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第四章连续时间系统的S域分析_图文

连续时间系统的S域分析 第四章 连续时间系统的 域分析
本章目录 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛区 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法 阶跃信号作用于RLC RLC串联电路的响应 阶跃信号作用于RLC串联电路的响应 线性系统的模拟 信号流图

4.5 拉普拉斯反变换
inverse laplace transform
在线性电路中,响应的拉氏变换一般是s的有理函数 N ( s) ams m + am ? 1s m?1 + ... + a1s + a 0 F ( s) = = D( s) bns n + bn ? 1s n ?1 + ... + b1s + b0
例1、求 L?1 [ s+4 ] 2 2s + 5s + 3 3 )=0 2

解:由 D ( s ) = 2 s 2 + 5 s + 3 = 2 ( s + 1)( s + 3 有两个单实根 s 1 = ? 1, s 2 = ? 2 s+4 k1 k2 ∴ 2 = + 2 s + 5s + 3 s + 1 s + 3 2
k 1 = ( s + 1) × s+4 3 2( s + 1)( s + ) 2 s =?1 = 3 或k 1 =

N (s) s+4 = =3 D′( s ) s =s1 4s + 5 s =?1

N ( s) s+4 5 k 2 = lim = =? s → s 2 D′( s ) 4s + 5 s =? 3 2
2

s+4 5 ? 2t ?1 ?t ∴L [ 2 ] = 3e ? e 2 s + 5s + 3 2 se ?2 s 例2、求L?1[ 2 ] s + 2s + 5 解:令D( s ) = s 2 + 2 s + 5 = 0
3

t≥0

θ = tg ?1

S 1、 = ?1 ± jα 2

1 2 可以证明 k 2 = k ?1 = 5 ? jθ e 4

s k1 k2 = + s 2 + 2 s + 5 s ? s1 s ? s 2 N (s) s ?1 + j2 5 jθ k1 = = = = e D′( s ) s = s1 2 s + 2 s = ?1+ j 2 ? 2 + 4 j + 2 4

L?1[

5 ?t s ] = 2× e cos(2t + θ ) 2 s + 2s + 5 4 = 2 k 1 eαt cos(ωt + θ )

s1 = α + jw s2 = α ? jw k1 e jθ es1t + k1 e? jθ es 2t ?1 j (θ +ωt ) ? j (θ +ωt ) ? = 2 k1 e ? [e +e ]? 2 ? ? = 2 k1 eαt cos( t + θ ) ω
αt

se ? 2 s 5 ?2(t ?2) ∴L [ 2 ]= e cos[2(t ? 2) + θ ]u (t ? 2) s + 2s + 5 2
?1

由时域平移性质

s+2 例3、求L [ ] 2 s ( s + 1) ( s + 3)
?1

解:D ( s ) = 0, 得s1 = 0, s 2 = ?3, s 3、 = ?1, 4 (重根)

s+2 k1 k2 k 31 k 32 = + + + 2 2 s ( s + 1) ( s + 3 ) s s + 3 ( s + 1) ( s + 1) s+2 k1 = ( s + 1) 2 ( s + 3 ) k2 =
k 31 =

s=0

2 = 3

s+2 s ( s + 1) 2

=
s = ?3

1 12

s+2 1 × ( s + 1) 2 =? s = ?1 s ( s + 1) 2 ( s + 3) 2

? d s+2 ? 3 =? k 32 = ? [ ]? 4 ? ds s ( s + 3) ? s = ?1 s+2 2 1 3 ? t 1 ? 3t ?1 ∴L [ ] = ? [t + ]e + e 2 s ( s + 1) ( s + 3) 3 2 2 12

t≥0

s 3 + 6s 2 + 15s + 11 例4、求L?1[ ] 2 s + 5s + 6 解 : Q n < m 不能直接用部分分式法。 将F ( s )中分子多项式与分母多项式相除,得 4s + 5 ?3 7 F (s) = s + 1 + 2 = s +1+ + s + 5s + 6 s+2 s+3
提出整式

真分式

故L?1[ F ( s )] = δ ′(t ) + δ (t ) + 7e ?3t ? 3e ?2t

t≥0

当n > m时,F ( s ) =

k1 kk kn 1、D( s) = 0, 有单实根,F ( s) = + ... + + ... + s ? sn s ? s1 s ? sk N ( s) N ( s ) N ( sn ) kn = × ( s ? sn) s = sn = lim = s → sn D′( s ) D( s) D′( sn) f (t ) = k 1e s1t + k 2e s 2 t + L + kne snt

