S3 8 8

值为 11. 在直角三角形 ABC 中, ?A ? , AB ? 3 , AC ? 4 ,E 为三角形 ABC 内一点, 2 uuu r uu u r uuu r 2 且 AE ? ,若 AE ? ? AB ? ? AC ,则 3? ? 4? 的最大值等于 2 12. 已知集合 A ? {( x, y) | ( x ? y)2 ? x ? y ? 2 ? 0} ,

?

a B ? {( x, y ) | ( x ? 2a ) 2 ? ( y ? a ? 1) 2 ? a 2 ? } ,若 A 2
二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 能反映一组数据的离散程度的是( A. 众数 B. 平均数 )

B ? ? ,则实数 a 取值范围为

C. 中位数

D. 方差

14. 若实系数一元二次方程 z 2 ? z ? m ? 0 有两虚数根 ? ,? , 且| ? ? ?| ? 那么实数 m 3 , 的值是( A. ) B. 1 C. ?1 D. ?

5 2

5 2

15. 函数 f ( x) ? Asin(?x ? ?) ( A ? 0, ? ? 0) 的部分 图像如图所示,则 f ( ) 的值为(

?

3



A.

2 2

B.

3 2

C.

6 2

D. 0

16. 已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 10 , 实数 x1 、x2 、x3 满足 x1 ? x2 ? 0 ,x2 ? x3 ? 0 ,x3 ? x1 ? 0 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 的值( A. 一定大于 30 C. 等于 30 ) B. 一定小于 30 D. 大于 30、小于 30 都有可能

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间 t 的连续函数(即函数图像不间断). 昆虫密度 C 是指

?t ? 2 ?1000(cos( ? 4? ) ? 2) ? 990, 8 ? t ? 16 每平方米的昆虫数量,已知函数 C (t ) ? ? , 2 ?m, 0 ? t ? 8或16 ? t ? 24 ? 这里的 t 是从午夜开始的小时数, m 是实常数, m ? C (8) .
(1)求 m 的值; (2)求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.

18. 已知椭圆 ? 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,两焦点分别 为 F1 和 F2 ,椭圆 ? 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.
2 2 圆 Ak : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为 Ak .

(1)求△ Ak F1F2 的面积; (2)若椭圆上所有点都在一个圆内,则称圆包围这个椭圆. 问:是否存在实数 k 使得圆 Ak 包围椭圆 ? ?请说明理由.

19. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, AC 与 BD 交于点 O , OP ? 底面 ABCD , 点 M 为 PC 中点, AC ? 2 , BD ? 1, OP ? 2 . (1)求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; (2)求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值.

20. 已知数列 {an } 中,a1 ? a ( a ? R, a ? ? ) ,an ? 2an ?1 ? 又数列 {bn } 满足: bn ? an ?

1 2

1 1 ? ,n ? 2 ,n ? N* . n n(n ? 1)

1 , n ? N* . n ?1

(1)求证:数列 {bn } 是等比数列; (2)若数列 {an } 是单调递增数列,求实数 a 的取值范围; (3)若数列 {bn } 的各项皆为正数, cn ? log 1 bn ,设 Tn 是数列 {cn } 的前 n 和,问:是否存
2

在整数 a ,使得数列 {Tn } 是单调递减数列?若存在,求出整数 a ;若不存在,请说明理由.

21. 设函数 f ( x) ? | 2 x ? 7 | ?ax ? 1 ( a 为实数). (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 0 ;

x ? 0 时,关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 成立,求 a 的取值范围; 1? x 2 x ?1 (3)设 g ( x ) ? ,若存在 x 使不等式 f ( x) ? g ( x) 成立,求 a 的取值范围. ?a x ? 1
(2)若当

参考答案
一. 填空题 1. {0, 2, 4} 6. (?4, ?3,2) 9. 50 10. 2.

2

3. [?1, ??)

4.

1 2

5. 4

7. {x | x ? k? ?

5? , k ? Z} 12
12. [?

8. x 2 ? ?4 y

9 4

11. 1

19 ? 109 ,0] 14

二. 选择题 13. D 14. A 15. C 16. B

三. 解答题 17. 解(1) m ? C(8)=1000(cos0+2)2 ? 990 ? 8010 ; (2)当 cos( ……4 分

?
2

? ( t ? 8)) ? ?1 时,C 达到最小值,得

?
2

? (t ? 8) ? (2k +1)? , k ? Z ,……8 分

又 t ? [8,16] ,解得 t ? 10 或 14. 所以在 10:00 或者 14:00 时,昆虫密度达到最小值 10. 18. 解: (1)设椭圆方程为: 由已知有 2a ? 12, a ? 2b , 所以椭圆方程为: 圆心 Ak (?k , 2) 所以,△ Ak F1F2 的面积 S Ak F1F2 ? ……14 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,……1 分 a 2 b2
……2 分 …… 3 分 ……5 分

x2 y 2 ? ?1, 36 9

1 1 F1 F2 ? y AK ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2

……6 分

(2)当 k ? 0 时,将椭圆椭圆顶点(6,0)代入圆方程得:

62 ? 02 ? 12k ? 0 ? 21 ? 15 ? 12k ? 0 ,可知椭圆顶点(6,0)在圆外;……10 分
当 k ? 0 时, ( ? 6)2 ? 02 ?12k ? 0 ? 21 ? 15 ?12k ? 0 ,可知椭圆顶点(-6,0)在圆外; 所以,不论 k 取何值,圆 Ak 都不可能包围椭圆 Γ.……14 分 19. 解: (1)因为 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD .又 OP ? 底面 ABCD ,以 O 为原点, 直线 OA, OB, OP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系. ……1 分

1 , 0,1) . 2 5 1 1 所以 AP ? (?1,0, 2) , BM ? (? , ? ,1) , AP ? BM ? , 2 2 2
则 A(1, 0, 0) , B (0, , 0) , P(0, 0, 2) , C (?1, 0, 0) , M ( ?

