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高二数学4-高二-数学-教师-吴欣-数列通项公式


源于名校,成就所托
学科教师辅导讲义 学员学校: 学员姓名: 学科组长签名 课 授课时间: 题 求数列的通项公式 备课时间: 年 级: 课时数:2 学科教师:

辅导科目: 数学 组长备注

1.理解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 教学目标 3. 掌握由数列的递推公式求出数列的通项公式的方法。 4.理解数列的前 n 项和与 an 的关系; 5.会由数列的前 n 项和公式求出其通项公式.

重点、难点

教学重点:根据数列的递推公式写出数列的前几项并求出通项公式。 教学难点:理解并掌握由递推数列求出通项公式的方法

1.理解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 3. 掌握由数列的递推公式求出数列的通项公式的方法。 考点及考试要求 4.理解数列的前 n 项和与 an 的关系; 5.会由数列的前 n 项和公式求出其通项公式.

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教学内容 知识精要 1.如何由 Sn 求 an 。

?s1 ( 1)a n ? ? ?sn ? sn?1

(n=1 ) (n ? 2)

2.常见的几种由递推公式求通项公式的方法 (1)累加法 形如 an?1 ? an ? f (n) 型数列, (其中 f (n) 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法,具体做法是将通项变形为 an?1 ? an ? f (n) ,从而就有

a2 ? a1 ? f (1), a3 ? a2 ? f (2),

, an ? an?1 ? f (n ?1). ? f (n ?1) ,进而求解

将上述 n ? 1 个式子累加,变成 an ? a1 ? f (1) ? f (2) ? (2)累积法 形如 an?1 ? an ? f (n) 型数列, (其中 f (n) 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法,具体做法是将通项变形为
a a2 ? f (1), 3 ? f (2), a1 a2

an?1 ? f (n) ,从而就有 an

,

an ? f (n ? 1) an?1

将上述 n ? 1 个式子累乘,变成 (3)凑 t 法 形如 an?1 ? pan ? q 型数列

an ? f (1) ? f (2) ? a1

? f (n ? 1) ,进而求解。

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列,再利用等比数列的性质进行求解, 构造的办法是待定系数法构造,设 an?1 ? m ? p(an ? m) ,展开整理 an?1 ? pan ? pm ? m ,比较系 数有 pm ? m ? b ,所以 m ? (4)取倒数法
b b b ,所以 an ? 是等比数列,公比为 p ,首项为 a1 ? 。 p ?1 p ?1 p ?1

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形如 an ?
Aan 型数列( A, B, C 为非零常数) Ban ? C

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数 ,把数列的倒数看成是一个新数列 ,便可顺利地 转化为 an?1 ? pan ? q 型数列。 (5)相除法 形如 an?1 ? pan ? f ?n? 型数列(p 为常数) 此类数列可变形为 名题精解 类型一: an?1 ? an ? f (n) ( f ? n ? 可以求和)

?a ? an?1 an f ?n ? 可用累加法求出,由此求得 an . ? n ? n?1 ,则 ? n n ?1 n ? p p p p ? ?

解决方法 ???? ? 累加法

例 1. 在数列 ?an ? 中,已知 a1 =1,当 n ? 2 时,有 an ? an?1 ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ,求数列的通项公式。 解析: an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2)
? a2 ? a1 ? 1 ? a ?a ?3 3 2 ? ? ? ? a4 ? a3 ? 5 ? ? ? ? an ? an ?1 ? 2n ? 1

上述 n ? 1 个等式相加可得:

an ? a1 ? n2 ? 1

∴ an ? n2

类型二: an?1 ? f (n) ? an ( f (n) 可以求积)

解决方法 ???? ? 累积法

例 2. 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, 有 nan?1 ? ? n ? 1? an ,( n ? 2 )求数列 ?an ? 的通项公式。 解析: an ?
?