N ( s) 的展开 D( s )

2、D( s ) = 0有一对共轭复根s1 = α + jω , s 2 = α ? jω N ( s1) jθ ? jθ k1 = k1 e k2 = k2 e k1 = D′( s1) k1 k2 F (s) = + s ? s1 s ? s 2 f (t ) = 2 k 1 eαt cos(ωt + θ )

3、D(s) = 0有p重根 k11 k12 k1 p F (s) = + + ... + (s ? s1) p (s ? s1) p?1 s ? s1 1 ? d m?1 p ? k1m = ? m?1 [F (s)(s ? s1) ]? (m ? 1)! ? ds ? s = s1

1 1 p?1 f (t ) = [k11 t + k12 t p?2 + L + k1 p]es1t ( p ? 1)! ( p ? 2)!

4.6 线性系统的拉普拉斯变换分析法
一、线性定常电路中两 类约束关系的复频域形 式
1、基尔霍夫定律的复频 域形式(运算形式) 由∑ ik ( t ) = 0
k =1 m

∑ u (t ) = 0
k k =1

m

两边取拉氏变换得

∑ I ( s) = 0
k k =1

m

∑ U ( s) = 0
k k =1

m

2、R、L、C元件的s域模型
i R
u = Ri 时域关系

I (s ) R
U (s) = I (s) R 复频域关系

u

U (s )

i

C

1 CS

I (s )

cu (0?)

1 CS

u (0 ? ) s

+ ?
U (s )
1 — —复频域阻抗 CS

I (s ) u du i=c U (s ) dt L[i ] = csU ( s ) ? cu (0?) I [ s ] = csU ( s ) ? cu (0?)
i (t )

L
u (t )

I (s ) LS Li (0?)

LS
i (0 ? ) s

?
di(t ) dt U [i] = LsI ( s) ? Li (0?) u (t ) = L

+

I (s)
U (s )
SL — —电感元件的复频域阻抗

U (s )

例1:如图示电路已处稳态 ,t = 0时开关k由“1”到“2”, 试求输出电压u 0(t )的零输入响应u 0 zi (t ),零状态响应u 0 zs (t ) 和全响应u 0(t )。
K "1" "2"
1? 1H

+ 9V ?

+ 2F 6V ?

2?

解:)据题意求电路初始状态 (1 9 iL ( 0 ? ) = = 3A i 1+ 2 2 u 0 (0 ? ) = × 9 = 6V 1+ 2 u 0(t ) (2)求输入信号象函数
L

6 L[6u (t )] = s

(3)画s域模型电路 1?

1?

+
?
6 s

+
?
6 s

1 2s

S ? 3V + 2?

U 0( s )

=
+
?
6 s

+ ? 1?
6 s

1 2s

S ? 3V + 2?

U 0 zi ( s )

(b)

(a)

+

1 2s

S U 0 zs ( s ) 2?

(c)

(4)求响应象函数 图(b)列节点方程 1 1 3 ( + 2s + )U 0 zi ( s ) = 12 ? 1 s+2 s+2 12 s + 21 9 3 解得:U 0 zi ( s ) = = ? ( s + 1)(2 s + 3) s + 1 s + 3 2 图(c)列节点方程 1 6 (1 + 2 s + )U 0 zs ( s ) = s+2 s 6( s + 2) 4 6 2 解得:U 0 zs ( s ) = = ? + s ( s + 1)(2 s + 3) s s + 1 s + 3 2

图(a )列节点方程 1 6 3 )U 0( s ) = + 12 ? s+2 s s+2 12 s 2 + 27 s + 12 4 3 1 解得:U 0( s ) = = + ? s ( s + 1)(2 s + 3) s s + 1 s + 3 2 (5)求拉氏逆变换,得 (1 + 2 s +

u 0 zi (t ) = L?1[U 0 zi ( s )] = [9e ?t ? 3e ?1.5t ]u (t ) u 0 zi (t ) = L?1[U 0 zs ( s)] = [4 ? 6e ?t + 2e ?1.5t ]u (t ) 全响应 = u 0(t ) = u 0 zi (t ) + u 0 zs (t ) = [4 + 3e ?t ? e ?1.5t ]u (t )

