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高三解析几何专题复习


高三解析几何专题复习
瑞安中学 吴直爽 平面解析几何的基本思想是用坐标方法研究几何图形性质。通过合理地建立坐标系,把点和 坐标、曲线和方程等联系起来,达到了形和数的结合;同时平面向量具有代数与几何形式的双重 身份,它融数、形于一体,已成为中学数学知识的一个重要交汇点,平面向量与解几交汇自然贴 身,一脉相承,是新课程高考命题的必然趋势。 一、明确考试要求,把握试题特点。 1、高考要求(略) 2、试题特点: 综观近几年的新课程卷,试卷中解几分值占 20%,选择题、填空题 2~3 题,主要考查圆 锥曲线的标准方程及简单几何性质等三基内容,解答题则综合考查学生的“四大能力” ,题 型围绕解几的两大基本问题——求轨迹方程和研究曲线性质进行命制, 或两者综合考查只是 常把求轨迹隐藏于性质研究中,如全国 97 年、2002 年、2003 年等。近几年还融入向量刻画 的背景,其实质是对直线与圆锥曲线的性质作进一步的深入探究,是代数、向量、三角、几 何知识的综合应用。试题对解几内容的考查主要体现了函数与方程,等价转化、数形结合等 重要数学思想。分析试题总特点“重基础、重素养、重能力” 。 二、复习的想法 1、从思想方法高度重新认识基本概念、公式。 数学概念是数学知识的主体,是揭示数学规律的基本单元,在解几教学与复习中,必须透彻 理解概念,把握概念、公式所反映的数学本质,这是掌握基本知识、技能、思想方法的前提。例 如解几中两点间距离、点线距离、三点共钱、四点共圆、直线平行、垂直、直线的斜率、直线的 夹角、线段的比、图形的轴对称性,中心对称性等等问题都会是解几中要研究的对象,对此我们 首先必须深刻体会教材中是如何用代数形式来实现这些重要几何概念、几何位置关系的。在今后 综合问题中遇见这些几何表述时是否能熟练转化为代数形式来处理。再如解几中还常会遇见两点 A、B 关于直线 L 对称和直线与圆锥曲线位置的判定等几何问题。这些几何问题放在坐标系中是 如何通过曲线与方程概念得到转化的。用解几的基本思想高度认识问题,可以大大提高分析转化 问题的能力。如: 判别式 位置 2 直线(几何)转化 直线方程 消 y px +qx+r=0(q≠0) 求根公式 交点 圆锥曲线 曲线方程 韦达定理 弦长、弦中点等 (代数) AB 中点坐标满足直线 L 的方程 KAB?KL=-1 另外坐标系中的几何对象、点的坐标、线段的长、直线的斜率、三点共线、直线的平行与垂 直、直线的夹角、线段的比等,转化为向量形式又各是如何刻划,也需熟悉并进行一一总结。因 向量方法可以其独特的解题方式给解题提供一种新的思维视角,使相应的数学工具和教学语言更 加丰富、应用形式更加灵活、多样,与解几融合将能考查学生多方面的能力与水平。 2、重视曲线与方程的复习 围绕解几两大基本问题,通过一些典型问题的剖析、逐渐形成一些方法系统,同时,能熟悉 这些方法的应用情境,使学生对常见的基础问题始终“有规可循、有法可依”这是学生突破解几 问题的关键,不管问题背景如何综合新颖、设问如何巧妙,用解几基本思想方法,进行联想总是, 可以实现有效转化的。 (一)求曲线的方程: 1 点 A、B 关于直线 L 对称 (几何) 转化

