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高中数学苏教版教材典型例习题及改编题精选(附答案)


第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
1. 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A , 则集合 P ? {( x, y) y ? f ( x), x ? A} 与 Q ? {y y ? f ( x), x ? A} 相等吗?请说明理由。 2. 已知一个函数的解析式为 y ? x 2 , 它的值域为 ?1,4? , 这样的函数有多少个?试写出其中两个函数。 对于任意的 x1 , x2 ? R ,若函数 f ( x) ? 2 x ,试比较

3.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ) 的大小关系。 与 f( 1 2 2

4.

已知定义在实数集上的函数 y ? f ( x) 满足条件: 对于任意的 x, y ? R ,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 求证: 1) 2)

f (0) ? 0 ; f ( x) 是奇函数。

你能举出几个满足上述条件的函数吗?

(必修 2)立体几何初步变式题
1、 (必修 2 P.60 习题 1.3 第 9 题) 变题 如图是一个几何体的三视图(单位:cm) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积; (Ⅲ)设异面直线 AA? 与 BC ? 所成的角为 ? ,求 cos ? .

A

A?

A

1 B

3
正视图

B?

C

2
侧视图

B

C
A B

1 1

C?
A?

3
俯视图

B?

解: (Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示. (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面 ?ABC 的高为 1,所以 AB ? 12 ? 12 ? 2 . 故所求全面积 S ? 2S?ABC ? SBB?C?C ? 2S ABB?A?

A

A?

C
2 B

C? 3
B?

第 1 页 共 44 页

1 ? 2 ? ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 8 ? 6 2 (cm2 ) . 2 1 这个几何体的体积 V ? S ?ABC ? BB? ? ? 2 ? 1? 3 ? 3 (cm3 ) 2 (Ⅲ)因为 AA? // BB? ,所以 AA? 与 BC ? 所成的角是 ?B?BC ? .
在 Rt ?BB?C ? 中, BC? ? 故 cos ? ?

BB?2 ? B?C?2 ? 32 ? 22 ? 13 ,

BB? 3 3 ? ? 13 . BC ? 13 13

2、 (必修 2 P.18 习题 1.1 第 7 题) 变题 如图,已知几何体的三视图(单位:cm) . (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;

PD 所成角为 ? ,求 cos ? . (Ⅲ)设异面直线 AQ 1 、
解: (Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示.

P

Q

P

2

2

A1
2
A

B1

D1
2 2
侧视图

A1

2
正视图

B

D

A

D1
P

1 1 2
俯视图

C1
Q

A1

B1

(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q ? A 1D 1P 的组合体. 由 PA 1D 1 ? AD ? 2 , 1 ? PD 1 ? 2, A 可得 PA1 ? PD1 . 故所求几何体的全面积

P

Q

D1

C1 B1
C
E B

A1

1 S ? 5 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2
所求几何体的体积

? 2?
3

2

? 22 ? 4 2 (cm2 )
D A

1 V ? 23 ? ? 2

? 2 ? ? 2 ? 10 (cm )
2

第 2 页 共 44 页

(Ⅲ)由 PQ // CD ,且 PQ ? CD ,可知 PD // QC ,

PD 所成的角(或其补角) 故 ?AQC 为异面直线 AQ . 1 、 1
由题设知 A1Q ? A1 B1 ? B1Q ? 2 ? 2 ? 6 , AC ? 3?2 ? 2 3, 1
2 2 2 2 2

取 BC 中点 E ,则 QE ? BC ,且 QE ? 3 ,

QC 2 ? QE 2 ? EC 2 ? 32 ? 12 ? 10 .
由余弦定理,得 cos ? ? cos ?AQC ? 1
2 2 AQ ? QC 2 ? AC 1 1 2 AQ 1 ? QC

?

6 ? 10 ? 12 15 ? 15 2 6 ? 10

3、 (必修 2 P.48 习题 1.2(3) 第 8 题) 变题 如图,已知 E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 AA 1 和棱 CC1 的中点. (Ⅰ)试判断四边形 EBFD1 的形状; (Ⅱ)求证:平面 EBFD1 ? 平面 BB1D1 . 解(Ⅰ)如图,取 BB1 的中点 M ,连结 A1M 、 MF . ∵ M 、 F 分别是 BB1 和 CC1 的中点, ∴ MF // ? B1C1 , 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,有

D1

C1 B1
F

A1
E A D

C
B

D1

A1
E A D

B1

C1 F

// B1C1 , ∴ MF // A1D1 ? ? A1D1 ,
∴四边形 A1MFD1 是平行四边形,

C
B

// 1F . ∴A 1M ? D
又 E 、 M 分别是 AA1 、 BB1 的中点,

// ∴A 1 E ? BM ,
∴四边形 A 1 EBM 为平行四边形,

第 3 页 共 44 页

// A1M . ∴ EB ? // D1F . 故 EB ?
∴四边形 EBFD1 是平行四边形. 又 Rt ?EAB ≌ Rt ?FCB , ∴ BE ? BF , 故四边形 EBFD1 为菱形. (Ⅱ)连结 EF 、 BD1 、 AC 1 1. ∴ EF ? BD1 . 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,有 ∵四边形 EBFD1 为菱形,

