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2平行六面体与长方体


定理1:平行六面体的对角线相交于一点,并 已知:平行六面体 ABCD —A`B`C`D`(如图) 且在交点处互相平分 . 动 画 求证:对角线AC`、BD`、CA`、DB`相交于一 D? 音 点O,且在点O处互相平分. 乐
证明:设O是A C ? 的中点,则
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

C?
B?

A?

1 1 AO ? AC ? ? ( AB ? AD ? AA?) 2 2 A 设P、M、N分别是 BD? 、 CA?、 DB? 的中点, 1 同样可证 AP ? ( AB ? AD ? AA?) 2

O

D B

C

1 1 AM ? ( AB ? AD ? AA?) AN ? ( AB ? AD ? AA?) 2 2 由此可知O、P、M、N四点重合,定理得证。

1

动 画 音 乐

定理2:长方体的一条对角线长的平方等于 一个顶点上三条棱长的平方和.
' '
A' C' D A B C D'

已知: 长方体AC 中, AC 是一条对角线 .B'
'2 2 2 '2

求证 : AC ? AB ? AD ? AA . ???? ? ??? ???? ? ? ???? ' ' 证明: 首 ? AC ? AB ? AD ? AA , 页
上 页

???? ?2 ???? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? AC ' ? ( AB ? AD ? AA' ) ? ( AB ? AD ? AA' ). ? ???? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 下 ' ' 页 又 AB ? AD, AB ? AA , AA ? AD , ? ???? ???? ? 2 ??? ???? ? ? ??? ? ???? ???? 小 ' ? AB ? AB ? AD ? AD ? AA' ? AA' 结 ? AC
结 束

? AB ? AD ? AA ,

2

2

' 2

即AC ? AB ? AD ? AA .
'2 2 2 '2

2

已知长方体的一条对角线AC1,AC1与AB、AD、AA1所 2 2 2 2( a ?b ?c ) 2 2 β 、γ ,与过 2 成的角分别为 α 、 A 的三个面所成的角为 ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? ? 2 动 2 画 θ 、Φ 、σ 。 l

求证 : (1)cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 证明: (2)cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2. B'
2 2 2
首 页

音 乐

A' C'

D'

设AB ? a, AD ? b, AA1 ? c, AC1 ? l. 则a ? l cos ? , b ? l cos ? , c ? l cos? ?a2 ? b2 ? c2 ? l 2 (cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ) 2 2 2 2 2 2 2 ? a ? b ? c ? l ,?cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
A B C
上 页 下 页 小 结

D

(2)连结AC, 则?CAC1就是AC1与面AC所成的角设为? .

2 2 a ? b 2 2 2 结 AC ? a ? b , cos ? ? 束 2 l a2 ? c2 b2 ? c 3 同理 cos ? ? ,cos ? ? l l

动 画 音 乐

例4、已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1的各棱长都为 1, 1 且CN ? CC1 , 求证AB1 ? MN . 4
B1 A

M是底面上BC边的中点,N是侧棱柱CC1上的点,
A1 C1

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N
C
4

B

M

做一做:
已知正棱柱ABC-A′B′C′各棱长为1,M是底面 例题:
动 画 音 乐

BC边的中心,N是侧棱CC1上 的点,4CN=CC′, 求证:AB′⊥MN.

解法1:用三垂线定理证明异面直线垂直, A' 关键:寻找其中一条直线所在平面的垂线 首 z 页 c C' B' 解法 2:向量法 上 M1 页 关键:寻找 X、Y、Z轴 下 A 页 解法3:利用空间向量基本定理 a 小 b N 结 关键:寻找知道模及夹角的基底 结 C y 束 B M
5

应用:
动 画 音 乐

1.以下四个命题中真命题的是_______

①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长都相等的直四棱柱是正方体; ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体 是直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
6

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动 画 音 乐

5.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1B与截 面A1B1CD所成的角为300. 求证:此四棱柱为正方体. 如果长方体的一条对角线和经过这 条对角线一个端点的三个面所成的 角分别为 ? , ? , ? , 则
2 2 2

