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第四章连续时间系统的S域分析_图文

4.5 拉普拉斯反变换
inverse laplace transform

k 1 = ( s + 1) × s+4 3 2( s + 1)( s + ) 2 s =?1 = 3 或k 1 =

N (s) s+4 = =3 D′( s ) s =s1 4s + 5 s =?1

N ( s) s+4 5 k 2 = lim = =? s → s 2 D′( s ) 4s + 5 s =? 3 2
2

s+4 5 ? 2t ?1 ?t ∴L [ 2 ] = 3e ? e 2 s + 5s + 3 2 se ?2 s 例2、求L?1[ 2 ] s + 2s + 5 解：令D( s ) = s 2 + 2 s + 5 = 0
3

t≥0

θ = tg ?1

S 1、 = ?1 ± jα 2

1 2 可以证明 k 2 = k ?1 = 5 ? jθ e 4

s k1 k2 = + s 2 + 2 s + 5 s ? s1 s ? s 2 N (s) s ?1 + j2 5 jθ k1 = = = = e D′( s ) s = s1 2 s + 2 s = ?1+ j 2 ? 2 + 4 j + 2 4

L?1[

5 ?t s ] = 2× e cos(2t + θ ) 2 s + 2s + 5 4 = 2 k 1 eαt cos(ωt + θ )

s1 = α + jw s2 = α ? jw k1 e jθ es1t + k1 e? jθ es 2t ?1 j (θ +ωt ) ? j (θ +ωt ) ? = 2 k1 e ? [e +e ]? 2 ? ? = 2 k1 eαt cos( t + θ ) ω
αt

se ? 2 s 5 ?2(t ?2) ∴L [ 2 ]= e cos[2(t ? 2) + θ ]u (t ? 2) s + 2s + 5 2
?1

s+2 例3、求L [ ] 2 s ( s + 1) ( s + 3)
?1

s+2 k1 k2 k 31 k 32 = + + + 2 2 s ( s + 1) ( s + 3 ) s s + 3 ( s + 1) ( s + 1) s+2 k1 = ( s + 1) 2 ( s + 3 ) k2 =
k 31 =

s=0

2 = 3

s+2 s ( s + 1) 2

=
s = ?3

1 12

s+2 1 × ( s + 1) 2 =? s = ?1 s ( s + 1) 2 ( s + 3) 2

? d s+2 ? 3 =? k 32 = ? [ ]? 4 ? ds s ( s + 3) ? s = ?1 s+2 2 1 3 ? t 1 ? 3t ?1 ∴L [ ] = ? [t + ]e + e 2 s ( s + 1) ( s + 3) 3 2 2 12

t≥0

s 3 + 6s 2 + 15s + 11 例4、求L?1[ ] 2 s + 5s + 6 解 : Q n < m 不能直接用部分分式法。 将F ( s )中分子多项式与分母多项式相除，得 4s + 5 ?3 7 F (s) = s + 1 + 2 = s +1+ + s + 5s + 6 s+2 s+3

t≥0

k1 kk kn 1、D( s) = 0, 有单实根，F ( s) = + ... + + ... + s ? sn s ? s1 s ? sk N ( s) N ( s ) N ( sn ) kn = × ( s ? sn) s = sn = lim = s → sn D′( s ) D( s) D′( sn) f (t ) = k 1e s1t + k 2e s 2 t + L + kne snt

N ( s) 的展开 D( s )

2、D( s ) = 0有一对共轭复根s1 = α + jω , s 2 = α ? jω N ( s1) jθ ? jθ k1 = k1 e k2 = k2 e k1 = D′( s1) k1 k2 F (s) = + s ? s1 s ? s 2 f (t ) = 2 k 1 eαt cos(ωt + θ )

3、D(s) = 0有p重根 k11 k12 k1 p F (s) = + + ... + (s ? s1) p (s ? s1) p?1 s ? s1 1 ? d m?1 p ? k1m = ? m?1 [F (s)(s ? s1) ]? (m ? 1)! ? ds ? s = s1

1 1 p?1 f (t ) = [k11 t + k12 t p?2 + L + k1 p]es1t ( p ? 1)! ( p ? 2)!