分为两类问题:一类是知曲线的形状求标准方程,通常用待定系数法,体现方程思想,此法 学生较为熟悉,另一类是不知曲线形状位置求动点的轨迹方程,常见的求法有:直译法、定义法、 几何法、转移法、点差法(05 年上海春) 、交轨法(03 年) 、参数法(99 年) 、对称曲线求法等。 我想第二轮复习可重点放在定义法、点差法、参数法的强化训练上。如有些轨迹题借条件可用定 义判断形状,但学生总是掌握不好,特别是双曲线定义(比如一模解几题) 。而对参数法求轨迹 方程更是难点,这里是否选择参数法去解、选择什么参数,如何消参及变量范围等等都需要较强 分析问题能力,建议举些可多角度选择不同参数形式的典型问题去熟悉参数,总结常见的参数选 择:如选择①点参数(普通点、参数点) ,②直线的斜率 k,截距 b,倾斜角、直线参数方程中 t, ③角(旋转角) ,④线段的比入等等参数来沟通动点 p(x、y)的坐标。以下我总结的这些问题及 解法,学生应该有一定熟悉程度。老师可以总结归纳得更多。 1、已知⊙A:(x-2)2+y2=1 ⊙B:(x-2)2+y2=4,分别求满足下列条件的点 P(x、y)的轨迹方 程。 1 ①△APB 周长为 10, ②△PAB 中 SinA-SinB= sinP 2 ④⊙P 与⊙A 外切且与直线 L:x=L 相切 ③⊙P 与 OA 相外切且过定点 B (2, 0)

⑤⊙P 与⊙A、⊙B 都相切

2、已知 A( ?1, 0 ) B(1,0),分别求动点 P 满足下列条件的轨迹方程并指出轨迹形状: ①KPAkPB=m |PA| ② =m(m>0) ③∠PBA=2∠PAB ④∠APB=45° |PB|

⑤|PA|2±|PB|2=m ⑥|PA|±|PB|=2m ⑦||PA|-1|=||PB|-3|| ⑧△PAB 中 PA 边上的中线长为 m。 3、在圆 O:x2+y2=r2 中过轴上点 M 作 MN//X 轴,交圆 O 于 N,⊙O 与 X 轴正半轴交于 A 点, 求线段 AM 与 ON 交点 P 的轨迹方程 解一:考虑到点 P 位置随着点 M 在轴上位置的变化而变化,故可选点 M 的纵坐标 t 为参数, 动点 P(x,y) 解二:N 点在圆 x2+y2=r2 上可设圆心角∠AON=θ为参数则 N (rcosθ,rsinθ) 解三:可设直线 ON 的斜率 k 为参数 |NP| |MP| 解四:注意到点 P 位置随平行线 MN 的变化,即随 = |PO| |PB| =λ的变而变,可选λ为参数,设 P(x,y) ,N(x0,y0) (二)研究曲线性质的常见问题和方法 根据曲线的方程研究曲线的性质是解几的另一个基本问题,也是各类考题中的热点问题之 一。研究曲线性质问题常见有:直线与圆锥曲线的位置关系,有关点的范围、线段长(弦长、点 线距等) 、直线的斜率 K、倾斜角、截距,角、线段的比,图形面积及与圆锥曲线有关的重要基 本量 e、a、b、c 等对象的范围,最大小值,定值等。求解的策略: (1)定义法与几何法(2)函 数、方程、不等式法。前者常运用曲线的定义和几何性质,再进行代数运算,而且对题目条件和 结论能明显体现几何特征的意义,则考虑用图形性质、定义等来简捷求解,例如椭圆、双曲线、 抛物线的定义有着明显的几何意义,它们与“线段的长” (焦半径、长轴、焦距等)及“线段的 比值” (定点、定直线、比值)等有着十分紧密的关系,应善于运用定义法或几何方法求解,它 侧重从形的角度去研究曲线性质。第二轮仍要总结归纳熟悉一些常见问题求解。后者常直接转化 为代数形式,并尽量运用减少计算量的运算技巧(如韦达定理、点差法等)来求解,此法从“数” 的角度去研究曲线的性质,这恰恰是解几的最基本的,也是最重要的思想方法。 例 1:关于一些常见最值问题求解及策略 1、已知两点 A(-2,2) ,B(-3,-1) ,试在直线 L:2x-y-1=0 上分别求出符合下列条件的点 P: 2

①使|PA|+|PB|为最小 ②使|PA|-|PB|为最大 ③使|PA|2+|PB|2 为最小 2、已知实数 x,y 满足 x2+(y-1)2=1,分别求最大、小值: ①求(x+2)2+(y+1)2 ②x+y ③|2x-y-3| y+1 ④ x+2

