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第2讲古典概型(教师用)


第2讲
【2013 年高考会这样考】

古典概型

1.考查古典概型概率公式的应用,尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问 题更是高考的热点. 2.在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查,考查学生分析和解决问 题的能力,难度以中档题为主. 【复习指导】 1.掌握解决古典概型的基本方法,列举基本事件、随机事件,从中找出基本事 件的总个数,随机事件所含有的基本事件的个数. 2.复习时要加强与统计相关的综合题的训练,注重理解、分析、逻辑推理能力 的提升.

基础梳理 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.古典概型的概率公式 P(A)= A包含的基本事件的个数 . 基本事件的总数

一条规律 从集合的角度去看待概率, 在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合 I,基本事件的个数 n 就是集合 I 的元素个数,事件 A 是集合 I 的一个包含 m 个 元素的子集.故 P(A)= 两种方法 (1)列举法:适合于较简单的试验. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.另外在确定基本事 件时,(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同;有时也可以看成是无序的, 如(1,2)与(2,1)相同. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)一枚硬币连掷 2 次,只有一次出现正面的概率为 ( 2 A.3 1 B.4 1 C.3 1 D.2 ). card?A? m = . card?I? n

解析 一枚硬币连掷 2 次,基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反), 2 1 而只有一次出现正面的事件包括(正,反),(反,正),故其概率为 = . 4 2 答案 D 2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( 1 A.6 1 B.2 1 C.3 2 D.3 ).

1 解析 甲共有 3 种站法,故站在中间的概率为3. 答案 C

3.掷一颗骰子,观察掷出的点数,则掷得奇数点的概率为( 1 A.3 1 B.4 1 C.2 2 D.3

).

3 解析 掷一颗骰子共有 6 种情况, 其中奇数点的情况有 3 种, 故所求概率为: 6= 1 2. 答案 C 4.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b >a 的概率是( 4 A.5 ). 3 B.5 2 C.5 1 D.5

解析 基本事件的个数有 5×3=15(种),其中满足 b>a 的有 3 种,所以 b>a 的 3 1 概率为15=5. 答案 D 5.(2012· 泰州联考)三张卡片上分别写上字母 E、E、B,将三张卡片随机地排成 一行,恰好排成英文单词 BEE 的概率为________. 解析 三张卡片排成一排共有 BEE,EBE,EEB 三种情况,故恰好排成 BEE 的 1 概率为3. 1 答案 3

考向一

基本事件数的探求

【例 1】?做抛掷两颗骰子的试验:用(x,y)表示结果,其中 x 表示第一颗骰子出 现的点数,y 表示第二颗骰子出现的点数,写出: (1)试验的基本事件;

(2)事件“出现点数之和大于 8”; (3)事件“出现点数相等”; (4)事件“出现点数之和大于 10”. [审题视点] 用列举法一一列举. 解 (1)这个试验的基本事件为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) (2)事件“出现点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件(3,6),(4,5),(4,6)(5,4), (5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (3)事件“出现点数相等”包含以下 6 个基本事件(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5), (6,6). (4)事件“出现点数之和大于 10”包含以下 3 个基本事件(5,6),(6,5),(6,6). 基本事件数的探求主要有两种方法:列举法和树状图法. 【训练 1】 用红、黄、蓝三种不同颜色给图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只 涂一种颜色,写出: (1)试验的基本事件; (2)事件“3 个矩形颜色都相同”; (3)事件“3 个矩形颜色都不同”. 解 (1)所有可能的基本事件共 27 个.

(2)由图可知,事件“3 个矩形都涂同一颜色”包含以下 3 个基本事件:红红红, 黄黄黄,蓝蓝蓝.

(3)由图可知,事件“3 个矩形颜色都不同”包含以下 6 个基本事件:红黄蓝,红 蓝黄,黄红蓝,黄蓝红,蓝红黄,蓝黄红. 考向二 古典概型

【例 2】 ?现有 8 名 2012 年伦敦奥运会志愿者, 其中志愿者 A1, A2, A3 通晓日语, B1,B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志 愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. [审题视点] 确定基本事件总数,可用排列组合或用列举法,确定某事件所包含 的基本事件数,用公式求解. 解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成
1 1 的基本事件共有 C1 3C3C2=18 个.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此

这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,
1 事件 M 由 C1 3C2=6,

因而 P(M)=

6 1 = . 18 3

(2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中”这一事件,由于 N 包含(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3 3 1 个结果,事件 N 有 3 个基本事件组成,所以 P( N )=18=6,由对立事件的概率 公式得 1 5 P(N)=1-P( N )=1-6=6. 古典概型是基本事件个数有限,每个基本事件发生的概率相等的一种 概率模型, 其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的 比值. 【训练 2】 (2011· 全国新课标)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其 中一个小组, 每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴 趣小组的概率为( ).