4.6 线性系统的拉普拉斯变换分析法

1、基尔霍夫定律的复频 域形式（运算形式） 由∑ ik ( t ) = 0
k =1 m

∑ u (t ) = 0
k k =1

m

∑ I ( s) = 0
k k =1

m

∑ U ( s) = 0
k k =1

m

2、R、L、C元件的s域模型
i R
u = Ri 时域关系

I (s ) R
U (s) = I (s) R 复频域关系

u

U (s )

i

C

1 CS

I (s )

cu (0?)

1 CS

u (0 ? ) s

+ ?
U (s )
1 — —复频域阻抗 CS

I (s ) u du i=c U (s ) dt L[i ] = csU ( s ) ? cu (0?) I [ s ] = csU ( s ) ? cu (0?)
i (t )

L
u (t )

I (s ) LS Li (0?)

LS
i (0 ? ) s

?
di(t ) dt U [i] = LsI ( s) ? Li (0?) u (t ) = L

+

I (s)
U (s )
SL — —电感元件的复频域阻抗

U (s )

K "1" "2"
1? 1H

+ 9V ?

+ 2F 6V ?

2?

L

6 L[6u (t )] = s

(3)画s域模型电路 1?

1?

+
?
6 s

+
?
6 s

1 2s

S ? 3V + 2?

U 0( s )

=
+
?
6 s

+ ? 1?
6 s

1 2s

S ? 3V + 2?

U 0 zi ( s )

(b)

(a)

+

1 2s

S U 0 zs ( s ) 2?

(c)

(4)求响应象函数 图(b)列节点方程 1 1 3 ( + 2s + )U 0 zi ( s ) = 12 ? 1 s+2 s+2 12 s + 21 9 3 解得：U 0 zi ( s ) = = ? ( s + 1)(2 s + 3) s + 1 s + 3 2 图(c)列节点方程 1 6 (1 + 2 s + )U 0 zs ( s ) = s+2 s 6( s + 2) 4 6 2 解得：U 0 zs ( s ) = = ? + s ( s + 1)(2 s + 3) s s + 1 s + 3 2

u 0 zi (t ) = L?1[U 0 zi ( s )] = [9e ?t ? 3e ?1.5t ]u (t ) u 0 zi (t ) = L?1[U 0 zs ( s)] = [4 ? 6e ?t + 2e ?1.5t ]u (t ) 全响应 = u 0(t ) = u 0 zi (t ) + u 0 zs (t ) = [4 + 3e ?t ? e ?1.5t ]u (t )

2、H (s )的分类 对于一端口网络，激励e( t )和响应r ( t )在同一端口。
I (s )
U (s )

H (s )

U (s) ①H ( s ) = — —策动点阻抗函数 I ( s) I ( s) ②H ( s ) = — —策动点导纳函数 U (s)

I 1( s )
U 1( s )

I 2( s ) H (s ) U 2( s )

I 1( s )

R 2 I 2( s ) R1

+ Us (s ) ?

1 sc

1

2

1 + R1) I 1( s) ? R1I 2( s ) = Us ( s) (1) sc SL 回路2： ? R1I 1( s) + ( R1 + R 2 + SL) I 2( s ) = 0 (2)

3、H ( s )的一般性质。 (1) h( t ) = L?1[ H ( s )] R( s ) 证 : Q H ( s) = E( s)

e( t ) = δ( t ), 此时R( s ) = H ( s ) 故e( t ) = h( t ) = L?1[ H ( s )]

2?

L 2H
C

R1

SL

+
i (t ) u1(t )

R1
1F

+ 2? R2
Is ( s) U 1( s)

1 CS

R2

?

?

