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河南省新乡平顶山许昌三市2015届高三第三次调研考试——数学文


新乡平顶山许昌三市 2015 届高三第三次调研考试

文 科 数 学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答题前,考生务必先将 自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案答在答题卡上,写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 M={ x| x -4x + 3<0 },集合 N={x||x|<2},则 M∩N 为 A.{ x|-2<x<3 } C.{ x|2<x<3 } B.{ x|1<x<3 } D.{ x|1<x<2}
2

2

2.如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z,则复数 z 等于 A.3-4i B.3+4i C.-3+4i 3.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为 4 的正方形,侧视图是矩形,俯视图是半圆,则该几 何体的表面积为 A.12π B.12π +16 C.8π D.8π +16

D.-3-4i

?3 x+y-6≥0, ? 4.设变量 x,y 满足约束条件 ? x-y-2≤0, ,则目标函数 z=y-2x 的最小值为 ? y-3≤0, ?
A.2
2

B.1

C.-7

D.-4

x2 y 2 1 的一个焦点重合,则 b 的值为 5.若抛物线 x =4 y 的焦点与椭圆 + = 2 b
A.3 B.4 C.6
1

D.8

6.设 Sn 为等比数列{ an }的前 n 项和,8 a2 + a5 =0,则

S5 等于 S2
D.11

A.-11 B.-8 C.5 7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 3,则可输入 的实数 x 值的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 8.曲线 y=2axlnx 在 x=

1 (e 为自然对数的底数)处的 e2

切线与直线 2x+y+1=0 垂直,则实数 a 的值为 A.-1 B.1 C.-

1 4

D.

1 4

9.对于下列命题: ①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变; ? =3-5x, ②y 与 x 具有线性相关关系, 其回归方程为 y 则 y 与 x 具有负的线性相关关系; ③在一组样本数据的散点图中,若所有样本点(xi,yi) (i=1,2,?,n)都在直线 y=

1 1 x +1 上,则这组样本数据的样本相关系数为 ; 2 2

2 2 ④命题 P: “ ?x0 ∈R, x0 - x0 -5>0”的否定 ? p : “ ?x ∈R, x -x-5≤0” .

其中错误命题的个数为 A.0 B.1

C.2

D.3

10.已知角α 的终边与以坐标原点为圆心,以 1 为半径的圆交于点 P( sin 则角α 的最小正值为 A.

2? 2? , cos ) , 3 3

5? 6

B.

2? 3

C.

5? 3

D.

11? 6

11.设双曲线

x 2 y2 - = 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是双曲线渐近线上 a 2 b2
1 |OF1|,则渐近线的斜率为 3
D.

的一点,AF2⊥F1F2,原点 O 到直线 AF1 的距离为

A. 5 或- 5

B. 2 或- 2

C.1 或-1

2 2 或- 2 2

2

12.已知函数 f(x)= x -cosx,若当-π <x<π 时,f(x1)<f(x2)恒成立,则下列结 论一定成立的是 A.x1>x2 B.x1<x2 C.|x1<|x2| D.|x1|>|x2|

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题~24 题为选考题.考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知平面向量 a=(1,-2) ,b=(4,m) ,且 a⊥b,则向量 a-b=_____________. 14.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 asinBcosC+csinBcosA= 则∠B=____________. 15.若 tan20°+msin20°= 3 ,则 m 的值为_____________。 16.球 O 是四面体 ABCD 的外接球(即四面体的顶点均在球面上) .若 DB⊥平面 ABC, AB⊥AC,且 AC=1,DB=AB=2,则球 O 的表面积为_____________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2 3 sin(x+

1 b, 2

? ? ? 2 )cos(x+ )+ 2 cos ( x- ) -1(x∈R) . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,

? ]上的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2

18. (本小题满分 12 分) 在三棱锥 P—ABC 中, PA⊥底面 ABC, D 为 BC 的中点, PB=PC= 26 ,cos∠BPC=

5 ,在△PAD 中,过 A 13

作 AM⊥PD 于 M.. (Ⅰ)求证:AM⊥PC; (Ⅱ)若 AD=3,求三棱锥 P-ABC 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 某市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统计如下:

记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为 S(单位:元) ,空气质量指数 API 为ω ,
3

在区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造成经济损失成直 线模型(当 API 为 150 时,造成的经济损失为 500 元,当 API 为 200 时,造成的经济损 失为 700 元) ;当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2000 元. (Ⅰ)试写出 S(ω )表达式; (Ⅱ)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 100 重度污染 合计