B1D1 ? AC 1 1,

B1D1 ? A1 A
∴ B1 D1 ? 平面 A 1 ACC1 . 又 EF ? 平面 A 1 ACC1 , ∴ EF ? B1D1 . 又 B1D1

BD1 ? D ,

∴ EF ? 平面 BB1D1 . 又 EF ? 平面 EBFD1 , 故平面 EBFD1 ? 平面 BB1D1 4、 (必修 2 P.38 习题 1.2(2) 第 6 题) 变题 如图, 已知正四棱柱 ABCD ? A 底面边长 AB ? 2 , 侧棱 BB1 的长为 4, 过点 B 作 B1C 1B 1C1D 1 中, 的的垂线交侧棱 CC1 于点 E ,交 B1C 于点 F . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BED ; 1

D1

C1
B1
E F

A1

BDE 所成的角的正弦值. (Ⅱ)求 A 1B 与平面
A
第 4 页 共 44 页

D B

C

解: (Ⅰ)如图 4-2,以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐 标系 D ? xyz . ∴ D(0,0,0), A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), A 1 (2,0, 4), B 1 (2, 2, 4), C1 (0, 2, 4), D 1 (0,0, 4) . 设 E (0, 2, t ) ,则 BE ? (?2,0, t ), B1C ? (?2,0, ?4) . ∵ BE ? B1C ,∴ BE ? B1C ? 4 ? 0 ? 4t ? 0 . ∴ t ? 1 ,∴ E (0, 2,1) , BE ? (?2,0,1) . 又 AC ? (?2,2, ?4), DB ? (2,2,0) , 1 ∴ AC 1 ? BE ? 4 ? 0 ? 4 ? 0 且 AC 1 ? DB ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0 . ∴ AC ? DB 且 AC ? BE . 1 1 ∴ AC ? BD 且 AC ? BE .∴ AC ? 平面 BDE . 1 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AC ? (?2,2, ?4) 是平面 BDE 的一个法向量,又 A1B ? (0,2, ?4) , 1 ∴ cos AC 1 ,A 1B ?

z
D1

C1
B1
E F

A1

D

C
B

y

x

A

AC 30 1 ?A 1B . ? 6 | AC 1 || A 1B |
30 . 6

BDE 所成角的正弦值为 ∴A 1B 与平面
5、 (必修 2 P.47 练习 第 4 题) 变题 1 如图,已知平面 ? , ? , 且?

?
C
B

P

? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C, D 是垂足.

?
D A

(Ⅰ)求证: AB ? 平面 PCD ; (Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,试判断平面 ? 与平面 ? 的位置关系,并 证明你的结论. 解(Ⅰ)因为 PC ? ? , AB ? ? ,所以 PC ? AB .同理 PD ? AB .

?
P A

PD ? P ,故 AB ? 平面 PCD . (Ⅱ)设 AB 与平面 PCD 的交点为 H ,连结 CH 、 DH .
又 PC 因为 AB ? 平面 PCD ,所以 AB ? CH , AB ? DH , 所以 ?CHD 是二面角 C ? AB ? D 的平面角.
第 5 页 共 44 页

C

D

B

?

Q

又 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,所以 CD ? PC ? PD ? 2 ,即 ?CPD ? 90 .
2 2 2 0

在平面四边形 PCHD 中, ?PCH ? ?PDH ? ?CPD ? 90 ,
0

所以 ?CHD ? 90 .
0

故平面 ? ? 平面 ? .

P ?? , Q ? ? , PQ 与平面 ? 、 PQ ? 4 . 变题 2 如图, 已知直二面角 ? ? AB ? ? , ? 所成的角都为 30 ,
0

PC ? AB, C 为垂足, QD ? AB, D 为垂足.
(Ⅰ)求直线 PQ 与 CD 所成角的大小; (Ⅱ)求四面体 PCDQ 的体积.

?
P A

C
E

D

B

// DQ ,连结 PE 、 解: (Ⅰ)如图,在平面 ? 内,作 CE ?

?

Q
QE . 则 四 边 形

// CD ,即 ?PQE 为直线 PQ 与 CD 所成的角(或其补角) CDQE 为平行四边形,所以 EQ ? .
因为 ? ? ? , ?

? ? AB, PC ? AB .

所以 PC ? ? .同理 QD ? ? . 又 PQ 与 平 面

? 、 ? 所 成 角 为 300 , 所 以 ?PQC ? 300 , ?QPD ? 300 , 所 以
1 3 ? 2 3 , DQ ? PQ sin 300 ? 4 ? ? 2 . 2 2

CQ ? PQ cos300 ? 4 ?

2 2 在 Rt ?CDQ 中, CD ? CQ ? DQ ? 12 ? 4 ? 2 2 ,从而 EQ ? 2 2 .