④使∠APB 为最大

⑤使 x+y+m≥0 恒成立的

m 范围 3、求圆锥曲线上的动点与 (i)某定点距离的最值(90 年解几题) (i i)定直线距离的最值(97 年) (i i i)某定圆上点的 距离的最值 x2 y2 4、已知定点 A(x0,y0) ,椭圆 2 + 2 =1, F 为椭圆的一个焦点,试在椭圆上找一点 P a b ①使|PA|+ 题? 5、圆锥曲线中定长弦中点到准线距离最小值问题。 6、在圆锥曲线的内部求出一个半径最大的圆,使与曲线相切其中一个顶点。 7、与圆锥曲线性质有关的量最值问题,角的最值,围成多边形面积最值等。 例 2、解几中重要参变量取值范围问题的求解方法。 此类题综合性强,且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽,因而给解题带来诸多困 难,第二轮复习有必要通过典型问题总结和归纳如何寻找和挖掘不等量关系的一些方法,突破这 一难点:下面是一个老题,此题解法角度较多有一定代表性,同时也可展开研究性复习。 x2 y2 例1、 已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,如果曲线 C 上存在点 P,使 a b |PF| 最小值 e ②使|PA|+|PF|值最大、最小。类比双曲线,抛物线能否构造类似命

PF 1 ? PF 2 ? 0 ,求椭圆离心率 e 的变化范围
解一:根据圆锥曲线的变化范围,建立含参数不等式: 2c2-a2 令 Q(x0,y0)( y0≠0)??可得 x0= 2 e 1 θ= 2 -1 e 1 ∴0< 2 -1≤1 e 2e2-a2 2 ∵| x0|<a ∴ 0≤ 2 <a 求得 ≤e<1 e 2 sin2

解二: 选参数点利用弦函数有界性建立不等式, 设由垂直关系建立 e 与 sin2θ关系 得

解三:利用圆锥曲线的定义与几何性质 |PF1|=r1,|P F2|= r2 r12+r22=4c2 r1 + r2=2a r1 ,r2 是方程 t2-2at+ a2- c2=0 两实根 r1 + r2=2a r1 r2=2(a2- c2) ∴Δ=4 a2-8(a2- c2)≥0 求得 r12+r22 r1+r2 或:用基本不等式 ≥( )2 构造不等关系。 2 2 解三:利用曲线交点特征(方程组解有实数解)建立不等关系 由 x2+y2=4c2 有实数解得 (b2-a2)x2=a2b2-a2c2 (a>b) 有实数解 2 2 2 2 2 2 b x +a y =a b 2 2 2 2 ∴ a b -a c ≤0 求得 解四:几何法 π 可知∠F1PF2φ为最大角φ 且须有∠F1PF2=φ≥ 2 c φ φ π ∴ e= =sin ≥sin = a 2 4 2 ∴ 2 ≤e<1 2 ∴ π φ φ > ≥ >0 2 2 4

3

c 圆锥曲线离心率 e= a

是一个重要元素,它的变化会直接导致曲线形状和类型的变化,同时因它

是圆锥曲线统一定义中的三要素(定点、定直线、定比)之一,因此圆锥曲线的某些性质及其变 化可通过 e 的变化来遥控,从而使其成为以圆锥曲线为载体,集函数、方程、不等式于一体的问 题。从此题的多向思考解答可以体会寻找不等关系的常见方法,在此还可以总结如下: (1) 、 运用题设中已有的不等关系构建含参变量的不等关系或函数关系 (如 05 全国Ⅱ21 题) (2)根据圆锥曲线的交点特征即方程有实数解建立不等式(如 02 全国 21 题及上例) 。 (从 直线与圆锥曲线位置出发,利用一元二次方程实根存在条件如 04 全国Ⅰ23 题) 。 (3)根据圆锥曲线的变化范围,建立不等关系(如上例) (4)借助定义和几何直观挖掘不等关系。 (上例) 再附几题,供复习参考 1 以 A 为圆心,以 2 cos ? (

?
4

?? ?