an an ?1 an ?2 ? ? an?1 an?2 an?3

a3 a2 ? ? a1 a2 a1

2 3 2 ? ?1 ? n ?1 4 3 2 又 a1 也满足上式;∴ an ? n ?1

n n ?1 n ? 2 ? ? n ?1 n n ?1

(n ? N * )

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类型三: an?1

解决方法 ???? ? ? Aa ? B(其中A,B为常数A ? 0,1)
n

待定常数法

可将其转化为 an?1 ? t ? A(an ? t ) , 其中 t ? 然后求 an 即可。

B , 则数列 ?an ? t? 为公比等于 A 的等比数列, A ?1

例 3 .在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解析:设 an ? t ? 3? an?1 ? t ? ,则 an ? 3an?1 ? 2t ∴ t ? 1 ,于是 an ? 1 ? 3? an?1 ? 1? ∴

?an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 3 为公比的等比数列。

∴ an ? 2 ? 3n?1 ?1 类型四: an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 0 且 p ? 1 ) 一般需一次或多次待定系数法,构造新的等差数列或等比数列。 1 例 4 .设在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 2n ? 1? n ? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式。 2 解析:设 bn ? an ? An ? b
? an ? An ? B ? 1 ? an ?1 ? A ? n ? 1? ? B ? ? 2?

? A ?2?0 ? ? A ? ?4 ? 2 ?? 展开后比较得 ? ? A ? B ?1 ? 0 ? B ? 6 ? ?2 2
1 这时 bn ? bn ?1 ? n ? 2 ? 且bn ? an ? 4n ? 6 2 1 ∴ ?bn ? 是以 3 为首项,以 为公比的等比数列 2

?1? ∴ bn ? 3 ? ? ? ?2?

n ?1

?1? 即 3? ? ? ? 2?

n ?1

?1? ? an ? 4n ? 6 ,∴ an ? 3 ? ? ? ?2?

n ?1

? 4n ? 6

例 5 . 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2n?1 ? n ? 2? 求数列 ?an ? 的通项公式。 解:∵

a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2n?1 ? n ? 2?
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an an ?1 a ? n ?1 ? 2 令 bn ? n ,则 bn ? bn?1 ? 2 ( n ? 2 ) , b1 ? 1 n 2n 2 2

∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,则 an ? (2n ?1) ? 2n. 类型五: an ?1 ?
c ? an (c? p?d ? 0) pan ? d

解决方法 ???? ? 倒数法
( an ?
2n?1 ) 2n ? 2 ? 7

例 6. 已知 a1 ? 4 , an?1 ? 解答:∵知 a1 ? 4 , an?1 ?
1 1 1 ? ? ?1 an ?1 2 an

2 ? an ,求 an 。 2an ? 1
2 ? an 2an ? 1



令 bn ?

1 1 ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,以下用“待定系数法”可得 2 an

bn ?

2n ? 2 ? 7 2n ?1 a ? . ,∴ n 2n ?1 2n ? 2 ? 7

评注:去倒数后,一般需构造新的等差(比)数列。 类型六: Sn ? f (an ) 例 7.

解决方法 ???? ?a
1 2

n

(n ? 1) ?s ?? 1 ?sn ? sn?1 (n ? 2)
.

已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

n?2

?1? 求 a n?1 与 an 的关系;
解: ∵ S n ? 4 ? a n ? ∴ Sn ?1 ? 4 ? an ?1 ? ∴ an ?1 ?
1 2
n?2

(2)求通项公式 an .