二、系统函数(网络函数) 零状态响应的象函数 R( s ) 1、定义 H ( s ) = = 输入的象函数 E ( s)
2、H (s )的分类 对于一端口网络,激励e( t )和响应r ( t )在同一端口。
I (s )
U (s )
网络函数全面地 反映了线性定常 系统的固有特性

H (s )

U (s) ①H ( s ) = — —策动点阻抗函数 I ( s) I ( s) ②H ( s ) = — —策动点导纳函数 U (s)

I 1( s )
U 1( s )

I 2( s ) H (s ) U 2( s )

对双口网络,当e(t )与r (t )不在同一端口。 U 2( s ) — —转移阻抗 I 1( s ) I 2( s ) ④H ( s ) = — —转移导纳 U 1( s ) U 2( s ) ⑤H ( s ) = — —转移电压比 U 1( s) I 2( s ) ⑥H ( s ) = — —转移电流比 I 1( s ) ③H ( s ) =

例2:试求图示电路的网络函数H ( s ),设I 2( s )为响应象函数, 电路为单电源作用,初始条件为零。
I 1( s )

R 2 I 2( s ) R1

解:列回路方程 回路1: (

+ Us (s ) ?

1 sc

1

2

1 + R1) I 1( s) ? R1I 2( s ) = Us ( s) (1) sc SL 回路2: ? R1I 1( s) + ( R1 + R 2 + SL) I 2( s ) = 0 (2)

联立求解得 R1CSUs ( s ) H ( s )与Us ( s )无关, 2 R1LCS + ( R1R 2C + L) S + R1 + R 2 由网络结构和参数决定 I 2( s ) R1CS ∴ H ( s) = = Us ( s ) R1LCS 2 + ( R1R 2C + L) S + R1 + R 2 I 2( s ) =
转移导纳函数

3、H ( s )的一般性质。 (1) h( t ) = L?1[ H ( s )] R( s ) 证 : Q H ( s) = E( s)

当E ( s ) = 1时

e( t ) = δ( t ), 此时R( s ) = H ( s ) 故e( t ) = h( t ) = L?1[ H ( s )]

例3、试求图示电路的冲激 响应 u 1(t )。
2?

L 2H
C

R1

SL

+
i (t ) u1(t )

R1
1F

+ 2? R2
Is ( s) U 1( s)

1 CS

R2

?

?

解:H ( s ) =

R( s ) U 1( s) = — —策动点阻抗 E ( s) Is ( s ) 1 ( LS + R 2) CS = 2 + S + 1 H ( s ) = R1 + 1 1 LS + R 2 + S2 + S + CS 2 1 1 1 2 令D ( s ) = S + S + S 1、 = ? ± j 2 2 2 2 k1 k2 + H ( s) = 2 + S ? S1 S ? S 2

k1 =

1 S +1 S +1 = = ∠ ? 45o D′( s ) S = S 1 2S + 1 S = S 1 2
1 ? t 2

冲激响应u1(t ) = L?1[ H ( s )] = 2δ (t ) + e

1 cos( t ? 45o ) t ≥ 0 2

例4、描述某线性时不变系统的输入输出方程为 r ′′′(t ) + 6r ′′(t ) + 11r ′(t ) + 6r (t ) = 2e′′(t ) + 6e′(t ) + 6e(t ) 求该系统的冲激响应h(t )。
解:假设零状态条件,即 r ′′(0?) = r ′(0?) = r (0?) = 0 对方程两边取拉氏变换,得 S 3 R( s ) + 6S 2 R( s ) + 11SR( s ) + 6 R ( s ) = 2S 2 E ( s ) + 6SE ( s ) + 6 E ( s )

2S 2 + 6S + 6 解得 R( s ) = 3 E ( s) 2 S + 6S + 11S + 6 由H ( s)定义,得 R( s) 2S 2 + 6S + 6 2S 2 + 6S + 6 H (s) = = 3 = 2 E ( s ) S + 6S + 11S + 6 ( S + 1)( S + 2)( S + 3) 1 2 3 = ? + S +1 S + 2 S + 3 故 h(t ) = L?1[ H ( s )] = (e ?t ? 2e ? 2t + 3e ?3t )u (t )

( 2) H ( s ) =

N ( s) 为s的有理分式,N ( s ) = 0的根zi称为系统的零点, D( s )