?
2

) 为半径的圆外有一点 B ,已知 | AB |? 2 sin ? 。设过

点 B 且与圆 A 外切于点 T 的圆的圆心为 M 。 (Ⅰ)当 ? 取某个值时,说明点 M 的轨迹 P 是什么曲线; (Ⅱ)点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A 上的动点,把 | MN | 的最小值记为 f (? ) (不要 求证明) ,求 f (? ) 的取值范围; (Ⅲ) 若将题设条件中的 ? 的取值范围改为 0 ? ? ?

?
4

, 点 B 的位置改为圆内, 其它条件不变,

点 M 的轨迹记为 P 。试提出一个和原问题具有相同结构的有意义的问题(不要求解答) 。 ( (I)轨迹 P 是以 A, B 为焦点, 2 cos ? 为实轴长的双曲线的右支。 (II) 0 ? f (? ) ? 1 (1)当 ? 取某个值时,说明点 M 的轨迹 P 是什么曲线; (2)点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A 上的动点,把 | MN | 的最小值记为 f (? ) (不要求证 明) ,求 f (? ) 的取值范围。 ) 本题全面考查了解析几何的基本思想,综合了三角函数知识,还有探究能力。 2 如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M (m,0)(m ? 0) ,端点 A, B 到 x 轴的距离之积为 3m , 以 x 轴为对称轴,过 A, O, B 作抛物线。 (I)求抛物线方程; (II)若直线 AB 的斜 率为 (III)

y
A

1 ,求当 0 ? m ? 3 时, tan ?AOB 的 2
2

取值范围。 ((I) y ? 3x (II)?

O B

M

x

?
2

? ?AOB ? ? ? arctan 2 )

4

3.椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,M 为椭圆 C1 上 a2 b2
3 2 a 。 4

任意一点,且 | MF1 | ? | MF2 | 的最小值为

(I)求椭圆 C1 的离心率; (II)设双曲线 C2 以椭圆 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点; 在第一象限内任取双曲线 C2 上一点 P ,试问是否存在常数

? (? ? 0) ,使得 ?PAF 1 ? ??PF 1 A 恒成立?证明你的结论。
((I) e ?

此时 ? =2 ②以下证明当 PA 与 x 轴不垂直时,∠PAF1=2∠PF1A 恒成立.) 3、加强向量与解几的综合运用 平面向量的概念、性质以及运算都有着明显的几何变化,因此向量与几何图形(特别是点、 直线斜率、线段长、线段比等) ,以及图形间的位置关系(如点共线、两线平行、垂直、夹角等) 的联系是十分紧密的。而平面向量的坐标表示又架起了其与解几何之间的桥梁,使得这两分支之 间建立了联系。从“运算”的意义上理解向量的加、减、数乘、数量积等运算,通过运算的几何 意义可将其换成平面图形间的“变换” ,通过坐标运算又可转换为“实数”意义下的运算,这种 “运算”间的相互转换构成平面向量、平面几何、 解析几何的相互转化, 渗透着“数形结合” , “转 化”等重要的数学思想方法。 平面向量与平面解析几何知识融合在一起的考查,成为了对平面解析几何考查的热点,这在 全国新课程试卷中体现是充分的,04 全国Ⅰ、Ⅱ、03 年、02 年新课程卷都融入向量,甚至也可 以把向量作为解几问题的有力武器。估计我省对两者的综合性也可能会加强,其考查的重点着重 在如何将平面向量条件等价转化成平面解几的相关条件,然后用解几方法去解,或直接借向量运 算去求解。解题的关键在于如何运用向量及运算的几何意义,坐标运算等基础知识实现转化。第 二轮复习要选择适当两者综合的问题加以训练, 着重总结实现转化的途径和方法, 这里不再举例。 4、关注研究性学习,培养探索精神和创新实践能力 高考还将增加综合性、探索性、开放性等“能力型”试题,加大对探究精神和创造能力的考 查,其本质是突出对探究精神,创造能力与综合素质的考查,同时研究性课程作为新课程和必修 课,已成为高考一项内容,今后将会有所体现。鉴于此解几第二轮复习可选取高考的热点或典型 问题进行研究性学习, 变革教学复习方式, 引导学生主动参与到数学过程中, 鼓励学生自主学习, 合作探究,自主建构并在此过程中获取对知识和情感的亲身体验。培养创新意识和实践能力。 先举个课本高二(上)P114 习题:离心率 e= 2 ,经过点 M(-5,3) ,求适合条件的双曲线 方程。 1、设问:改(i)e= 3 (ii) 5 (iii)e= 5 ,经过的点不变,标准方程情形如何? 2