因为 QD ? AB ,且 CDQE 为平行四边形, 所以 EQ ? CE . 又 PC ? ? , EQ ? ? ,所以 EQ ? PC . 故 EQ ? 平面 PCE ,从而 EQ ? PE . 在 Rt ?PEQ 中, cos ?PQE ? 所以 ?PQE ? 45 ,
0

EQ 2 2 2 . ? ? PQ 4 2

第 6 页 共 44 页

即直线 PQ 与 CD 所成角的大小为 45 . (Ⅱ)在 Rt ?PCQ 中, PQ ? 4, ?PQC ? 300 ,所以 PC ? 2 . 三角形 CDQ 的面积 S?CDQ ? 故四面体 PCDQ 的体积

0

1 1 CD ? DQ ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 , 2 2

1 1 4 V ? S?CDQ ? PC ? ? 2 2 ? 2 ? 2. 3 3 3
6、 (必修 2 P.53 练习 第 4 题) 变题 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, E 是 CD 的中点,以 AE 为折痕将 ?DAE 向上折起, 使 D 为 D ? ,且平面 D?AE ? 平面 ABCE . (Ⅰ)求证: AD ? ? EB ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD? 所成角的正弦值.

D

E

C

D? E

C
B

A

B

A

解(Ⅰ)在 Rt ?BCE 中, BE ? 在 Rt ?AD?E 中, AE ?
2 2 2

BC 2 ? CE 2 ? 2 ,

D?A2 ? D?E 2 ? 2 ,
2

∵ AB ? 2 ? BE ? AE , ∴ AE ? BE . ∵平面 AED ? ? 平面 ABCE , 且交线为 AE , D? ∴ BE ? 平面 AED? . ∵ AD ? ? 平面 AED? , ∴ AD ? ? BE . (Ⅱ)设 AC 与 BE 相交于点 F ,由(Ⅰ) AD ? ? BE , ∵ AD? ? ED? , A ∴ AD ? ? 平面 EBD? , ∵ AD ? ? 平面 AED? , ∴平面 ABD ? ? 平面 EBD? ,且交线为 BD? , 如图,作 FG ? BD? ,垂足为 G ,则 FG ? 平面 ABD? , 连结 AG ,则 ?FAG 是直线 AC 与平面 ABD? 所成的角.

E

G
F B

C



第 7 页 共 44 页

由平面几何的知识可知

EF EC 1 1 2 ? ? ,∴ EF ? EB ? . FB AB 2 3 3

在 Rt ?AEF 中, AF ?

AE 2 ? EF 2 ? 2 ?

2 2 5 , ? 9 3

在 Rt ?EBD? 中,

FG D?E 2 6 ? ,可求得 FG ? . FB D?B 9

2 6 FG 30 ? 9 ? ∴ sin ?FAG ? . AF 2 5 15 3
∴直线 AC 与平面 ABD? 所成的角的正弦值为

30 . 15

7、 (必修 2 P.38 习题 1.2(2) 第 5 题)

P 是侧棱 CC1 上的一点, CP ? m 。 变题 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(Ⅰ) 、试确定 m ,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2 ; (Ⅱ) 、在线段 AC 1 上的射影垂直于 1 1 上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的 m , D 1Q 在平面 APD

AP ,并证明你的结论。
解: (1) 连AC, 设AC

BD ? O,

AP与面BDD1 B1 交于点G,连OG. 因为PC // 面BDD1 B1 , 面BDD1 B1
故 OG // PC 。所以 OG ?

面APC ? OG,

1 m PC ? 。 2 2

又 AO ? DB, AO ? BB1 , 所以AO ? 面BDD1 B1   . 故 ?AGO即为AP与面BDD1 B1 所成的角。

2 1 在 Rt △ AOG中, tan AGO ? 2 ? 3 2 ,即 m ? . m 3 2

第 8 页 共 44 页

故当 m ?

1 时,直线 AP与平面BDD1 B1所成的角的正切值为3 2 。 3

(Ⅱ)依题意,要在 A1 C1 上找一点 Q ,使得 D1 Q ? AP . 可推测 A1 C1 的中点 O1 即为所求的 Q 点。 因为 D1 O1 ? A 1 C1 . D 1O 1 ? AA 1 ,所以 D 1 Q ? 面ACC1 A 1. 又 AP ? 面ACC1 A 1 . ,故 D 1O 1 ? AP 。 从而 D1 O1 在平面AD1 P上的射影与AP垂直。 8、 (必修 2 变题 P.47 习题 1.2(3) 第 7 题)

在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC.

(1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M, 若 AM=MA1, 求证: 截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C; (3)AM=MA1 是截面 MBC1⊥平面 BB1C1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由. (1)证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC ∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C,∴AD⊥侧面 BB1C1C ∴AD⊥CC1. (2)证明:延长 B1A1 与 BM 交于 N,连结 C1N ∵AM=MA1,∴NA1=A1B1 ∵A1B1=A1C1,∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C,∴C1N⊥侧面 BB1C1C ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C ∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C. (3)解:结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性. 过 M 作 ME⊥BC1 于 E,∵截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C ∴ME⊥侧面 BB1C1C,又∵AD⊥侧面 BB1C1C. ∴ME∥AD,∴M、E、D、A 共面 ∵AM∥侧面 BB1C1C,∴AM∥DE ∵CC1⊥AM,∴DE∥CC1∵D 是 BC 的中点,∴E 是 BC1 的中点 ∴AM=DE= CC1 ?