1 1 ,两式相减得 an ?1 ? ?an ?1 ? an ? n ?1 n ?1 2 2

1 1 an ? n ? 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 2 2

令 bn ? 2n an ,则 bn?1 ? bn ? 2. ∵ S1 ? 4 ? a1 ? 2, a1 ? S1 ,∴ a1 ? 1 ,从而 b1 ? 2, bn ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 2n an ? 2n ∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ?
n . 2n ?1
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r 类型七: an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。
1 2 (a ? 0) ,求数列 ?an ? 例 8. 已知数列{ an }中, a1 ? 1, an?1 ? 1 ? an 的通项公式 . a n ? a ( ) 2 n ?1 a a 1 2 解答:∵ a1 ? 1, a n?1 ? ? a n (a ? 0) a 1 2 ) ? log a an ?1 ? 2 log a an ? 1 ∴ log a an ?1 ? log a ( ? an a

令 bn ? loga an ,则 bn?1 ? 2bn ?1. 以下用“待定系数法”可得 bn ? 1 ? 2n?1 ∴ log a an ? 1 ? 2
n ?1

? an ? a

1? 2n?1

? a?a

?2n?1

?1? ? a ?? ? ?a?

2n?1

.

例 9. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ? an?1 ?
1 * an ? 4 ? (n ? N ) n

1 (n ? 2) ,求此数列的通项公式。 n(n ? 1)

例 10. 已知数列 {an } 中, S n ?

1 an ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式。 2

?4当n为奇数时 an ? ? (n ? N * ) ?0当n为偶数时
2 2 例 11. 设 {an } 是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an ,则 ?1 ? nan ? a n ?1 a n ? 0 ( n =1,2, 3,…)

它的通项公式是 an =________. an ?

1 (n ? N * ) n

例 12. 已知 an?1 ? nan ? n ?1, a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2(n ?1)!(n ? N * ) 例 13. 数列 {an } 满足 a1 ? 0 , a n?1 ? a n ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式。

?n ? 1当n为奇数时 an ? ? (n ? N * ) ?n当n为偶数时

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巩固提高 类型一专项练习题 1、若数列的递推公式为 a1 ? 3, an?1 ? an ? 2 ? 3n?1 (n ? N * ) ,则求这个数列的通项公式 an ? 12 ? 3n?1 解答:∵ a1 ? 3, an?1 ? an ? ?2 ? 3n?1 ,故可用“叠加法”得

an ? a1 ? ?2(32 ? 33 ?

? 3n ) ? an ? 12 ? 3n?1.

2、 设平面内有 n 条直线 (n ≥ 3) , 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三条直线不过同一点. 若 用 f (n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f (4) ?
n2 ? n ? 2 2

5



当 n ? 4 时, f (n) ?
· ·

(用 n 表示) .
·· · · · · ·· · · ·· ·

解答:∵ n 条直线( n ? 3 )的交点个数 f (n) 有以下规律:
f (3) ? 2, f (4) ? f (3) ? 3, f (5) ? f (4) ? 4, , f (n) ? f (n ?1) ? n ?1

∴ 这 n 条直线交点的个数 f (n) ? 2 ? 3 ? 4 ? (上式显然对 n ? 4 时也成立) 类型二专项练习题: n ?1 an ?1 ( n ? 2 ),求 an 。 1、已知 a1 ? 1 , an ? n ?1 解答: (本解采用“累乘法” )∵ a1 ? 1,
a2 1 a3 2 a4 3 ? , ? , ? , a1 3 a2 4 a3 5

? (n ? 1) ?

(n ? 1)(n ? 2) n 2 ? n ? 2 ? 2 2

an n ?1 ? ( n ? 2) an ?1 n ? 1



,

an?1 n ? 2 an n ?1 . ? , ? an?2 n an?1 n ? 1

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将上述等式相乘,便得
an 1? 2 ? a1 n ? (n ? 1)
2 . n(n ? 1)

∴ 数列 ?an ? 的通项公式 an ?

