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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》评估训练


双基达标
π? ? A.?0,2? ? ? ?π ? B.?2,π? ? ?

?限时 20 分钟?
). ?π ? D.?2,π? ? ? ?π ? C.?2,π? ? ?

1.若 a· b<0,则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是(

解析 ∵a· b=|a||b|cos θ<0,∴cos θ<0,又 θ∈[0,π], ?π ? ∴θ∈?2,π?. ? ? 答案 C 2.已知|a|=|b|=2,a· b=2,则|a-b|=( A.1 解析 B. 3 |a-b|= |a-b|2= ?a-b?2 C.2 ). D. 3或 2

= a2-2a· b+b2= 22-2×2+22= 4=2. 答案 C 3. 已知|a|=3, |b|=2, 〈a, b〉 =60° , 如果(3a+5b)⊥(ma-b), 则 m 的值为( 32 A.23 解析 23 B.42 29 C.42 42 D.23 ).

(3a + 5b)· (ma - b) = 0 ,即 3ma2 + (5m - 3)a· b - 5b2 = 0 ? 3m· 32 + (5m -

29 3)· 3×2cos 60° -5×22=0,解之得 m=42. 答案 C 4.已知|a|=3,|b|=4,则(a+b)· (a-b)=________. 解析 (a+b)· (a-b)=a2-b2 =|a|2-|b|2=32-42=-7. 答案 -7 5.已知|a|=4,a 与 b 的夹角为 30 ° ,则 a 在 b 方向上的投影为________. 3 解析 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 30° =4× 2 =2 3. 答案 2 3 6.已知|a|=4,|b|=3,当(1)a∥b;(2)a⊥b 时,求 a· b. 解 (1)当 a∥b 时,若 a 与 b 同向,则 θ=0° ,

∴a· b=|a||b|cos 0° =4×3×1=12; 若 a 与 b 反向,则 θ=180° , ∴a· b=|a||b|cos 180° =4×3×(-1)=-12. (2)当 a⊥b 时,θ=90° , ∴a· b=|a||b|cos 90° =4×3×0=0.

综合提高
A.150° B.120°

?限时 25 分钟?
). D.30° C.60°

7.若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则 a 与 b 夹角为(

解析 ∵a· b=|a||b|cos θ, a· b -6 1 ∴cos θ=|a||b|= =-2,又 θ∈[0° ,180° ], 4×3 ∴θ=120° . 答案 B π 8. 若向量 a 与 b 的夹角为3, |b|=4, (a+2b)· (a-3b)=-72, 则向量 a 的模为( A.2 B.4 C .6 D.12 ).

π 1 解析 由题意知 a· b=|a||b|cos 3=2|a||b|=2|a|,(a+2b)· (a-3b)=a2-a· b-6b2= |a|2-2|a|-6×42=-72,∴|a|=6. 答案 C 9.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j 为相互垂直的单位向量,那么 a· b =________. 解析 将两已知等式相加得,2a=-6i+8j,所以 a=-3i+4j.同理将两已知等

式相减得,b=5i-12j,而 i,j 是两个互相垂直的单位向量,所以 a· b=(-3i+ 4j)· (5i-12j)=-3×5+4×(-12)=-63. 答案 -63 10.若向量|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=________. 解析 ∵|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,∴a2-2a· b+b2=4, 即|a|2-2a· b+|b|2=4, 得 1-2a· b+4=4,∴2a· b=1.

于是|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= 1+1+4= 6. 答案 6

11.在△ABC 中,AB=8,BC=7,∠ABC=150° ,求 AC 的长. → → → → → 解 由题意知,AB与BC的夹角为 30° .又AC=AB+BC, → → → ∴|AC|=|AB+BC|= → → → → AB2+2AB· BC+BC2

= 82+72+2×8×7×cos 30° = 113+56 3, 即 AC 的长为 113+56 3.

12.(创新拓展)设向量 a,b 满足|a|=1,|b|=1,且 a 与 b 具有关系|ka+b|= 3|a -kb|(k>0). (1)a 与 b 能垂直吗? (2)若 a 与 b 夹角为 60° ,求 k 的值. 解 (1)∵|ka+b|= 3|a-kb|, ∴(ka+b)2=3(a-kb)2, 且|a|=|b|=1. 即 k2+1+2ka· b=3(1+k2-2ka· b), k2+1 ∴a· b= 4k .∵k2+1≠0, ∴a· b≠0,即 a 与 b 不垂直. (2)∵a 与 b 夹角为 60° ,且|a|=|b|=1, 1 ∴a· b=|a||b|cos 60° =2. k2+1 1 ∴ 4k =2.∴k=1.


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