1 2

1 AA1,∴AM=MA1. 2

第 9 页 共 44 页

9、 (必修 2 P.38 习题 1.2(2) 第 11 题) 变题 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AA1=4, 点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; (III)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. ( I )证明:直三棱柱 ABC - A1B1C1 ,底面三边长 AC=3 , BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; (III)解:∵ DE//AC1,∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角, 在 △ CED 中 , ED= CE=

5 5 1 1 AC 1= , CD= AB= , 2 2 2 2

1 CB1=2 2 , 2

∴ cos ?CED ?

8 2?2 2 ? 5 2

?

2 2 , 5

∴ 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 10、 (必修 2 P.65 复习题 第 14 题)

2 2 . 5

变题 如图,O,P 分别是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面中心,E 是 AB 的中点,AB=kAA1, (Ⅰ)求证:A1E∥平面 PBC; (Ⅱ)当 k= 2 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?
D1
P

C1

(Ⅰ) 过 P 作 MN∥B1C1,分别交 A1B1、D1C1 于 M、 N B 1 ,则 M、N A1B1、D1C1 的中点,连 MB,NC 由四
A1

边形 BCNM 是平行四边形, ∵E、M 分别为 AB、A1B1 中点,∴A1E∥MB
O A E B D C

D1 P A1 B1

C1

第 10 页 共 44 页

O O A E B

C

又 MB ? 平面 PBC,∴A1E∥平面 PBC。 (Ⅱ ) 过 A 作 AF⊥MB,垂足为 F,连 PF, ∵BC⊥平面 ABB1A1,AF ? 平面 ABB1A1, ∴AF⊥BC, BC∩MB=B,∴AF⊥平面 PBC, ∴∠APF 就是直线 AP 与平面 PBC 所成的角, 设 AA1=a,则 AB= 2 a,AF=

2 3 AF 6 a ,AP= 2a ,sin∠APF= ? 3 AP 3 6 。 3

所以,直线 AP 与平面 PBC 所成的角正弦值是 sin

(Ⅲ)连 OP、OB、OC,则 OP⊥BC,由三垂线定理易得 OB⊥PC,OC⊥PB,所以 O 在平面 PBC 中 的射影是△PBC 的垂心,又 O 在平面 PBC 中的射影是△PBC 的重心,则△PBC 为正三角形。即 PB=PC=BC 所以 k= 2 。 反之,当 k= 2 时,PA=AB=PB=PC=BC,所以三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心 1.(必修 2 P.72 练习 第 1 题) 变式 1:已知点 A(1, 3), B(?1,3 3) ,则直线 AB 的倾斜角是( ) A.
王新敞
奎屯 新疆

(必修 2)平面解析几何初步变式题

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

D.

5? 6

解:∵ k AB ?

? 2? 3 3? 3 ,故选(C). ? ? 3 ,∴ tan ? ? ? 3 ,∵ 0 ≤ ? ≤ ? ,∴ ? ? ? ? ? 3 3 ?1?1
1 1 ? 的值等于 a b
.

变式 2: (2006 年北京卷)若三点 A(2,2), B(a,0), C (0, b)(ab ? 0) 共线,则 解:∵ A 、 B 、 C 三点共线,∴ k AB ? k AC ,∴

1 1 1 0?2 b?2 ,∴ ab ? 2(a ? b) ,∴ ? ? . ? a?2 0?2 a b 2

变式 3:已知点 A(1, ? 1), B(5, 2) ,直线 l 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半,求直线 l 的斜率. 解: 设直线 l 的倾斜角为 ? ,则直线 AB 的倾斜角为 2? ,依题意有 tan 2? ?

2 ? (?1) 3 ? ,∴ 5 ?1 4

2 tan? 3 1 2 ? ? 8t a n ? ?3 ? 0 , ∴ t an ? , ∴ 3t a n ? ? 或 tan ? ? ?3 . 由 0? ≤ 2? ≤180? , 得 2 3 1 ? tan ? 4

1 0? ≤ ? ≤ 9 0 ? ,∴ tan ? ≥ 0 ,∴ tan ? ? 1 ,∴直线 l 的斜率为 . 3 3
第 11 页 共 44 页

2.(必修 2 P.77 练习 第 3 题) 变式 1:直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 在 x 轴上的截距为 a ,在 y 轴上的截距为 b ,则( ) A. a ? 3, b ? 2 B. a ? 3, b ? ?2 C. a ? ?3, b ? 2 D. a ? ?3, b ? ?2

解:令 x ? 0 得 y ? ?2 ,∴直线在 y 轴上的截距为 b ? ?2 ;令 y ? 0 得 x ? 3 ,∴直线在 x 轴上的截 距为 a ? 3 ,故选(B). 变式 2:过点 P (2, 3) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .

解:依题意,直线的斜率为 1 或直线经过原点,∴直线的方程为 y ? 3 ? x ? 2 或 y ?