D( s ) = 0的根pj称为系统的极点,且极点就是对应系统输入输出 微分方程的特征根。特征根也称为系统的自然频率(或固有频率)。
证:描述LTI系统的输入输出微分方程的一般形式为 air (t ) = ∑ bie (i ) (t ) ∑
(i ) i =0 i =0 n n

(1)

若系统处于零状态 r ( n ?1) ( 0 ? ) = r ( n ? 2 ) ( 0 ? ) = L = r ( 0 ? ) = 0 e (t )在 t = 0时接入, e ( j ) ( 0 ? ) = 0 ( j = 0,1L m )
对(1)式取拉氏变换得: [∑ ais ]R ( s ) = [∑ bis i ]E ( s )
i i =0 i =0 m n m

R( s) H (s) = = E (s)

∑b s
i

i

∑as
i i =0

i =0 n

i

bms m + bm ? 1s m ?1 + L + b0 = ans n + an ? 1s n ?1 + L + a 0

令D ( s ) = 0, 极点满足方程∑ aip i = 0
i =0 n

n

微分方程(1)的特征方程为∑ aiλi = 0
i =0

故H ( s)的极点就是对应系统微分方程的特征根。
例5、某线性定常网络的转移函数H ( s ) = s + b0 , 0、a1、a 0为常数), (b 2 s + a1 + a 0 输入信号如图所示。零输入响应及其一阶导数的初值分别为rzi (0) = ?4, r ′zi (0) = ?8.求网络的全响应。 e(t ) = 4δ (t ? 1) + [u (t ? 2) ? u (t ? 3)] × 24
j
24

? 12 ? 8 ? 4 0

+1
0 1

2 3

t (s )

(a)

(b)

s +8 解:由零、极点分布可知 H ( s ) = ( s + 4)( s + 12) ∴ h(t ) = L?1[ H ( s )] = 0.5(e ? 4t + e ?12t )ε (t )
1 单位阶跃响应为R( s ) = H ( s ) × E ( s) = H ( s) × s 1 s +8 ?1 ?1 r (t ) = L [ H ( s ) ? ] = L [ ] s s ( s + 4)( s + 12) 1 1 1 = [ ? e ? 4t ? e ?12t ]u (t ) 6 8 24 零状态响应rzs (t ) = 2[e ?4( t ?1) + e ?12( t ?1) ]u (t ? 1)

24 24 ? 4 (t ? 2 ) ?12 (t ? 2 ) +[ ? e ?e ]u (t ? 2) 6 8 24 24 ? 4 (t ?3) ?12 ( t ?3) ?[ ? e ?e ]u (t ? 3) 6 8

零输入响应rzi (t ) = Ae ?4t + Be ?12t 由rzi (0) = ?4,r ′zi (0) = ?8,求得A = ?5, B = 1 ∴ rzi (t ) = (?5e ? 4t + e ?12t )u (t ) 全响应r (t ) = rzi (t ) + rzs (t )

(3) H ( s )与时域分析中的转移算子H ( p)具有相同的形式。

4.7

线性系统的模拟

前面内容侧重讨论信号性能分析以及信号通过线性时不变系 统的基本求解方法(时域法和变换域方法)。从这节至第六章的内容 转向系统性能分析或系统设计初步原理, 应用背景则着重控制工程。

一、何谓系统的模拟 利用线性微分方程基本运算单元给出系统方框图 的方法称为系统模拟(或仿真)。 为什么要模拟? ①建立数学模型(微分方程或差分方程)的系统分析,方法 在实际中只依赖这种方法是不行的,研究过程十分繁琐或不 得要领。 ②解决上述矛盾的方法之一:即利用基本的方框图组合建立 系统模型。

系统的模拟是将系统分 解为若干基本单元,如 果熟知各单元性能, 将它们组合构成复杂系 统时,分析过程将得以 简化。 这种方法容易理解性能 特征的实质,系统分解 与互联的研究方法也 有助于从系统分析过渡 到系统设计(综合)。

二、线性系统的模拟方法 1、模拟图用基本单元
①加法器: 加法器:
x 1(t )


X 1( s ) x 2 (t) X 2( s )

y (t ) Y (s)

y (t ) = x1( t ) + x 2 ( t ) Y ( s ) = X 1( s ) + X 2 ( s )

②乘法器: 乘法器:

x (t ) X ( s)

a

y (t ) Y (s)

y (t ) = ax(t ) Y ( s ) = aX ( s )

