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 坐标系与参数方程3


坐标系与参数方程 3
1.在极坐标系中,曲线 ρ=2cos θ 所表示图形的面积为__________. π 2 2.在极坐标系中,定点 A(2,π),动点 B 在直线 ρsin?θ+4?= 上运动,则线段 AB 的最 ? ? 2 短长度为__________. π 3.在极坐标系中,点?2,3?到圆 ρ=2cos θ 的圆心的距离为__________. ? ? 4.在极坐标系中,P,Q 是曲线 C:ρ=4si n θ 上任意两点,则线段 PQ 长度的最大值为 __________. ?x=cos α, ? 5.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数).在极坐标系(与 ? ?y=1+sin α 直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则 C1 与 C2 的交点个数为__________. ? ?x=-4+4t, 6.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),在以坐标原点 O 为极点,x 轴的 ? ?y=-1-2t π 正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2 2cos?θ+4?,则圆心 C 到直线 l 的距离为 ? ? __________. π 7. 在极坐标系中, A?2,2?关于直 线 l: 点 ? ρcos θ=1 的对称点的一个极坐标为__________. ? π 8.在极坐标系中,曲线 ρ=4cos θ 与 ρcos θ=4 的交点为 A,点 M 坐标为?2,3?,则线段 ? ? AM 的长为__________. π 9.在极坐标系中,过点 A ?2 2,4? 作圆 ρ=4sin θ 的切线,则切线的极坐标方程是 ? ? __________. 10.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立 直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为______________. 11.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知抛物线
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?x= 3t, C 的极坐标方程为 ρcos2θ=4sin θ(ρ≥0),直线 l 的参数方程为? (t 为参数),设直线 l ?y=1+t 与抛物线 C 的两交点为 A,B,点 F 为抛物线 C 的焦点,则|AF|+| BF|=__________. 12.直角坐标系 xOy 中,以原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B ? ?x=3+cos θ 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB|的最小值为__________. ? ?y=4+sin θ
?x=8t2, ? 13. 已知抛物线 C 的参数方程为? (t 为参数). 若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的 ? ?y=8t

焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=__________.

?x=5t2 ? ?x= 5cos θ 14.已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? 4 (t∈R),它们的交点 ?y=sin θ ?y=t ?
坐标为________.
?x=m+2cos α, ?x=2-4t, ? ? ? ? 15. 在同一直角坐标系中, 若曲线 C1: (α 为参数)与曲线 D: ? ? ?y=2sin α ?y=3t-2 (t 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围是__________.

参考答案
1.π 解析:ρ=2cos θ 化为直角坐标方程为 x2+y2=2x ? (x-1)2+y2=1 ? S=π. π 3 2 2 2. 解析:定点 A(2,π)化为直角坐标为(-2,0),直线 ρsin?θ+4?= 化为直角坐标方 ? ? 2 2 程为 x+y-1=0, |-2+0-1| 3 2 则线段 AB 的最短长度为 d= = . 2 2 3. 3 4.4 ? ?x=cos α, 5.2 解析:由 C1:? 得曲线 C1:x2+(y-1)2=1. ?y=1+sin α, ? 由 C2:ρ(cos θ-sin θ)+1=0,得曲线 C2:x-y+1=0. 方法 1:(几何法)圆心(0,1)到直线 x-y+1=0 的距离 d=0<1, ∴C1 与 C2 有两个交点. 2 ? 2 ?x +(y-1) =1, 方法 2:(代数法)联立? 得 2y2-4y+1=0, ? ?x-y+1=0, Δ=16-4×2=8>0, ∴C1 与 C2 有两个交点. ?x=-4+4t, ? 6. 5 解析:直线 l 的参数方程? 可化为普通方程为 x+2y+6=0,圆 C 的 ? ?y=-1-2t π 极坐标方程 ρ=2 2cos?θ+4?可化为直角坐标系下的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,该圆的圆心 ? ? |1-2+6| (1,- 1)到直线 x+2y+6=0 的距离为 d= = 5. 5 π 7.?2 2,4? 解析:据已知点与直线的直角坐标及方程分别为 A(0,2),l:x=1,因此点 A ? ? π 关于直线 l 的对称点为(2,2),故其极坐标为?2 2,4?. ? ? 8.2 3 解析:由曲线 ρ=4cos θ 与 ρcos θ=4 可得直角坐标系下的两个方程分别为 x2+ π y2=4x 与 x=4,此直线与圆的交点坐标为 A(4,0),极坐标系下点 M?2,3?,转化为直角坐标系 ? ? 下的点坐标为 M(1, 3),
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∴|AM|= (4-1)2+( 3)2=2 3. π 9.ρcos θ=2 解析:据题意圆的直角坐标方程为(y-2)2+x2=4,点 A?2 2,4?的直角坐 ? ? 标为(2,2),由于点 A 在圆上,结合图形可 得切线方程为 x=2,故极坐标方程为 ρcos θ=2. 10.x2+y2-4x-2y=0 解析:∵ρ=2sin θ+4cos θ, ∴ρ2=2ρsin θ+4 ρcos θ. 将 ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,ρcos θ=x 代入,有 x2+y2=2y+4x, 即 x2+y2-4x-2y=0. 16 11. 解析:由已知,抛物线 C 的直角坐标方程为 x2=4y,直线 l 的普通方程为 x= 3(y 3 -1). 将 x= 3(y-1)代入 x2=4y, 10 得 3y2-10y+3=0,则 y1+y2= . 3 10 16 故|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)= +2= . 3 3 ? ?x=3+cos θ 12.3 解析:曲线 C1:? (θ 为参数)的直角坐标方程为(x-3)2+(y-4)2=1, ?y=4+sin θ ?

可知 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2;ρ=1 的直角坐标方程是 x2+y2=1,可知 C2 是以原点为圆心,1 为半径的圆,题意就是求分别在两个圆 C1 和 C2 上的两点 A,B 的 最短 距离.由圆的方程知,这两个圆相离, 所以|AB|min=d-r1- r2 = (3-0)2+(4-0)2-1-1 =5-1-1=3. 13. 2 解 析:消去参数 t,得抛物线标准方程 y2=8x,其焦点 F(2,0), ∴过抛物线焦点斜率为 1 的直线方程:x-y-2=0, ∴直线与圆(x-4)2+y2=r2 相切, |4-0-2| ∴r=d= = 2. 2 5 2 5? 14.?1, 解析:由两曲线参数方程消去 x,y,t 得 5cos θ= sin2θ, 4 5 ? ? 2 由此得 5cos θ+4 5cos θ-5=0. 又∵0≤θ<π, 5 ∴解得 cos θ= . 5 2 5 ∴sin θ= 1-cos2θ= . 5 ?x=1, ? 2 5? ∴? 2 5 故交点坐标为?1, . 5 ? ? ? ?y= 5 . 8 15.m> 或 m<-4 解析:将参数方程化为普通方程,曲线 C 即为圆 C:(x-m)2+y2 3 =4,曲线 D 即为直线 D:3x+4y+2=0, 因为圆与直线无公共点, |3m+2| 8 则 >2,解得 m> 或 m<-4. 5 3
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