3 x ,即 2

x ? y ? 1 ? 0 或 3x ? 2 y ? 0 .
变式 3:直线 l 经过点 P (2, 3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线 l 的方程. 解: 依题意, 直线 l 的斜率为±1, ∴直线 l 的方程为 y ? 3 ? x ? 2 或 y ? 3 ? ?( x ? 2) , 即 x ? y ?1 ? 0 或 x ? y ?5 ? 0 .

3.(必修 2 P.97 第 11 题) 变式 1:过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程是 解:设所求直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 5) ,依题意有

.

1 4 ( ? 5)(5k ? 4) ? 5 , 2 k
2 8 或k ? . 5 5

2 2 ∴ 25k ? 30k ? 16 ? 0 (无解)或 25k ? 50k ? 16 ? 0 ,解得 k ?

∴直线的方程是 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 或 8x ? 5 y ? 20 ? 0 . 变式 2: (2006 年上海春季卷)已知直线 l 过点 P(2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两 点, O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为 解:设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) (k ? 0) , 则 S?OAB ? 1 (2 ? 1 )(1 ? 2k ) ? 1 4 ? 4k ? 1 ? 1 [4 ? (?4k ) ? (? 1 )] ≥ 1 [4 ? 2 (?4k ) ? (? 1 )] ? 4 , 当 且 仅 当 2 k 2 k 2 k 2 k .

? 4k ? ?

1 1 1 即 k ? ? 时取等号,∴当 k ? ? 时, S ?OAB 有最小值 4. k 2 2

变式 3:已知射线 l : y ? 4 x( x ? 0) 和点 M (6, 4) ,在射线 l 上求一点 N ,使直线 MN 与 l 及 x 轴围成 的三角形面积 S 最小.
第 12 页 共 44 页

解:设 N ( x0 ,4x0 )(x0 ? 1) ,则直线 MN 的方程为 (4x0 ? 4)(x ? 6) ? ( x0 ? 6)( y ? 4) ? 0 . 令 y ? 0 得

x?

2 2 5 x0 ,∴ S ? 1 ( 5 x 0 ) ? 4 x 0 ? 10x 0 ? 10[(x 0 ? 1) ? 1] ? 10[(x 0 ? 1) ? 1 ? 2] x0 ? 1 2 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

≥10[2 ( x0 ? 1) ?

1 1 即 x0 ? 2 时取等号,∴当 N 为(2,8)时,三 ? 2] ? 40 ,当且仅当 x0 ? 1 ? x0 ? 1 x0 ? 1

角形面积 S 最小. 4.(必修 2 P.81 例题 2) 变式 1: (2005 年全国卷)已知过点 A(?2, m) 和 B(m,4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值 为( ) A.0 解:依题意有

B.-8

C.2

D.10

4?m ? ?2 ,解得 m ? ?8 ,故选(B). m?2
.

变式 2:与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,且距离等于 13 的直线方程是 解:设所求直线方程为 2 x ? 3 y ? m ? 0 ,则 为 2 x ? 3 y ? 18 ? 0 或 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 .

m?5 2 2 ? 32

? 13 ,解得 m ? 18 或 m ? ?8 ,∴直线方程

变式 3:已知三条直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, 4 x ? 3 y ? 1 ? 0, mx ? y ? 0 不能构成三角形,求实数 m 的取 值集合. 解:依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能构成三角形, 故m ? ?

2 4 ? 2 4 ? 或 m ? 或 m ? 1 ,∴实数 m 的取值集合是 ?? , , 1? . 3 3 ? 3 3 ?

5.(必修 2 P.87 习题 2.1(2)第 6 题) 变式 1: (1987 年上海卷) 若直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? (a ? 1) ? 0 平行但不重
2

合,则 a 等于( ) A.-1 或 2 B.-1 C.2 D.

2 3

解:∵ l1 // l 2 ,∴ k1 ? k 2 且 b1 ? b2 ,∴ ?

a 1 a2 ?1 ?? 且?3 ? ? ,解得 a ? ?1 ,故选(B). 2 a ?1 a ?1 1 ” 是 “ 直 线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与 直 线 2

变 式 2 :( 2005 年 北 京 春 季 卷 )“ m ?

(m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直”的( )
第 13 页 共 44 页

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解:由 l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ? (m ? 2)(m ? 2) ? 3m(m ? 2) ? 0 ? m ? ?2 或 m ? 可推出 l1 ? l2 ,但由 l1 ? l 2 推不出 m ?

1 1 ,知由 m ? 2 2

1 1 ,故 m ? 是 l1 ? l2 的充分不必要条件,故选(B). 2 2

变式 3:设直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相交于点 P 、 Q 两点, O 为坐标原点, 且 OP ? OQ ,求 m 的值. 解:∵圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 经过原点 O ,且 OP ? OQ ,∴ PQ 是圆的直径,∴圆心(1,-2) 在直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 上,∴ m ? ?2 .