1 2

| AP |? 5 , | BM |?
则 cos ? AP, BM ??

6 . 2

……3 分

AP ? BM 5 30 . ? ? 6 | AP || BM | 5? 6
30 ……6 分 6

故异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为

(2) AB ? (?1, , 0) , BM ? (? , ? ,1) . 设平面 ABM 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

1 2

1 2

1 2

1 ? ?x ? y ? 0 ? ? n ? AB ? 0 ? ? 2 则? ,得 ? ,令 x ? 2 ,得 y ? 4 , z ? 3 . ? ?? 1 x ? 1 y ? z ? 0 ?n ? BM ? 0 ? ? 2 2
得平面 ABM 的一个法向量为 n ? (2, 4,3) . 又平面 PAC 的一个法向量为 OB ? (0, , 0) , ……9 分

1 ……10 分 2 1 n ? OB 4 4 ? ? 29 . 所以 n ?OB ? 2 , | n |? 29 , | OB |? .则 cos ? n, OB ?? 2 | n || OB | 29 29 4 29 . 故平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值为 ……14 分 29 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2an ?1 ? ? ? ? 2an ?1 ? ? ? ? 20. 解: (1) an ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n n n ?1 n ?1 2 1 b ? 2an ?1 ? ? 2(an ?1 ? ) ……2 分 即 n ?2 ……3 分 n n bn?1 1 1 1 又 b1 ? a1 ? ? a ? ,由 a ? ? ,则 b1 ? 0 2 2 2 1 所以 {bn } 是以 b1 ? a ? 为首项,2 为公比的等比数列. ……4 分 2 1 n ?1 1? 1 ? (2) bn ? (a ? ) ? 2 ,所以 an ? ? a ? ? ? 2n ?1 ? ……6 分 2 2? n ?1 ?
若 {an } 是单调递增数列,则对于 n ? N , an?1 ? an ? 0 恒成立
*

……7 分

1? 1 1? 1 ? ? an?1 ? an ? ? a ? ? ? 2n ? ? ? a ? ? ? 2n?1 ? 2? n?2 ? 2? n ?1 ? 1? 1 1 1? 1 ? ? = ? a ? ? ? 2n?1 ? ? = ? a ? ? ? 2n?1 ? 2? n ?1 n ? 2 ? 2? (n ? 1)(n ? 2) ?
由?a ? ∵?

……8 分

? ?

1 1 1 ? n?1 1 * 对于 n ? N 恒成立, ? 0 ,得 a ? ? ? n ?1 ??2 ? 2 2 (n ? 1)(n ? 2) 2? (n ? 1)(n ? 2)

1 1 1 ? 0 , lim[? n?1 ]?0, 递增,且 ? n ?1 n ?? 2 (n ? 1)(n ? 2) 2 (n ? 1)(n ? 2) 2 (n ? 1)(n ? 2)
n ?1

所以 a ?

1 1 1 ? 0 ,又 a ? ? ,则 a ? ? . 2 2 2

……10 分

(3)因为数列 {bn } 的各项皆为正数,所以 a ? 则a ? ?

1 ? 0, 2
……13 分

1 1 1 . cn ? log 1 [(a ? )2n ?1 ] ? ?n ? 1 ? log 2 (a ? ) , 2 2 2 2

若数列 {Tn } 是单调递减数列,则 T2 ? T1 ,即

1 1 1 1 1 ?2 log 2 (a ? ) ? 1 ? ? log 2 (a ? ), log 2 (a ? ) ? ?1 ,即 a ? ? , 2 2 2 2 2 1 所以 ? ? a ? 0 .不存在整数 a ,使得数列 {Tn } 是单调递减数列. ……16 分 2
21. 解: (1)由 f ( x) ? 0 得 2x ? 7 ? x ?1 , 解不等式得 ? x | x ? ……1 分

? ?

8 ? 或x ? 6? 3 ?

……4 分

(利用图像求解也可)

x ? 0 解得 0 ? x ? 1 .由 f ( x) ? 1 得 | 2 x ? 7 | ?ax ? 0 , 1? x 当 0 ? x ? 1 时,该不等式即为 (a ? 2) x ? 7 ? 0 ; ……5 分
(2)由 当 a =2 时,符合题设条件; 下面讨论 a ? 2 的情形, 当 a ? 2 时,符合题设要求; 当 a ? 2 时, x ? ……7 分 ……6 分

7 7 ? 1 ,解得 2 ? a ? ?5 ; ,由题意得 2?a 2?a
……10 分

综上讨论,得实数 a 的取值范围为 ?a | a ? ?5? (3)由 g ( x) ?

2

x ?1

?a x ? 1

=2 x ? 1 ? a ( x ? 1) ,

……12 分

代入 f ( x) ? g ( x) 得 | 2 x ? 7 | ?2 | x ? 1| ?1 ? a ,令 h( x) ?| 2 x ? 7 | ?2 | x ? 1| ?1,

? ? 6, x ? 1 ? 7 ? 则 h( x) ? ??4 x ? 10,1 ? x ? , 2 ? 7 ? ?4, x ? ? ? 2 ∴ h( x)min ? ?4 ……15 分

7 ?4 ? h( ) ? h( x) ? h(1) ? 6 , 2

若存在 x 使不等式 f ( x) ? g ( x) 成立,则 h( x)min ? a,即a ? ?4 .

……18 分


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