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cos ? ? cos ? ? cos ? ? 2
7

练习:绿色通道P98------1.2.3.4.5

例2 下列命题中的假命题是
动 画 音 乐

A. 直棱柱的侧棱就是直棱柱的高 B. 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

C. 直棱柱的侧面是矩形
D. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 解

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A.直棱柱的侧棱垂直于底面,是直棱柱的高,命题为真。
B.有一个侧面是矩形,并不能保证侧棱垂直于底面,命 题为假

C.直棱柱的侧面是矩形,命题为真
D.因棱柱的侧棱互相平行,因此,有一条侧棱垂直于底 面,则所有侧棱都垂直于底面,构成直棱柱,命题为真。 故选B 。
8

例3 棱柱成为直棱柱的一个充要条件是
动 画 音 乐

A. 棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直 B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直

C. 棱柱有一个侧面是矩形,且它与底面垂直
D. 棱柱的侧面与底面都是矩形

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解 A. 棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直推不出棱柱 是直棱柱。(棱柱的一条侧棱与底面的两边垂直, 没有明确这两条边是否相交,保证不了)
B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直推不出棱 柱是直棱柱。(棱柱有一个侧面与底面的一条边 垂直,即底面上一条直线与侧面垂直保证不了侧 棱与底面垂直)
9

动 画 音 乐

C.棱柱有一个侧面是矩形,且它与底面垂直。 (侧面与底面垂直,侧面又不是矩形,根据两 平面垂直的性质定理,侧棱垂直与底面)

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D. 棱柱是直棱柱推不出棱柱的侧面与底面都是矩形。 (棱柱是直棱柱,底面不一定是矩形)
故选C。

10

动 画 音 乐

例4 已知正三棱柱的ABC——A1B1C1 各棱长都为1 (如 图),M1 是 底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上 的 点 , 且 CN = 4 CC1,求证 AB1⊥MN 解 得 设 AB=a, AC=b, AA=c 则有已知条件和正三棱柱的性质, ∣a∣=∣b∣=∣c∣=1,a· a = 1 a· c = b· c=0 AB1 = a+c, AM = (a+b), AN = b+c B1 1 1 1 MN = AN – AM = a+ b + c 2 2 4 A1 C!

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AB1· MN = (a+c) . ( a+b+c) 1 1 1 0 = + cos60 + = 0 2 2 4 所以 AB1⊥MN

A M

N

B

C

11

动 画 音 乐

四、练习
1. 一个棱柱是正棱柱的条件是
A.底面是正方形,有两个侧面垂直与底面 B.每个侧面是全等的矩形

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C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D.底面是正方形,有两个侧面是矩形

2. 棱柱的侧面是______形,直棱柱的侧面是_____形,
正棱柱的侧面 是________形
12

动 画 音 乐

例1、 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1的 底 面 边 长 为 8, 面对角线 BC1 ? 10 ,D为AC的 中 点 , ( 1 )求证: AB1 // 面BDC1; ( 2 )求异面直线 AB1与BC1 所 成 的 角 。
A1 C1
B1 O

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A

D B

C

13

动 画 音 乐

例1、 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1的 底 面 边 长 为 8, 面对角线 BC1 ? 10 ,D为AC的 中 点 , ( 1 )求证: AB1 // 面BDC1; ( 2 )求异面直线 AB1与BC1 所 成 的 角 。
A1
D1 B1

C1

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A

D B

C

14

动 画 音 乐

例1、 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1的 底 面 边 长 为 8, 面对角线 BC1 ? 10 ,D为AC的 中 点 , ( 1 )求证: AB1 // 面BDC1; ( 2 )求异面直线 AB1与BC1 所 成 的 角 。
A1
Z