R( s ) U 1( s) = — —策动点阻抗 E ( s) Is ( s ) 1 ( LS + R 2) CS = 2 + S + 1 H ( s ) = R1 + 1 1 LS + R 2 + S2 + S + CS 2 1 1 1 2 令D ( s ) = S + S + S 1、 = ? ± j 2 2 2 2 k1 k2 + H ( s) = 2 + S ? S1 S ? S 2

k1 =

1 S +1 S +1 = = ∠ ? 45o D′( s ) S = S 1 2S + 1 S = S 1 2
1 ? t 2

1 cos( t ? 45o ) t ≥ 0 2

2S 2 + 6S + 6 解得 R( s ) = 3 E ( s) 2 S + 6S + 11S + 6 由H ( s)定义，得 R( s) 2S 2 + 6S + 6 2S 2 + 6S + 6 H (s) = = 3 = 2 E ( s ) S + 6S + 11S + 6 ( S + 1)( S + 2)( S + 3) 1 2 3 = ? + S +1 S + 2 S + 3 故 h(t ) = L?1[ H ( s )] = (e ?t ? 2e ? 2t + 3e ?3t )u (t )

( 2) H ( s ) =

N ( s) 为s的有理分式，N ( s ) = 0的根zi称为系统的零点， D( s )

D( s ) = 0的根pj称为系统的极点，且极点就是对应系统输入输出 微分方程的特征根。特征根也称为系统的自然频率(或固有频率)。

(i ) i =0 i =0 n n

(1)

i i =0 i =0 m n m

R( s) H (s) = = E (s)

∑b s
i

i

∑as
i i =0

i =0 n

i

bms m + bm ? 1s m ?1 + L + b0 = ans n + an ? 1s n ?1 + L + a 0

i =0 n

n

i =0

j
24

? 12 ? 8 ? 4 0

+1
0 1

2 3

t (s )

(a)

(b)

s +8 解：由零、极点分布可知 H ( s ) = ( s + 4)( s + 12) ∴ h(t ) = L?1[ H ( s )] = 0.5(e ? 4t + e ?12t )ε (t )
1 单位阶跃响应为R( s ) = H ( s ) × E ( s) = H ( s) × s 1 s +8 ?1 ?1 r (t ) = L [ H ( s ) ? ] = L [ ] s s ( s + 4)( s + 12) 1 1 1 = [ ? e ? 4t ? e ?12t ]u (t ) 6 8 24 零状态响应rzs (t ) = 2[e ?4( t ?1) + e ?12( t ?1) ]u (t ? 1)

24 24 ? 4 (t ? 2 ) ?12 (t ? 2 ) +[ ? e ?e ]u (t ? 2) 6 8 24 24 ? 4 (t ?3) ?12 ( t ?3) ?[ ? e ?e ]u (t ? 3) 6 8

(3) H ( s )与时域分析中的转移算子H ( p)具有相同的形式。

4.7

①加法器: 加法器:
x 1(t )

X 1( s ) x 2 (t) X 2( s )

y (t ) Y (s)

y (t ) = x1( t ) + x 2 ( t ) Y ( s ) = X 1( s ) + X 2 ( s )

②乘法器: 乘法器:

x (t ) X ( s)

a

y (t ) Y (s)

y (t ) = ax(t ) Y ( s ) = aX ( s )

③初始条件为零的积分器
x(t )

t 0

y (t )

X (s )

1 s

Y (s)

y (t ) = ∫ x(τ ) dτ 时域形式

Y ( s) =

1 x( s) s 复频域形式

y ( 0)

y (0) s

x(t )

t 0

y (t )

X (s )

1 s

y (0) X ( s) + s s

Y (s )

y (t ) = y (0) + ∫ x(τ )dτ

Y (s) =

y '+ a 0 y = x

2、一阶微分方程的模拟

y' = x ? a0 y
X (s )

x

y'

? a0

y

sY (s )

1 s

Y (s )

? a0

3、二阶系统的模拟

y''+a1y'+a0y = x
x(t )

y ' ' = x ? a1 y '?a 0 y

y' '

y'

y

? a1

? a0

4、含有x的导数的二阶系统的模拟 y′′ + a1 y′ + a 0 y = b1 x ′ + b 0 x

X

q′′

q′

a1
? a0

b1 q

b2

y

5、并联模拟框图 一般n阶系统的方程为

y(n) +an ?1y(n?1) +...+a1y'+a 0y =bmx(m) +...+b 1x'+b0x (m<n)
bms m + bm ? 1s m ?1 + ...b1s + b 0 Y ( s ) 则 H (s) = n = n ?1 s + an ? 1s + ...a1s + a 0 X (s) ( s ? z1)( s ? z 2)...( s ? zm ) = bm ( s ? p1)( s ? p 2)...( s ? pn) k1 k2 kn = + + ... + s ? p1 s ? p 2 s ? pn = H 1( s) + H 2( s ) + L + Hn ( s )

H 1( s )

x(s )

H 2( s )

Y (s )
n级一阶子系统的并联

Hn (s )

… …

6、级联模拟框图
H ( s) = H 1( s) H 2( s )...Hr ( s )

X( s)
H 1( s )

H 2( s )

...

