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2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 第1课时 变化率问题、导数的概念 新人教A版选修1-1_图文

第 1 课时 变化率问题、导数的概念 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P72~P76 的内容,回答下列问题. (1)气球膨胀率 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关 系是 V(r)=34π r3,如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 3 r(V)= 3V 4π . ①当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时,气球的平均膨胀率 是多少? 提示: r(1)1--0r(0)≈0.62(dm/L). ②当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球的平均膨胀率 是多少? 提示: r(2)2--1r(1)≈0.16(dm/L) . ③当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率又是 多少? r(V2)-r(V1) 提示: V2-V1 . (2)高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m) 与起跳后时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. ①在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度 v 是多少? 提示: v =h(0.50).5--0h(0)=4.05(m/s) . ②在1≤t≤2这段时间里,运动员的平均速度 v 是多少? 提示: v =h(2)2--1h(1)=-8.2(m/s) . ③在 t1≤t≤t2 这段时间里,运动员的平均速度v 又是多少? ????其中,t1<t2∈????0,6459???? ?? ?? 提示: v =h(t2)t2- -ht1(t1) . 2.归纳总结,核心必记 v (1)函数的平均变化率 对于函数y=f(x),给定自变量的两个值x1和x2,当自 变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),我们把式子 f(x2)-f(x1) x2-x1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率. 习惯上用Δ x 表示 x2-x1,即Δ x= x2-x1 Δ x 看作是相对于 x1 的一个“增量”,可用 x1+Δ x 代替 x2;类似地,Δ y= f(x2) Δy -f(x1) 于是,平均变化率可表示为 Δ x . (2)瞬时速度 ①物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度. ②若物体运动的路程与时间的关系式是 s=f(t),当Δ t 趋近 于 0 时 , 函 数 f(t) 在 t0 到 t0 + Δ t 之 间 的 平 均 变 化 率 f(t0+Δ t)-f(t0)趋近于常数 Δt .我们就把这个 常数 叫做物体 在 t0 时刻的瞬时速度. (3)导数的定义 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: 我们称它为函数 y= f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或y′|x=x0 ,即 f′(x0)= . [问题思考] (1)设A(x1,f(x1)),B (x2,f(x2))是曲线y= f(x)上任意不同的两点,则函数y=f(x)的平均 变化率ΔΔ xy=f(x2)x2- -xf(1 x1) =f(x1+Δ x)-f(x1)表示什么? Δx 提示: 表示割线AB的斜率. (2)Δ x,Δ y的值一定是正值吗?平均变化率是否一定 为正值? 提示: Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不 能为0,平均变化率ΔΔxy可正、可负、可为零 . (3)在高台跳水中,如何求在[1,1+Δt]这段时间内的平均 速度 v?当 Δt 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? v 提示: =v((1+1+Δt)Δt)--v(11).当 Δt 趋近于 0 时,平均 速度v即为t=1时的瞬时速度 . (4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系? 提示: (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2] 上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的; (快2)联慢系;;:当Δx趋于0时,平均变化率ΔΔxy趋于一个常数, 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值. [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的几个知识点. (1)平均变化率的定义是: ; (2)什么是函数的瞬时变化率?它与平均变化率有什么区别 和联系? ; (3)导数的定义是什么?如何表示? ; (4)平均速度与瞬时速度的定义是什么?它们有什么区别和 联系? . [思考1] 平均变化率可用式子 Δ Δ y x 表示,其中Δ y、Δ x的 意义是什么? 提示: Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量 . [思考2] 如何求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变 化率? 平均变化率为 提示: f(x2)-f(x1) x2-x1 . 讲一讲 1.已知函数f(x)=3x2+5,求f(x): (1)从0.1到0.2的平均变化率; (2)在区间[x0,x0+Δ x]上的平均变化率. [尝试解答] (1)因为f(x)=3x2+5, 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22+0.25- -30.×1 0.12-5=0.9. (2)f(x0+Δx)-f(x0) =3(x0+Δx)2+5-(3x20+5) =3x20+6x0Δx+3(Δx)2+5-3x20-5 =6x0Δx+3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 6x0Δx+Δ3( x Δx)2=6x0+3Δx. (1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1. 第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1). 第三步,求平均变化率Δ Δxy=f(x2)x2- -fx(1 x1). (2)求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率,可用 f(x0+Δx)-f(x0) Δx 的形式. 练一练 1.已知函数f(x)=x+ 1 x ,分别计算f(x)在自

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