1 2

(II)假设存在适合题意的常数 ? (? ? 0) ,①先来考查特殊情形下的 ? 值:

(i)一种情形、焦点 x 轴上, (ii)①两情形、焦点 x、y 轴上都可解; (iii)双曲线不存在。 (Ⅳ)当离心率为何范围时,经过点 M(-5,3)的双曲线的标准方程可能不存在,一种情形, 两种情形? 2、设问: (i)若 e = (ii) 若 e = 3 M (-5,4) 则双曲线有两情形 5 M (1,3) 则双曲线有两情形 2

(iii)离心率 e 相对不变,经过什么区域内的点时双曲线的标准方程 5

为一种、两种,也有可能没有? 再如已知抛物线 y2=2px(p>0),过 O 点作两互相垂直的直线 OA、OB 交抛物线于 A、B,求 证:直线 AB 恒过一定点。 1、研究不同的解法;体现多向思维在分析解题中的作用,沟通知识间的关系。 2、探究变题 ①逆命题是否正确?正确给予证明,不正确,说理由,直线 AB 恒过点(2P ,0)是 OA⊥ OB 成立的充要条件吗? ②对定理中的 OA⊥OB,变为 KOA? KOB= m(m≠0)又如何?充要条件还为直线恒过定点 2p (- ,0) m ③过原点的两弦变为抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点(x0, y0)又如何? a、PA⊥PB,充要条件为直线 AB 过定点 P(x0+2P、- y0) 2p b、KOA?KOB= m(m≠0)????????P(x0- 、- y0) m 对抛物线成立的命题类似地对于其他圆锥曲线是否仍能成立? 过椭圆 x2 y2 + =1 上任意点 P(x0, y0)作互相垂直两弦 PA⊥PB, a2 b2

a2-b2 b2-a2 则直线 AB 恒过定点( 2 2 x0 , 2 2 y0) a +b a +b 双曲线 x2 y2 a2+b2 a2+b2 2 - 2 =1?( 2 2 x0 , 2 2 y0) a b a -b a -b

这种对作问题的形式结构和数量关系进行研究,利用变式探索、挖掘、概括、引申获得问题 的一般性结果,使得特殊问题一般化,零数知识规律化。 3、研究问题的辐射及应用价值 对上研究成果进一步探索其在其他情境中的应用价值,还可以更深刻认识其他问题。原命题 中(1)求弦 AB 中点轨迹方程(2)若∠AOB 的平分线交 AB 于 P,求点 P 的轨迹方程,对这些 问题总结各种解题方法和探究方法都有一定代表性。 若从抛物线的切线有关性质上进行发散是否能发现些新的结论:如已知抛物线 x2=2py 的焦 点为 F,准线为 L,过 L 上一点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A、B,若提出如下三个猜 想: (1)直线 PA、PB 恒垂直; (2)直线 AB 恒过定点; (3)等式 FA ? FB ? ? FP2 中的λ恒为 常数,现请你一一进行论证。 此例可知研究性复习课的知识容量大,思维新,具有一定创新意识,可以避免传统复习中那 种单调重复的低效益。同时也给我们获得了探究数学问题的一些方法如“逆命题”探究和“类比” 探究。学会提出问题比学会解决问题更重要。若师生经常一起来挖掘课本资源,多从数学问题的 背景入手,多角度去探究,去思考,提出更多更深刻的问题,可以激发探究的热情,开发学生的 巨大潜能,从而培养创新意识和实践能力,使师生共享探究性学习数学的情感体验。

6


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