6.(必修 2 P.91 例题 2) 变式 1:已知 A(7,?4) 关于直线 l 的对称点为 B(?5,6) ,则直线 l 的方程是( ) A. 5 x ? 6 y ? 11 ? 0 B. 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 C. 6 x ? 5 y ? 11 ? 0 D. 5x ? 6 y ? 1 ? 0

解:依题意得,直线 l 是线段 AB 的垂直平分线.∵ k AB ? ? (1,1) ,∴直线 l 的方程是 y ? 1 ?
2 2

5 1 6 ,∴ k l ? ? ? ,∵ AB 的中点为 6 k AB 5

6 ( x ? 1) 即 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 ,故选(B). 5
2 2

变式 2:已知圆 ( x ? 7) ? ( y ? 4) ? 16 与圆 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 16关于直线 l 对称 ,则直线 l 的方 程是 .

解:依题意得,两圆的圆心 A(7,?4) 与 B(?5,6) 关于直线 l 对称,故直线 l 是线段 AB 的垂直平分线, 由变式 1 可得直线 l 的方程为 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 . 变式 3:求点 A(7,?4) 关于直线 l : 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 的对称点 B 的坐标.

?y?4 6 ? x ? 7 ? 5 ? ?1 ? x ? ?5 ? 解: 设 B( x, y) .由 AB ? l , 且 AB 的中点在直线 l 上, 得? , 解得 ? , x ? 7 y ? 4 y ? 6 ? ?6 ? ? 5? ?1 ? 0 ? 2 2 ?
∴ B(?5,6) .

7.(必修 2 P.97 习题 2.1(3)第 14 题)
第 14 页 共 44 页

光线自点 M (2, 3) 射到点 N (1, 0) 后被 x 轴反射,求反射光线所在直线的方程. 变式 1:一条光线从点 P (2, 3) 射出,经 x 轴反射,与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切,则反射光线所在 直线的方程是 .

解:依题意得,点 P 关于 x 轴的对称点 P' (2,?3) 在反射光线所在的直线上,故可设反射光线所在直线 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) , 即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 .由反射光线与圆相切得 或 k??

5k ? 5 k 2 ?1

? 1, 解得 k ? ?

4 3

3 4 3 , ∴ 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 是 y ? 3 ? ? ( x ? 2) 或 y ? 3 ? ? ( x ? 2) , 即 4 3 4

4 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 6 ? 0 .
变式 2: (2003 年全国卷)已知长方形的四个顶点 A(0,0) 、 B(2,0) 、 C (2,1) 和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向射到 BC 上的点 P 1 后,依次反射到 CD 、 DA 和 AB 上的点 P 2 、P 3 和 P4 (入射角等于反射角).设 P4 的坐标为 ( x4 ,0) .若 0 ? x4 ? 2 ,则 tan ? 的取值范围是( ) A. ( ,1)

1 3

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

2 1 5 2

D. ( , )

2 2 5 3

解:用特例法,取 x4 ? 1 ,则 P 1 、P 2 、P 4 分别为 BC 、CD 、 DA 、 AB 的中点,此时 tan ? ? 3 、P 依题意,包含 tan ? ?

1 . 2

1 的选项(A) (B) (D)应排除,故选(C). 2

变式 3:已知点 A(?3, 5), B(2, 15) ,在直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上求一点 P,使 PA ? PB 最小. 解:由题意知,点 A、B 在直线 l 的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点 A 关于直线 l 的对称点 A' , 然 后 连 结 A' B , 则 直 线 A' B 与 l 的 交 点 P 为 所 求 . 事 实 上 , 设 点 P ' 是 l 上 异 于 P 的 点 , 则

P' A ? P' B ? P' A' ? P' B ? A' B ? PA ? PB .
?y ?5 3 ? ? ?1 ? ?x ? 3 ?x?3 4 设 A' ( x, y) ,则 ? ,解得 ? ,∴ A' (3,?3) ,∴直线 A' B 的方程 x ? 3 y ? 5 y ? ? 3 ? ?3 ? ? 4? ?4?0 ? 2 2 ?

8 ? ?3x ? 4 y ? 4 ? 0 8 ?x ? 为 18x ? y ? 51 ? 0 .由 ? ,解得 ? 3 ,∴ P ( ,3) . 3 ?18x ? y ? 51 ? 0 ? ?y ? 3
8.(必修 2 P.104 例题 2)

第 15 页 共 44 页

5 ? 0 相切的直线的方程为( ) 2 1 1 A. y ? ?3x 或 y ? x B. y ? 3x 或 y ? ? x 3 3 1 1 C. y ? ?3x 或 y ? ? x D. y ? 3 x 或 y ? x 3 3 5 2 2 解: 设直线方程为 y ? kx , 即 kx ? y ? 0 .∵圆方程可化为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? , ∴圆心为 (2, -1) , 2
变式 1: (2006 年重庆卷)过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

半径为

2k ? 1 10 1 1 10 ? .依题意有 ,解得 k ? ?3 或 k ? ,∴直线方程为 y ? ?3x 或 y ? x , 2 3 3 2 k 2 ?1

故选(A). 变式 2: (2006 年湖北卷) 已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切, 则 a 的值为
2 2

.

解:∵圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心为(1,0) ,半径为 1,∴

5?a 5 2 ? 12 2

? 1 ,解得 a ? 8 或 a ? ?18 .