C1
B1

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A
X

D B

C

Y

15

动 画 音 乐

例1、 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1的 底 面 边 长 为 8, 面对角线 BC1 ? 10 ,D为AC的 中 点 , ( 1 )求证: AB1 // 面BDC1; ( 2 )求异面直线 AB1与BC1 所 成 的 角 。
A1 C1
B1 O

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A

D B

C

16

动 画 音 乐

例1、 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1的 底 面 边 长 为 8, 面对角线 BC1 ? 10 ,D为AC的 中 点 , ( 1 )求证: AB1 // 面BDC1; ( 2 )求异面直线 AB1与BC1 所 成 的 角 。
A1
Z

C1
B1

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A
X

D B

C

Y

17

动 画 音 乐

例2、 正 六 棱 柱 ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1的 底 面 边长为 1, 侧 棱 长 为 2, 则 这 个 棱 柱 的 侧 面对角线 E1 D与BC1 所 成 的 角 是 ( ) A、 900 B、 600 C、 450 D、 300
F1 E1 D1 B1 C1

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A1

F A B

E D C
18

动 画 音 乐

例2、 正 六 棱 柱 ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1的 底 面 边长为 1, 侧 棱 长 为 2, 则 这 个 棱 柱 的 侧 面对角线 E1 D与BC1 所 成 的 角 是 ( ) A、 900 B、 600 C、 450 D、 300
F1 E1 D1 B1Z C1

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A1

F A
X

E
Y

D B C
19

动 画 音 乐

例3、 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1的 底 面 边 长 为 2, 侧 棱 长 为 3,D为BC上 一 点 , 在 截 面 ADC1中 ,?ADC1 ? 900 ( 1 )求二面角 C1 ? AD ? C的 大 小 ; ( 2 ) 求B1到 平 面 ADC1的 距 离 。
A1 B1 O A B D
20

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C1 H

C

动 画 音 乐

例2、已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都 为1,M是底面上BC的中点,N是侧棱CC1上的 1 点,且CN= 4 CC1,求证:AB1?MN
A1 B1 A C1

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N
C
21

B

M

例题选讲
动 画 音 乐

定理

平行六面体的对角线交于一点, 并且在交点处互相平分。

已知:平行六面体AC’(如图)
首 页 上 页 下 页

求证:对角线AC’、BD’、CA’、DB’交于一点, 且在点O处互相平分。
D' B' A' O D A B
22

C'

小 结 结 束

C

动 画 音 乐

例4、已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1的各棱长都为 1, 1 且CN ? CC1 , 求证AB1 ? MN . 4
B1 A

M是底面上BC边的中点,N是侧棱柱CC1上的点,
A1 C1

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N
C
23

B

M

2、如图,在正四棱柱ABCD_A1B 1C 1D1中,底面边长为m,对 角线BD1与底面所成角为θ , BD1∥平面ACE. 动 求 画 (1) △ACE的面积; 音 (2)正四棱柱的体积. 乐

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24

动 画 音 乐

3,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABCD为菱

形,边长为4,∠DAB=600=∠B1BC,A1A=6,
AA1与底面ABCD所成角是600。 (1)求底面ABCD与底面A1B1C1D1的距离。 (2)求A到平面BCC1B1的距离。

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25

例题讲解
动 画 音 乐

作、 证、 求?
P

1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为 a的正方形,PB⊥面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD的二面角为 600,求四棱锥的体积;

首 页 上 页

B D

解:∵ PB⊥面ABCD,BA⊥AD, C ∴PA⊥AD 下 ∴∠PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角 页 即∠PAB=600 小 结 在Rt⊿PAB中,AB=a, ∠PAB=600 结 ∴PB= 3 a


A

3 3 V= a 3

例题讲解
动 画 音 乐

P

1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的正方形,PB⊥面ABCD. (2)证明不论高PB怎样变化,面PAD 0. B 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90 小结:作二面角平面角的方法
M

A

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证:由题设侧面PAD与PCD为全等⊿, C D 作CM⊥PD于M,连结MA,则⊿CDM≌⊿ADM, ●有面的垂线,则一作一连法 ∴AM=CM,∠AMD=900 故AMC就是所证二面角的平面角. ●AC 定义法,在两面内作棱的垂线 连结 在⊿AMC中,由余弦定理 2 2 2 2 2 2 AM ? MC ? AC AD ? CD ? AC ●面积射影定理 ? ?0 cos∠AMC = 2 AM ? MC 2 AM ? MC 故∠AMC>900,即证.