Hr (s )

Y( s)

r级一阶或二阶子系统级 联

1 s 3 + 3s 2 + 2s + 1

∴ s 3Y ( s) + 3s 2Y ( s) + 2sY ( s) + Y ( s) = X ( s) s 3Y ( s) = X ( s) ? s 2Y ( s) ? 2sY ( s) ? Y ( s) 于是可得零状态下的系统模拟框图
X

s 3Y ( s )
1 s

+ ∑+ + ?3 +

s 2Y ( s )

sY (s )
1 s 1 s

Y (s )

?2

?1

1
X (t )

+ ∑+ +

?3
?2

?

+

y (t )

(a )

X (s )

s ?1q ( s ) q (s )
1 s 1 s

+ ∑+ +

1 s ?2 q ( s )

?

+

y (s )

?3
?2

(b)

s ?1 ? s ? 2 将(1)式代入上式，得 Y ( s ) = X ( s) ?1 ?2 1 + 3s + 2 s

Y ( s) s ?1 ? s ?2 s ?1 ?2 3 ∴ H (s) = = = 2 = + ?1 ?2 X ( s ) 1 + 3s + 2 s s + 3s + 2 s + 1 s + 2 故h(t ) = L?1[ H ( s )] = (3e ? 2t ? 2e ?t )u (t )
(2)由H ( s )得( s 2 + 3s + 2)Y ( s ) = sX ( s ) ? X ( s ) ∴系统的微分方程为 ∴ 系统的微分方程为 y′′(t ) + 3 y′(t ) + 2 y (t ) = x′(t ) ? x(t ) 1 (3) X (s) = L[ x(t )] = s +3 s ?1 1 ?1 3 2 Y ( s) = H ( s) X ( s) = × = + + (s + 1)(s + 2) s + 3 s + 1 s + 2 s + 3

4.8 信号流图

X (s )

1

sY (s)
1 s

Y (s ) 1

Y (s)

? a0
-

Masan 公式为 H＝ 1 ?

∑G
k
i j

k?k

H为总传输值。

?＝1－∑ Li＋∑ LiLj ?
i i，j

∑ L L Lk＋L
i，j，k

? 称为信号流图的图行列式 Li 为第i个环的传输值； LiLj 为各个可能的互不接触的两环传输值的乘积； LiLjLk 为各个可能的互不接触的三环传输值的乘积；

Gk为正向传输路径的传输值。

?k为与传输值是Gk 的第k种正向传输路径不接触部分的图的

Y ( s) X (s)

G1 ） （s

X（s）
H1 ） （s

+

?

X1 ） （s

?

H（s） 2
G（s） 2
? G1

+

?

G3 ） （s

X3 ） （s

H3 ） （s

+

X（s） 4

H（s） 4

Y（s）

X（s） 2

G（s） 4

H1
X1

H2
X2
? G2

1
X3

?G3

H4
X4

1

H3

? G4

L4
L1

L2

L3

L 2 = ? H 3G 3 L 3 = ? H 4G 4 L 4 = ? H 2 H 3 H 4G1
L1L3 = H 2G 3 H 4G 4

? = 1 ? ∑ Li + ∑ LiLj = 1 + ( H 2G 2 + H 3G 3 + H 4G 4 + H 2 H 3 H 4G1) + ( H 2G 2 H 3G 3 + H 2G 2 H 4G 4)

H1H2H3H4 H(s) = 1+ (H2G2 + H3G3 + H4G4 + H2H3H4G1) + (H2G2H3G3 + H2G2H4G4)