③初始条件为零的积分器
x(t )


t 0

y (t )

X (s )

1 s

Y (s)

y (t ) = ∫ x(τ ) dτ 时域形式

Y ( s) =

1 x( s) s 复频域形式

初始条件不为零的积分器
y ( 0)

y (0) s

x(t )


t 0



y (t )

X (s )

1 s


y (0) X ( s) + s s

Y (s )

y (t ) = y (0) + ∫ x(τ )dτ

Y (s) =

y '+ a 0 y = x

2、一阶微分方程的模拟

y' = x ? a0 y
X (s )

x



y'


? a0

y



sY (s )

1 s

Y (s )

? a0

以上模拟图都未计初始条件,故是零状态响应

3、二阶系统的模拟

y''+a1y'+a0y = x
x(t )


y ' ' = x ? a1 y '?a 0 y

y' '



y'



y

? a1

? a0
由一、二阶系统的模拟可以推出n阶系统的模拟

4、含有x的导数的二阶系统的模拟 y′′ + a1 y′ + a 0 y = b1 x ′ + b 0 x
引入一辅助函数q, 使q满足方程(1 q′′ + a1q′ + a 0 q = x (1) ) 则y满足(2)式 y = b1q′ + b0 q

将(1)、 )代入原 (2

X

q′′



q′


a1
? a0



b1 q

方程即可证明

b2



y

以上讨论的框图是直接 根据系统的微分方程或 系统函数作出的,一般 称为直接模拟框图。

5、并联模拟框图 一般n阶系统的方程为

y(n) +an ?1y(n?1) +...+a1y'+a 0y =bmx(m) +...+b 1x'+b0x (m<n)
bms m + bm ? 1s m ?1 + ...b1s + b 0 Y ( s ) 则 H (s) = n = n ?1 s + an ? 1s + ...a1s + a 0 X (s) ( s ? z1)( s ? z 2)...( s ? zm ) = bm ( s ? p1)( s ? p 2)...( s ? pn) k1 k2 kn = + + ... + s ? p1 s ? p 2 s ? pn = H 1( s) + H 2( s ) + L + Hn ( s )

H 1( s )

x(s )

H 2( s )



Y (s )
n级一阶子系统的并联

Hn (s )
将大系统分解为子系统 并联,调整 某一子系统的参数仅影 响该子系统 的极点或零点在 s平面上的位置,而 对其他子系统无影响。

… …

6、级联模拟框图
H ( s) = H 1( s) H 2( s )...Hr ( s )

X( s)
H 1( s )

H 2( s )

...

Hr (s )

Y( s)

r级一阶或二阶子系统级 联

例1:已知某连续系统的系统函数H ( s) = 试画出该系统的模拟框图。 Y ( s) 1 解: Q H ( s) = = 3 X ( s) s + 3s 2 + 2s + 1

1 s 3 + 3s 2 + 2s + 1

∴ s 3Y ( s) + 3s 2Y ( s) + 2sY ( s) + Y ( s) = X ( s) s 3Y ( s) = X ( s) ? s 2Y ( s) ? 2sY ( s) ? Y ( s) 于是可得零状态下的系统模拟框图
X

s 3Y ( s )
1 s

+ ∑+ + ?3 +

s 2Y ( s )

sY (s )
1 s 1 s

Y (s )

?2

?1

例2:图( a )为某线性时不变连续系 统的模拟框图。 试求(1)系统函数和冲激响应 h(t ); (2)写出系统的微分方程; (3)若输入x(t ) = e ?3t u (t ),求零状态响应 y (t )
解:)假设零状态,画 s域模拟框图如图(b)所示。设(b)图右边 (1 输入端加法器的输出为 q ( s ),各积分器的输出如图 中所标。

1
X (t )

+ ∑+ +


?3
?2



?



+

y (t )

(a )

X (s )

s ?1q ( s ) q (s )
1 s 1 s

+ ∑+ +

1 s ?2 q ( s )

?