变化一
动 画 音 乐

四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的菱形,∠BCD=600,PB⊥面ABCD. 若面PAD与面ABCD的二面角为600, P 求四棱锥的体积;

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B
C E D

A

变化二
动 画 音 乐

四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的菱形,∠BCD=600,面PBC⊥面 ABCD,且⊿PBC是等边⊿. 求侧面 PAD与底面ABCD所成的二面角;

P

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注意:●面面垂直的应用


B E C D

分析平面图形

A

例题讲解
2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面 音 0 ,D、E分别 乐 ABC是等腰Rt⊿, ∠C=90 是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2 A
1
首 页 上 页 动 画

B1 C1 E D

(1)求线段DE的长

解:取AB的中点F,连结EF,CF, ∴EF//AA1//CC1 下 ∵D是中点,∴EF // CD 页 ∴DE=CF 小 在⊿ABC中,CF= 2 结
结 束

A

F

B

C

∴DE=

2

例题讲解
2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面 音 0 ,D、E分别 乐 ABC是等腰Rt⊿, ∠C=90 A1 是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束 动 画

B1

(2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示) C1
解:∵ ABC-A1B1C1是直棱柱,AC⊥BC, ∴AC⊥侧面BB1C1C, 作CM⊥BD于M,连结AM, 则∠AMC就是所求二面角的平面角; 在⊿ACM中,AC=2 AC⊥CM, ∴tan∠AMC=AC/CM=
2 5 CM= 5

E D A C M B

5

即所求为 arctan

5

例题讲解
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 0 ,D、E分别是CC 和A B的中点,AA Rt⊿,∠ C=90 1 1 1 音 乐 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.
动 画

A1 解:连结BG,由已知∠EBG就是所求的角,
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(1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示);
M

B1

……

……

C1
D

E

2A ∴A1B与平面ABD所成的角为 arcsin 3
C

EG 2 sin?EBG ? ? EB 3

G

F

B

例题讲解
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 0 ,D、E分别是CC 和A B的中点,AA Rt⊿,∠ C=90 1 1 1 音 乐 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.
动 画

(2)求点A1到平面AED的距离。 A1
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B1 C1 D

方法A:作垂线法 方法B:等体积法
A

E

B C

方法A:作垂线法
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 0 ,D、E分别是CC 和A B的中点,AA Rt⊿,∠ C=90 1 1 1 音 乐 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.
动 画

(2)求点A1到平面AED的距离。 A1
解A:由上题解知,DE⊥平面AA1B1B
上 页 下 页 小 结 结 束 首 页

M C1 D K F C E

B1

∴平面ADE⊥平面AA1B1B于AE
A1 A ? A1 B1 在⊿A1AB1中,A1K= AB1

A

B

2? 2 2 2 6 ? ? 3 2 3

方法B:等体积法
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 0 ,D、E分别是CC 和A B的中点,AA Rt⊿,∠ C=90 1 1 1 音 乐 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.
动 画

(2)求点A1到平面AED的距离。 A1
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

B1 C1 D

VA ? ADE ? VD? AA E 解 B:
1 1

? S?AED ? d ? S?A1 AE ? DE
2 6 ?d ? 3
A

E

B C

方法C:对象转换法

动 画 音 乐

练习:正四棱锥S-ABCD中,高为a,底面边长为2a, 求: (1)底面与侧面所成的二面角; (2)点B到侧棱SC的距离; (3)相邻两个侧面所成的二面角。 S
E D H O A B C