20. (本小题满分 12 分) 椭圆

x 2 y2 + = 1 (a>b>0)在第一象限的部分与过点 A(2,0) 、B(0,1)的直线相 a 2 b2

切于点 T,且椭圆的离心率 e=

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 F1,F2 为椭圆的左,右焦点,M 为线段 AF2 的中点,求证:∠ATM=∠AF1T. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g(x)=ax-

a 2 -5lnx,其中 a∈R.函数 h(x)= x -mx+4,其中 m∈R. x

(Ⅰ)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设当 a=2 时,若 ?x1 ∈(0,1) , ?x2 ∈[1,2],总有 g(x1)≥h(x2)成立,求 实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答 时。用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
4

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,△ABC 内接于直径为 BC 的圆 O,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P,∠BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D、E,若 sin∠ABC= (Ⅰ)求 PB 的长; (Ⅱ)求 AD·DE 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 已知曲线 C: ?

2 5 ,PA=10. 5

? x=2cos ? , ? x=2+t , (θ 为参数) ,直线 l: ? (t 为参数) . ? y=3sin ? ? y=2-2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 在 y 轴上的截距; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值 与最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|,g(x)=-|x+3|+a,其中 a∈R. (Ⅰ)解关于 x 的不等式 g(x)>6; (Ⅱ)若函数 y=2f(x)的图象恒在函数 y=g(x)的图象的上方,求实数 a 的取值范围.

新乡、平顶山、许昌三市 2015 届高三第三次调研考试
5

文科数学答案
一、选择题 DABCAA CCBDDC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) ?? 3,?4? (14) ? 或
6

5? 6

(15)4

(16) 9?

三、解答题: 17.(本小题满分 1 2 分) 解:(Ⅰ) f ?x ? ? 3 sin? 2 x ?

?? ? ? ? cos? 2 x ? ? 2? 2? ? ?? ? ? 3 cos2x ? sin 2x ? 2 sin? 2 x ? ? . 3? ? 2? ? ? . ????????6 分 所以 f ?x ? 的最小正周期为: T ? 2 ? ? ? 4? (Ⅱ)因为 0 ? x ? ,所以 ? 2 x ? ? . 2 3 3 3
? ?
当 2x ?

??

? ? ? ? ? 时,即 x ? 时, f ?x ?m ax ? 2 sin ? 2 ; 12 3 2 2 ? ? 4? 4? ? ? 3 . ??????12 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ? x ?m in ? 2 sin 3 2 3 3

分 18.(本小题满分 12 分) P (Ⅰ)证明: 因为 PA ? 底面 ABC , BC ? 底面 ABC , M 所以 PA ? BC . 在 ?PBC 中,因为 PB ? PC , BD ? CD , 所以 PD ? BC . A 又因为 PA ? PD ? P , PA ? 平面 PAD , D PD ? 平面 PAD , 所以 BC ? 平面 PAD ,因为 AM ? 平面 PAD , B 所以 AM ? BC . 又因为 AM ? PD , PD ? BC ? D , PD ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 AM ? 平面 PBC ,又因为 PC ? 平面 PBC , 所以 AM ? PC . (Ⅱ)解:因为 PA ? 底面 ABC , PB ? PC ,所以 AB ? AC ,又 D 为 BC 的中点, 所以 AD ? BC . 在 ?PBC 中,由余弦定理得: BC ? 4 2 . 在 Rt ?ADB 中, AD ? 3 , BD ? 2 2 ,所以 AB ? 17 . 在 Rt ?PAB 中, AB ? 17 , PB ?

C

26 ,所以 PA ? 3 .
6

1 1 BC ? AD ? 6 2 ,所以 V P ? ABC ? S ?ABC ? PA ? 6 2 2 3 19.(本小题满分 1 2 分) S ?ABC ?

20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)? e ?

x2 y2 3 a2 ? b2 3 ? ? 1. ? a 2 ? 4b 2 ,故椭圆方程为: ? ? 2 4 a2 4b 2 b 2 x 椭圆的切线直线 AB 的方程为: ? y ? 1 ??????2 分 2 将直线 AB 的方程代入椭圆的方程并整理得: 2 y 2 ? 2 y ? 1 ? b 2 ? 0 .

? ? 4 ? 81? b

?

2

?

? 0 ,解得: b 2 ?

1 x2 ? 2y2 ? 1. .故所求椭圆方程为 2 2
???6 分

? x ? ? 2 ? y ?1 1? ? x ?1 1 ?T ? (Ⅱ)解方程组 ? 2 得? ?1, ? , y ? ? 2? ?x ? 2y2 ? 1 ? 2 ? ?2 ? 6 ? ? 6 ? ? 6 ? ?. ?, F2 ? ? , A?2,0? ,所以 M ? ? 1 , 0 ? , 0 , 0 又 F1 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 6 1? ? 6 1? ? 1? ?, F1T ? ?1 ? , ? , ? , F1 F2 ? 所以: TA ? ?1,? ?, TM ? ? ? 4 ? ? 2 2 2? ? 2? ? ? ? ?