+

y (s )

?3
?2

(b)

由(b)可知 q ( s ) = X ( s ) ? 3s ?1q ( s ) ? 2 s ?2 q ( s ) 1 由上式解得q ( s ) = X ( s) (1) ?1 ?2 1 + 3s + 2 s
s ?1 ? s ? 2 将(1)式代入上式,得 Y ( s ) = X ( s) ?1 ?2 1 + 3s + 2 s

输出端的加法器输出为 Y ( s ) = s ?1q ( s ) ? s ?2 q ( s ) = ( s ?1 ? s ?2 )q ( s )

Y ( s) s ?1 ? s ?2 s ?1 ?2 3 ∴ H (s) = = = 2 = + ?1 ?2 X ( s ) 1 + 3s + 2 s s + 3s + 2 s + 1 s + 2 故h(t ) = L?1[ H ( s )] = (3e ? 2t ? 2e ?t )u (t )
(2)由H ( s )得( s 2 + 3s + 2)Y ( s ) = sX ( s ) ? X ( s ) ∴系统的微分方程为 ∴ 系统的微分方程为 y′′(t ) + 3 y′(t ) + 2 y (t ) = x′(t ) ? x(t ) 1 (3) X (s) = L[ x(t )] = s +3 s ?1 1 ?1 3 2 Y ( s) = H ( s) X ( s) = × = + + (s + 1)(s + 2) s + 3 s + 1 s + 2 s + 3

故系统的零状态响应 y(t ) = (2e?3t + 3e?2t ? e?t )u(t )

4.8 信号流图
前面介绍的方框法求取H ( s ),在系统较复杂时是比较麻烦的, 本节介绍“信号流图”法能简化H ( s )的求解过程。这种方法由 美国麻省理工学院的梅森于20世纪50年代初首先提出。

一、基本概念 信号流图 — —用线图结构来描述线性方程组变量间的关系。
例如一阶系统 y′(t ) + a 0 y (t ) = x(t ) sY ( s) = X ( s ) ? a 0Y ( s)

其信号流图表示如下:

X (s )

1

sY (s)
1 s

Y (s ) 1

Y (s)

? a0
-

常用术语:
结点:表示信号变量的点. 结点 支路:表示信号变量间因果关系的有向线段. 支路 支路传输值:支路连接的变量(结点)间的转移函数 支路传输值 入支路:流向结点的支路 入支路 出支路:流出结点的支路 出支路 源结点:仅有出支路的结点,通常表示输入信号 源结点 汇结点:仅有入支路的结点 汇结点 闭环:闭合路径,如图sY(s),Y(s)结点间为一闭环 闭环 自环:仅含有一条支路的闭环 自环

二、梅森公式 [求H ( s )]
Masan 公式为 H= 1 ?

∑G
k
i j

k?k

H为总传输值。

?=1-∑ Li+∑ LiLj ?
i i,j

∑ L L Lk+L
i,j,k

? 称为信号流图的图行列式 Li 为第i个环的传输值; LiLj 为各个可能的互不接触的两环传输值的乘积; LiLjLk 为各个可能的互不接触的三环传输值的乘积;

Gk为正向传输路径的传输值。

?k为与传输值是Gk 的第k种正向传输路径不接触部分的图的

例:将图a改为信号流图形式,并求系统的转移函数 H(s)=
Y ( s) X (s)

G1 ) (s

X(s)
H1 ) (s

+

?

X1 ) (s


?

H(s) 2
G(s) 2
? G1

+

?

G3 ) (s


X3 ) (s

H3 ) (s

+


X(s) 4

H(s) 4

Y(s)

X(s) 2

G(s) 4

H1
X1

H2
X2
? G2

1
X3

?G3

H4
X4

1

H3

? G4

L4
L1
环路增益 L1 = ? H 2G 2

L2

L3

L 2 = ? H 3G 3 L 3 = ? H 4G 4 L 4 = ? H 2 H 3 H 4G1
L1L3 = H 2G 3 H 4G 4

两两不接触的环路增益乘积 L1L 2 = H 2G 2 H 3G 3 三环及三环以上的互不接触的环路没有
? = 1 ? ∑ Li + ∑ LiLj = 1 + ( H 2G 2 + H 3G 3 + H 4G 4 + H 2 H 3 H 4G1) + ( H 2G 2 H 3G 3 + H 2G 2 H 4G 4)

前向通路只有一条 G1 = H 1H 2 × 1× H 3 × H 4 ×1 与前向通路不接触的环路不存在 ∴ ?1 = 1 ? 0 + 0 = 1 由梅森公式得
H1H2H3H4 H(s) = 1+ (H2G2 + H3G3 + H4G4 + H2H3H4G1) + (H2G2H3G3 + H2G2H4G4)


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