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36

基础练习 判断题
动 画 音 乐

1.有一个面是多边形,其它面都是三角形的几何体是棱 锥。( 不是 ) 2.一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直。( 不是 ) 3.一个棱锥可以有一个侧面和底面垂直。( 是 )

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4. 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥。(不是)
不是 5 .所有的侧棱的长都相等的棱锥一定是正棱锥。( ) 6.下面给出的那些是正棱锥?说明理由( A.高过底面多边形的外接圆的圆心的棱锥 B.侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥 )

C.侧棱与底面所成的角都相等的棱锥

37

动 画 音 乐

例三.设一个正三棱锥的侧面和底面的交 角为60o,则棱锥的侧棱和底面的交角的 余弦值是多少?

解:设OD=1 则OC=2
在RT△SOD中SO=ODtan60o=

3

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在RT△SOC中SC=

SO2 ? OC2

=

7
7/7

∴cos∠SCO=OC/SC=2/ 7 = 2

38

例1:如图已知正三棱锥S — ABC中,E、F分别是SB、SC
动 画 音 乐

的中点,平面AEF⊥平面SCB. S

求证:三棱锥S—ABC侧面 积与底面积的比。 F G

解:作正棱锥的高SO,连结AO并延长交BC于D,
连结SD交EF于G,连结AG. ∵SO ⊥平面ABC,O是△ABC中心 C 上 ∴D是BC的中点. 页 又∵ EF是△SBC的中位线 下
首 页 页

E
O

A

D B

∴G是SD的中点根据对称性,AE=AF 小 结 ∴AG ⊥EF 结 ∵平面AEF ⊥平面SCB ∴ AG ⊥ 平面SBC,


∴ AG ⊥SD, △ASD是等腰三角形,SA=DA
39

动 画 音 乐

3 2 设正三棱锥S—ABC的底面边长为a ,则AD= a ,SA=SB= a 2 2

于是: S侧 S △ABC

=

3

1 · 2

SD·BC

1 AD · BC 2

=
S

3SD AD

=

6

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

F
G C D E A

O

B
40

例2.正三棱锥的侧面积为18 3 cm2,高为3cm.被一个过底面中心且
动 画 音 乐

平行于一个侧面的平面所截,求这个截面与底面所成的角和面积 V F E C G B

解:过底面△ABC的中心O作 OD∥BC,交AB、AC于D、E, 过DE作平面DEF ∥平面VBC, 首 页 与平面ABV、平面ACV分别交 于DF、EF。 上 A 页
下 页 小 结 结 束

设正三棱锥底面边长为 a cm,AO 与BC交于C,连VG设VG=h cm

D

O

41

动 画 音 乐

1 B.体积问题:V棱柱=sh V棱锥= sh 3
例3.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都是2, 0 侧棱与底面成 60 角,且侧面ABB1A1⊥底面ABC C1 (1)求证:B1C ⊥平面ABC1 A1 (2)求C1A与A1B1所成的角 O C

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B1

(3)求三棱锥B1—ABC1的体积

A

D

B
42

解:过 V作VO?面ABC , O是垂足,由正三棱锥的性 3. 已知正三棱锥 V- ABC ,底面边长为6, 质知,O为正?ABC的中心,连结AO、CO。 并延长CO交 侧面与底面所成的二面角为 60 ,求它的 AB于D,连结VD,则OD?AB、VD?AB(三垂线定理) ??高和侧棱长。 VDO是侧面VAB与底面ABC所成二面角的平面角,
动 画

即?VDO= 60 又?ABC是正三角形,AB=6
音 乐



V

3 ?CD= AB= 2
首 页 上 页

3 3
A D

1 DO= CD= 3 下 3 页 2 CD= 2 3 小 AO= 3 结 。 由Rt ?VOD得:VO=OD· tan 60 结 束 = 3 · 3 =3 由Rt ?VOA,AO= VO=3,得AV=

C O
B
43

21

动 画 音 乐

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1
D A A1 C

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

D1
B

C1 B1

44

动 画 音 乐

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1
D A A1 C

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

D1
B

C1 B1

45

动 画 音 乐

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1 (2)求平行六面体的体积? CE=
6 a 3

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

D D1 B B1

C

SA1B1C1D1= 2 3a2
C1

A

o
A1

E

V= SA1B1CD1×CE
= 2

2a 3
46

动 画 音 乐

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1 (2)求平行六面体的体积? 2 2 a S⊿B1CD1=
D D1 B