?

6 ,0 ? 6 ?1,0? ,

?

7

6 ?1 2 3? 2 TA ? TM 4 ? ? 设 m ? ?1,0? , cos ?ATM ? . 5 1 6 1 TA TM 1? ? 4 16 4 6?2 2? 6 2? 6 2 3? 2 FT ?m 2 ? ? ? ? cos?AF1T ? 1 . 2 5 2 2 ? 3 11 ? 4 6 F1T m 2? 6 1 ? 4 4 所以 cos ?ATM ? cos?AF 1T ? ?0, ? ? , ?ATM ? ?0, ? ? , 1T ,又因为 ?AF ? ?ATM ? ?AF1T . ???????????????????????12 分

?

?

21.(本小题满分 12 分) a 解(I) g ? x ? ? ax ? ? 5 ln x ,故 g ?x ? 的定义域为 ?0,??? . x

ax2 ? 5 x ? a . 因 为 g ?x ? 在 其 定 义 域 上 为 增 函 数 , 所 以 x2 ?x ? ?0,??? , g ??x ? ? 0 5x 即 ?x ? ?0,??? , ax2 ? 5 x ? a ? 0 ,所以 a ? 2 对 x ? ?0,??? 恒成立. x ?1 5x 令 h? x ? ? 2 , x ? ?0,??? ,所以 a ? h?x ?max . x ?1 5 5x 5 5 h?x ? ? 2 ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取等号.所以 a ? . 2 x ?1 x ? 1 2 x (II)由题意知: g ?x ? 在 x ? ?0,1? 上的最大值不小于 h?x ? 在 x ? ?1,2? 上的最大值. g ??x ? ?
当 a ? 2 时 , g ?x ? ? 2 x ?

x ? 2.

2 x2 ? 5x ? 2 2 1 . 由 g ??x ? ? 0 , 得 x ? 或 ? 5 ln x , g ??x ? ? 2 x 2 x

x
g ?? x ? g ?x ?
?1? ?2?

? 1? ? 0, ? ? 2? 正 增

1 2 0
极大值

?1 ? ? ,1? ?2 ? 负 减

所以 g ?x ?max ? g ? ? ? ?3 ? 5 ln 2 . 而 h?x ? 在 x ? ?1,2? 上的最大值为 h?1? , h?2? 中的最 大者.

? ?1? ? g ? 2 ? ? h?1?, ?? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m, ? ? ? 所以 ? 即? 得 m ? 8 ? 5 ln 2 . 1? ?? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2m, ?g? ? ? ? h?2 ?, ? ? ?2?
8

所以实数 m 的取值范围是 ?8 ? 5 ln 2,??? . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)PA 是圆 O 的切线, ?PAB ? ?ACB

AC AP ? AB PB AC AP 2 5 ?2? ? 2 ,又 PA ? 10 ? PB ? 5 .???5 分 ,故 ? sin ?ABC ? AB PB 5
? ?ABP

?CAP ?

(Ⅱ)

……………..10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 解:(I)消去参数 ? 得曲线 C 方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,又 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 4 9 1 cos 2 ? sin 2 ? 代入并整理得 2 ? ,这就是曲线 C 的极坐标方程 ? ? 4 9 消去参数 t,得 l 的直线的方程为 y ? ?2 x ? 6 ,故其在 y 轴上的截距为 6

(II)

…………………..10 分 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(I) x ? 3 ? a ? 6 , 当 a ? 6 时,无解; 当 a ? 6 时, ? ?a ? 6? ? x ? 3 ? a ? 6 ,解得: 3 ? a ? x ? a ? 9 . 所以:当 a ? 6 时,无解; 当 a ? 6 时,不等式的解集为: x 3 ? a ? x ? a ? 9 .??????5 分
9

?

?

(II)由题意得: 2 f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ,即 a ? 2 x ? 1 ? x ? 3 .

?? 3 x ? 1, x ? ?3, ? ? 3 ? x ? 1, 设 h?x? ? 2 x ? 1 ? x ? 3 ,则 h? x ? ? ?5 ? x, ?3 x ? 1, x ? 1. ?
做出 h?x ? 的图象,可得:当 x ? 1 时, h?x ? 取得最小值 4. 所以 a ? 4 . ????????????????10 分

10


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