1 A.3

1 B.2

2 C.3

3 D.4

解析 甲、乙两人都有 3 种选择,共有 3×3=9(种)情况,甲、乙两人参加同一 3 1 兴趣小组共有 3 种情况.∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率 P=9=3. 答案 A 考向三 古典概型的综合应用

【例 3】?(2011· 广东)在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示 编号为 n(n=1,2,?,6)的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中, 随机地选 2 位同学, 求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的 概率. [审题视点] 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算.(1)由这 6 位同学 的平均成绩为 75 分,建立关于 x6 的方程,可求得 x6,然后求方差,再求标准差; (2)用列举法可得所求古典概型的概率. 解 (1)∵这 6 位同学的平均成绩为 75 分, 1 ∴6(70+76+72+70+72+x6)=75,解得 x6=90, 这 6 位同学成绩的方差 1 s2 =6 ×[(70- 75)2 +(76-75)2 +(72- 75)2 + (70- 75)2 + (72- 75)2 +(90- 75)2] = 49,∴标准差 s=7. (2)从前 5 位同学中,随机地选出 2 位同学的成绩有:(70,76),(70,72),(70,70), (70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共 10 种, 恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的有:(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共 4 4 种,所求的概率为10=0.4, 即恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率为 0.4. 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型,已 成为高考考查的热点, 概率与统计结合题, 无论是直接描述还是利用频率分布表、

分布直方图、茎叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,则此类 问题即可解决. 【训练 3】 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两 种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一 个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一 个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解 (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆, 50 10 由题意得 n = ,所以 n=2 000, 100+300 则 z=2 000-100-300-150-450-600=400. (2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车, 400 a 由题意得1 000=5,则 a=2. 因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车.用 A1,A2 表示 2 辆舒适型轿车,用 B1,B2,B3 表示 3 辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆,其中至少有 1 辆舒适型 轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1, B2),(B1,B3),(B2,B3),共 10 个. 事件 E 包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 7 个.

7 7 故 P(E)=10,即所求概率为10. 1 (3)样本平均数 x =8(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 设 D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,则基本事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包含的基本事件有: 6 3 3 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 个,所以 P(D)=8=4,即所求概率为4.

阅卷报告 17——缺少必要的文字说明而失分 【问题诊断】 在阅卷中发现不少考生在解答概率问题的解答题时,只写出所求 结果,缺少必要的文字说明,没有按要求列出基本事件,致使丢了不该丢的分. 【防范措施】 正确写出基本事件空间,可以利用列表、画树状图等方法,以防 遗漏. 【示例】?(2011· 山东)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女, 乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出 的 2 名教师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任取 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教 师来自同一学校的概率.

错因 未写出基本事件的空间,缺少必要的文字说明. 4 2 实录 (1)P=9=3. 6 2 (2)P=15=5. 正解 (1)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表示,两女教师分别用 E、F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为:(A,D),(A,E), (A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共 9 种, 从中选出 2 名教师性别相同的结果有:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共 4 4 种,选出的 2 名教师性别相同的概率为 P=9. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C), (A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E), (C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共 15 种. 从中选出 2 名教师来自同一学校的结果有: (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共 6 种, 6 2 选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 P=15=5. 【试一试】 从含有两件正品和一件次品的 3 件产品中每次任取一件. (1)每次取出后不放回,连续取两次; (2)每次取出后放回,连续取两次. 试分别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. [尝试解答] (1)用 a1,a2 和 b1 表示两件正品和一件次品,则不放回地抽取两次,

其一切可能的结果为:(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2). 其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品, 右边的字母表示第二次取出的 产品,用 A 表示“取出的两件产品中,恰好有一件次品”这一事件,则 A 所含 的结果为(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),即基本事件的总数 n=6,事件 4 2 A 包含的事件总数 m=4.故 P(A)=6=3. (2)若为有放回的抽取,其基本事件包含的结果共有(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1), (a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1),用 B 表示“恰有一件 产品为次品”这一事件,则 B 包含的结果为(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,

4 a2),即基本事件的总数 n=9,事件 B 包含的事件总数 m=4.故 P(B)=9.


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