变式 3:求经过点 A(0,5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

?a 2 ? (5 ? b) 2 ? r 2 ? 解:设所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,则 ? a ? 2b , 2a ? b ? ?r ? 5 5 ?
?a ? 1 ?a ? 5 ? 2 2 2 2 解得 ?b ? 3 或 ? ?b ? 15 ,∴圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 5 或 ( x ? 5) ? ( y ? 15) ? 125. ? ? ?r ? 5 ?r ? 5 5
9.(必修 2 P.105 例题 3) 变式 1: (1999 年全国卷)直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为( )
2 2

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3
2 2

D.

? 2

解:依题意得,弦心距 d ? 3 ,故弦长 AB ? 2 r ? d 的劣弧所对的圆心角为 ?AOB ?

? 2 ,从而△OAB 是等边三角形,故截得

?
3

,故选(C).

2 2 变式 2: (2006 年天津卷)设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且

弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ?

.

解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得 (

a ?1 a2 ?1

) 2 ? ( 3 ) 2 ? 2 2 ,解得 a ? 0 .

第 16 页 共 44 页

变式 3:已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 6 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 . (1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 解: (1)∵直线 l : y ? 1 ? m( x ? 1) 恒过定点 P(1,1) ,且 PC ?

5 ? r ? 6 ,∴点 P 在圆内,∴直

线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点 P 的直线 l 垂直于 PC 时,直线 l 被圆 C 截得的弦长最小, 此时 k l ? ?

1 k PC

? 2 ,∴所求直线 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 1 ? 0 .

10.(必修 2 P.106 练习 第 2 题)
2 2 变式 1: (2006 年安徽卷)直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围

是( ) A. (0, 2 ? 1) 解:依题意有 B. ( 2 ? 1, 2 ? 1) C. (? 2 ? 1, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1)

a ?1 2

? a ,解得 ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.∵ a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 2 ? 1,故选(A).

2 2 变式 2: (2006 年湖北卷)若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有两个不同的交点,则 k 的

取值范围是 解:依题意有

.

2k ? 1 k ?1
2

? 1 ,解得 0 ? k ?

4 4 ,∴ k 的取值范围是 (0, ) . 3 3

变式 3:若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 解:∵曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

4 ? x 2 表示半圆 x2 ? y 2 ? 4( y ≥ 0) ,∴利用数形结合法,可得实数 m 的取值范围

是 ?2 ≤ m ? 2 或 m ? 2 2 . 11.(必修 2 P.107 练习 1) 变式 1: (1995 年全国卷)圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是( )
2 2 2 2

A.相离
2 2

B.外切

C.相交
2

D.内切
2

解:∵圆 ( x ? 1) ? y ? 1的圆心为 O1 (1,0) ,半径 r1 ? 1 ,圆 x ? ( y ? 2) ? 4 的圆心为 O2 (0,?2) , 半径 r2 ? 2 ,∴ O1O2 ? (C). 变式 2:若圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? 8 ? 0 相切,则实数 m 的
2 2 2 2 2 2

5, r1 ? r2 ? 3, r2 ? r1 ? 1 .∵ r2 ? r1 ? O1O2 ? r1 ? r2 ,∴两圆相交,故选

第 17 页 共 44 页

取值集合是

.

解:∵圆 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 4 的圆心为 O1 (m,0) ,半径 r1 ? 2 ,圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2m) 2 ? 9 的圆心为

O2 (?1,2m) , 半 径 r2 ? 3 , 且 两 圆 相 切 , ∴ O1O2 ? r1 ? r2 或 O1O2 ? r2 ? r1 , ∴
(m ? 1) 2 ? (2m) 2 ? 5 或 (m ? 1) 2 ? (2m) 2 ? 1 ,解得 m ? ?
∴实数 m 的取值集合是 {?

12 5 或 m ? 2 ,或 m ? 0 或 m ? ? , 5 2

12 5 , ? , 0, 2} . 5 2

变式 3:求与圆 x 2 ? y 2 ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程. 解:设所求圆的圆心为 O1 (a, b) ,则所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 20 .∵两圆外切于点 P , ∴ OP ?

1 1 2 2 OO1 ,∴ ( ?1,2) ? ( a, b) ,∴ a ? ?3, b ? 6 ,∴所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20 . 3 3

12.(必修 2 P.108 习题 2.2(2)第 8 题)
2 2 变式 1: (2006 年湖南卷)圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最

小距离的差是( ) A.36 B.18 C. 6 2 D. 5 2

解 : ∵ 圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 18 的 圆 心 为 ( 2 , 2 ) ,半径 r ? 3 2 ,∴圆心到直线的距离

d?

10 2

? 5 2 ? r ,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

(d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 ,故选(C).
2 2 变式 2:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上运动,则 PA
2

? PB 的最小

2

值是

.
2 2

解:设 P( x, y) ,则 PA ? PB

? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 8 ? 2 OP ? 8 .设圆心为
2 2

2

C (3,4) ,则 OP min ? OC ? r ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ PA ? PB 的最小值为 2 ? 32 ? 8 ? 26 .
变式 3:已知点 P( x, y) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1上运动.
2 2

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2 y ?1 ? k ,则 k 表示点 P( x, y) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时, k 取得 解: (1)设 x?2
(1)求 最大值与最小值.由

2k k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

y ?1 3 3 3 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 ? . x?2 3 3 3

第 18 页 共 44 页

(2)设 2 x ? y ? m ,则 m 表示直线 2 x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时, m 取得最

大值与最小值.由

1? m 5

? 1 ,解得 m ? 1 ? 5 ,∴ 2 x ? y 的最大值为 1 ? 5 ,最小值为1 ? 5 .

