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高考 数学 专题 数形结合思想在高考中的应用


数形结合思想在高考中的应用
杨新兰 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,也就是对题目 中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景,在代数与几何的结合上寻找解题思 路。最常用的是以形助数的解题方法,其实质就是对图形性质的研究,使要解决的数的问 题转化为形的讨论,实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。 例 1. (2005 年高考全国卷 II)函数 f ( x ) = 2 围。 解: f ( x ) ≥ 2 2 ,也即 | x + 1|?| x ? 1| ≥
| x +1|? | x ?1|

,求使 f ( x ) ≥ 2 2 的 x 的取值范

3 。 2 ??2( x ≤ ?1) ? 设函数 g ( x ) =| x + 1|?| x ? 1| = ?2 x ( ?1 < x < 1) ?2( x ≥ 1) ? 3 h( x ) = 2
3 。 4

如图 1,由 g ( x ) 、 h( x ) 的图象和 g ( x ) ≥ h( x ) ,可得 x ≥

图1 评析:数与形之间存在着密切的联系,很多代数问题若能转化成图形,则思路和方法 可以从图形中直观地显示出来。数形结合,简明直观,作出图表,一目了然。 例 2. (2005 年高考全国卷 II 题) 已知 a > 0 , 函数 f ( x ) = ( x ? 2ax ) e , f(x)在[-1, 设
2 x

1]上是单调函数,求 a 的取值范围。 解 : f ' ( x ) = e x [ x 2 + 2(1 ? a ) x ? 2a ] 。 由 f ( x ) 在 [ - 1 , 1] 上 是 单 调 函 数 , 知

g ( x ) = x 2 + 2(1 ? a ) x ? 2a 在[-1,1]上有 g ( x ) ≥ 0 恒成立,或 g ( x ) ≤ 0 恒成立。 (1)如图 2, g ( x ) ≥ 0 恒成立时 ( x ∈[ ?1,1]) ,有三种情况:

图2

①? ≤ 0; ②?

?a ? 1 ≤ ?1 ? g ( ?1) ≥ 0 ?a ? 1 ≥ 1 ? g (1) ≥ 0

③?

均无解。 (2)如图 3, g ( x ) ≤ 0 恒成立时 ( x ∈[ ?1,1]) ,有

图3

? g (1) ≤ 0 3 ?a≥ 。 ? 4 ? g ( ?1) ≤ 0 3 综上得 a ≥ 。 4
评析:本题融函数、导数、不等式为一体,在网络交汇处设计的试题,通过借助于图 形的直观性,以图助算,就可避免烦琐的计算。因此,以数形结合为切入点,可化难为易, 让抽象的问题转化得直观明白。 例 3. (2004 年湖北高考题)如图 4,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 θ 取何值时 BP · CQ 的值最大?并求出这个最大值。









图4 解:以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图 5 所示的平面直 角坐标系。

→ → BP = ( x ? c,y ) , CQ = ( ? x, ? y ? b) ( ?2 x , ? 2 y ) → → 所以 BP · CQ = ( x ? c)( ? x ) + y ( ? y ? b)
所 以

图5 设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a。 设点 P 的坐标为(x,y),则 Q(-x,-y) ,

→ → BC = ( ? c,b) , PQ



= ? ( x 2 + y 2 ) + cx ? by → → PQ · BC cx ? by 因为 cosθ = → → = a2 | PQ|| BC|
2 所以 cx ? by = a cosθ

即 BP · CQ = ? a 2 + a 2 cosθ





故当 cosθ = 1 ,即 θ = 0 时 ( PQ 与 BC 方向相同 ) , BP · CQ 最大,其最大值为 0。 评析:平面向量具有一套良好的运算性质,它可以把几何图形的性质转化为向量的坐 标运算,实际了“形”与“数”的结合,使晦涩的图形问题,通过规则的代数运算而获得 解决。









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数形结合思想在高考中的应用 G.622.46 数形结合思想在高考中的应用 蔡卫琴 一校 陈丽娜 二校


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