2、已知数列 ?an ? ,满足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2), 则 ?an ? 的通项公式 an ? _____________ 解答:∵ an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 ? nan
an?1 ? n ?1 ( n ? 2 ) an

∴ 两式相减便得 an?1 ? an ? nan ( n ? 2) ,则
a3 a ? 3, 4 ? 4, a2 a3 an ?n an?1



,

注意到 a2 ? a1 ? 1 ,∴

a a2 ? 1 ,由“累乘法”得 n ? 1? 3 ? 4 ? a1 a1

?n ?

n! (n ? 2) 2

?1(n ? 1) ? ∴ ?an ? 的通项公式 an ? ? n ! (n ? 2) ? ?2

类型三专项练习题:
1 a n?1 + 1 (n ? 2) 求通项 a n . an ? 2 ? 21?n 2 1 1 1 解答:令 an ? B ? (an ?1 ? B ) ,则 an ? an ?1 ? B ,∴ B ? ?2 2 2 2 1 ∴数列 ?an ? 2? 是公比为 的等比数列 2

1、已知数列{a n }中,a 1 =1,a n =

?1? ∴ an ? 2 ? ? ? ? ?2?

n ?1

? an ? 2 ? 21?n.

类型 4 专项练习题: 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
4 1 2 an ? 2n ?1 ? ? n ? 1, n ? N * ? , 3 3 3

求数列 ?an ? 的通项公式。 解:∵ Sn ?
4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? 3 3 3

??①

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4 1 2 an ?1 ? ? 2n ? 2 ? ??② 3 3 3 a ?1 a 4 4 1 ? 2? n ?1 ② ? ①得 an ?1 ? an ?1 ? an ? ? 2n ?1 ? an ?1 ? 4an ? 2n ?1 ? n n ?1 3 3 3 2 2n a ?1 a 4 1 2 ? 1? n ? 2(1 ? n ) ,∵ S1 ? a1 ? ? 22 ? , S1 ? a1 ∴ a1 ? 2 n ?1 n 2 2 3 3 3

∴ S n ?1 ?

? a ? ∴ 数列 ?1 ? n 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列 n ? ? 2 ?
1? an ? 2 ? 2n ?1 ? an ? 4n ? 2n. n 2

类型五专项练习题 已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, an?1 ? an ? 2an?1 an ,求通项公式 a n 。 解答:∵ a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2an?1 an , ∴

?1? 1 1 ? ? 2 ,则数列 ? ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列 an an?1 ? an ?
1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? . an 2n ? 1



类型六专项练习题: 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ? 3n ? 2 , 求数列 ?an ? 的通项公式. 解答:∵ Sn ? 3n ? 2 ,∴ a1 ? S1 ? 1, S ? 3n?1 ? 2 故有 an?1 ? 3n?1 ? 3n ? 3n (3 ?1) ? 2 ? 3n ? an ? 2 ? 3n?1 ( n ? 2 )

(n ? 1) ?1 ∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? n?1 ?2 ? 3 (n ? 2)
类型七专项练习题 已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,? (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2) ?(1+an),求 Tn 及数列 {an}的通项; (3)记 bn=
2 1 1 ? ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1 3Tn ? 1 an an ? 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(1)证明:∵点 (an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上,
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2 ∴ an?1 ? an ? 2an ? 1? an?1 ? (1? an )2 ? lg(1? an?1 ) ? lg(1? an?1 ) ? 2(1? an )

∴ 数列

?lg(1? an )? 是等比数列;
n ?1 n ?1

(2)∵ 1 ? a1 ? 3 ,∴ lg(1 ? an ) ? lg 3 ? 2 n ?1 ? lg 32 ? 1 ? an ? 32 ∴ Tn ? 31?2?2
2

? ? 2n?1

? 32 ?1 ;
1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ( ? )? ? ? an?1 an (an ? 2) 2 an an ? 2 an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 2 ? ) ? 2( ? 2n ) ? 1 ? 2n a1 an?1 2 3 ?1 3 ?1

n

(3)∵ an?1 ? an (an ? 2) ,∴

∴ bn ? 2(

1 1 ? ) ,故 Sn ? b1 ? b2 ? an an?1
n

? bn ? 2(

但 3Tn ? 1 ? 32 ? 1,

2 2 2 2 2 ,∴ Sn ? ? 2n ? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1. 3Tn ? 1 3 ? 1 3Tn ? 1 3 ?1 3 ?1

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