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

VC1-B1CD1= 1 3 S⊿B1CD1×CC1 2 C
? 3
C1

a2

A

A1

B1
47

动 画 音 乐

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1 (2)求平行六面体的体积? 2 2 a S⊿B1CD1=
D D1 B

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

VC1-B1CD1= 1 3 S⊿B1CD1×CC1 2 C
? 3
C1

a2

A

= 1 3 S⊿B1C1D1×h

A1

B1

V= ( 2 S⊿B1C1D1)×h
= 2

2a 3

48

动 画 音 乐

已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是 AD,AB的中点,PC⊥面ABCD,PC=2, 求点B到平面PEF的距离?

P
首 页 上 页 下 页 小 结

D

点 —线
H C

E
G

O
F B

A 结


点—面

线—面
49

动 画 音 乐

已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是 AD,AB的中点,PC⊥面ABCD,PC=2, 求点B到平面PEF的距离?
P D C B

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

E A G F

V棱锥B-PEF
= 1 3 S⊿PFE×h

V棱锥P-BEF
= 1 3 S⊿BFE×PC
50

动 画 音 乐

正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成 的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二 面角的大小?
P

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E A B O C

D

51

动 画 音 乐

正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成 的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二 面角的大小?
P

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

F

D O E

C

A

B

52

动 画 音 乐

正三棱锥的底面边长为a .侧棱与底面所成 的角为60,过底面一边做一截面使其与底面 成30的二面角,求此截面面积?
P

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E A F B O C
53

动 画 音 乐

已知: 三棱锥P-ABC的底面是等腰三角 形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面 所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积?

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

P

A

B

O

D

C

54

练习 正三棱锥的底面边长是6,侧棱长是4,则
动 画 音 乐

① 正三棱锥的高是__;② 斜高是___;
③ 侧棱与底面所成的角是___;

S

④侧面与底面所成角是___;
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

A E

O

C B
55

练习
动 画 音 乐

(2)一个正三棱锥的底面边长为 a , 过各棱中 1. 点的截面面积是多少?
2. (3)一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

面面积与底面面积之比是1:2,求棱锥的高被 分成的两段比是多少?
3.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高截成1:2,那么 这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积比等于 [ ]

A.1∶9 B.1∶8 C.1∶4 D.1∶3

B
56

动 画 音 乐

例2 如图 四棱锥的高为,底面为菱形, 侧面和侧面所成的二面角为 1200 ,且都 垂直与底面,令两个侧面与底面所成的 角都等于600,求此棱锥的全面积。

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

57

七、练习:
动 画 音 乐

1 、三棱锥 P—ABC 各侧面与底面所成的二面角 都是 600 ,底面三角形的边长分别为 3 、 4 、 5 , 求此棱锥的侧面积。 3 2、过棱锥的高的两个三等分点作平行与底面 的截面,设两个截面面积与及底面面积分别 为S1、S2、S3,求S1:S2:S3(S1 S2)

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58

例 2 动
画 音 乐

设正棱柱的侧面积为S侧,底面积为S底, 侧面与底面所成的二面角为θ ,求证: S底=S侧.cos θ

例3 如图,过正三棱锥的底面一边垂直于对棱的截面 首 若此截面将对棱分成3:2的两部分,且底面边长 页 为 4,求此正三棱锥的全面积及侧面与底面所成的角。 上


例4 已知正六棱锥P-ABCDEF的斜高为a,侧面 小 与底面所成的二面角为θ,求棱的全面积。
结 结 束

下 页

59

练习、如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为a,侧棱与底面所成的角等于60o, 其中侧面BCC1B1⊥底面ABC, 求证:(1)C1A⊥BC (2)求四棱锥C1-ABB1A1的体积 解: (2) 由(1)知,C1D⊥平面ABC
音 乐 动 画

上 页 下 页

3 3 2 3 3 ?V ABC? A1B1C1 ? S ?ABC ? C1 D ? a? a ? a 2 4 8 1 1 ? VC1 ? ABC ? S ?ABC ? C1 D ? V ABC? A1B1C1 C1 3 3 首 页 ?VC ? ABB A ? VABC? A B C ? VC ? ABC
1 1 1 1 1 1 1

A1

B1 A

2 2 3 3 1 3 ? VABC? A1B1C1 ? ? a ? a 3 3 8 4
C D B

小 结

说明:直接用体积公式计算时只要分清底面及对应高,如计算困难则可用分割 结 法,计算时利用祖暅原理进行等积变形,将一些不规则的几何体的体积转 束 化为规则的多面体的体积计算。
60

例2、 如 图 , 已 知 正 四 棱 S 锥 ? ABCD的 底 面 边 长 为 4, 高 为6, 点P是 高 的 中 点 , Q是 侧 面 SBC的 重 心 , 动 求: ( 1 )P、Q两 点 的 距 离 ; 画 ( 2 )异 面 直 线 PQ与BS所 成 的 角 ; 音 乐 ( 3 )直 线PQ与 底 面 ABCD所 成 的 角 。
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S

P Q D O A F E C
61

B

例2、 如 图 , 已 知 正 四 棱 S 锥 ? ABCD的 底 面 边 长 为 4, 高 为6, 点P是 高 的 中 点 , Q是 侧 面 SBC的 重 心 , 动 求: ( 1 )P、Q两 点 的 距 离 ; 画 ( 2 )异 面 直 线 PQ与BS所 成 的 角 ; 音 乐 ( 3 )直 线PQ与 底 面 ABCD所 成 的 角 。
z
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

S

P Q D O A C

y
B E
62

x

3.14第10题 正 五 棱 锥 中 相 邻 两 个面 侧所 成 二 面 角 的 取 值围 范( ) 动 π π 3π 4π 画 A、 ( 0, ) B、 ( ,π ) C、 ( ,π ) D、 ( ,π ) 音 2 2 5 5 乐

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63

练习:
动 画 音 乐

1.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高截成1:2,那么 这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积比等于 B [ ]

A.1∶9 B.1∶8 C.1∶4 D.1∶3
2.正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45°角,求此棱锥 2 15 a 的侧面积. 4 3.底面为矩形的四棱锥P-ABCD,PA⊥底面ABCD ,PA= 3cm,AB=4cm,BC=3cm,求棱锥P-BCD的侧面积.
P

首 页 上 页 下 页 小 结 结 束

15 3 41 ?6 2 ? 2 2
D

C
B

A

64

例1:下列定义的棱锥是不是正棱锥? A、底面是正多边形,侧棱与底面所成的角都相等
动 画 音 乐

B、底面是正多边形 ,侧棱都相等的棱锥
C、底面是正多边形,侧面与底面所成的角都相等

D、侧棱都相等,侧面与底面所成的角相等
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例2、正三棱锥的底面边长是6,侧棱长是4,则 S

① 正三棱锥的高是__;② 斜高是___;

③ 侧棱与底面所成的角是___;
④侧面与底面所成角是___; ⑤两相邻侧面所成角是 ___; A
E
O
65

小 结 结 束

C B

棱 锥
动 画 音 乐

例2、正三棱锥S-ABC中,高SO=3,底面边长为 的二面角为 ? 问:当 ? 为何值时,SC与面ABD垂直

4 3 3 ,

过棱AB作截面ABD交侧棱SC于D,截面与底面所成

首 页 上 页 下 页

S
D A C E
O

S D

小 结 结 束

E

O

C

B
66


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