13.(必修 2 P.117 复习题 15) 变式 1: (2006 年四川卷)已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的 轨迹所包围的面积等于( ) A. ? B. 4? C. 8? D. 9?

解 : 设 点 P 的 坐 标 是 ( x, y ) . 由 PA ? 2 PB , 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , 化 简 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为 4? ,故选(B).
变式 2: (2004 年全国卷)由动点 P 向圆 x ? y ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B ,
2 2

?APB =600,则动点 P 的轨迹方程是

.

0 0 解:设 P( x, y) .∵ ?APB =60 ,∴ ?OPA =30 .∵ OA ? AP ,∴ OP ? 2 OA ? 2 ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 ,

化简得 x ? y ? 4 ,∴动点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2 2 2

变式 3: (2003 年北京春季卷)设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的 距离的比为定值 a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹. 解:设动点 P 的坐标为 P( x, y) .由

PA PB

? a ( a ? 0) ,得

( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c) 2 ? y 2

? a,

化简得 (1 ? a 2 ) x 2 ? (1 ? a 2 ) y 2 ? 2c(1 ? a 2 ) x ? c 2 (1 ? a 2 ) ? 0 . 当 a ? 1 时,化简得 x 2 ? y 2 ? 当 a ? 1 时,化简得 x ? 0 . 所以当 a ? 1 时, P 点的轨迹是以 (

1? a 2ac 2c(1 ? a 2 ) c) 2 ? y 2 ? ( 2 ) 2 ; x ? c 2 ? 0 ,整理得 ( x ? 2 2 a ?1 a ?1 1? a
2

1? a2 2ac c, 0) 为圆心, 2 为半径的圆; 2 a ?1 a ?1

当 a ? 1 时, P 点的轨迹是 y 轴.

14.(必修 2 P.118 复习题 第 25 题) 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4, 3) , 端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动, 求线段 AB 的中点 M
2 2

第 19 页 共 44 页

的轨迹方程. 变式 1:已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动, M 是线段 AB 上的一点,且 AM ? 则点 M 的轨迹方程是( ) A. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 C. ( x ? ) ? y ?
2 2

1 MB , 3

B. ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 D. ( x ? 1) ? y ?
2 2

16 9 1 1 解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ AM ? MB ,∴ ( x ? x1 , y ? y1 ) ? (3 ? x,? y ) , 3 3

3 4

9 16

1 ? ? x ? x1 ? (3 ? x) x ? ? ? ? ? 1 3 ∴? ,∴ ? ?y ? y ? ? 1 y ?y ? 1 1 ? ? 3 ? ?

4 x ?1 3 2 2 . ∵ 点 A 在 圆 x 2 ? y 2 ? 1 上 运 动 , ∴ x1 ? y1 ? 1 , ∴ 4 y 3

4 4 3 9 3 9 ( x ? 1) 2 ? ( y ) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ,∴点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ,故选(C). 3 3 4 16 4 16
变式 2: 已知定点 B(3,0) , 点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动,?AOB 的平分线交 AB 于点 M , 则点 M 的
2 2

轨迹方程是

.

1 解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ OM 是 ?AOB 的平分线,∴ AM ? OA ? 1 , ∴ AM ? MB .由变式 1 3 MB OB 3

3 9 可得点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 4 16
2 2 变式 3:已知直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形

OAPB ,求点 P 的轨迹方程.
解:设 P( x, y) , AB 的中点为 M .∵ OAPB 是平行四边形,∴ M 是 OP 的中点,∴点 M 的坐标为

x y ( , ) , 且 OM ? AB . ∵ 直 线 y ? kx ? 1 经 过 定 点 C (0,1) , ∴ OM ? CM , ∴ 2 2
x y x y x y y 2 2 OM ? CM ? ( , ) ? ( , ? 1) ? ( ) 2 ? ( ? 1) ? 0 ,化简得 x ? ( y ? 1) ? 1 . ∴点 P 的轨迹方程是 2 2 2 2 2 2 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1.
15.(必修 2 P.99 例题 1) 变式 1:某圆拱桥的水面跨度是 20 m ,拱高为 4 m .现有一船宽 9 m ,在水面以上部分高 3 m ,故通 行无阻.近日水位暴涨了 1.5 m ,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低 m 时,船才能通过桥洞.(结果精确到 0.01 m ) 解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为 x ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

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2 2 ? ?b ? ?10.5 ?100 ? b ? r ∵圆经过点(10,0) , (0,4) ,∴ ? ,解得 ? . 2 2 ? ?r ? 14.5 ?(4 ? b) ? r

∴圆的方程是 x 2 ? ( y ? 10.5) 2 ? 14.52 (0 ? y ? 4) .

令 x ? 4.5 ,得 y ? 3.28(m) .

故当水位暴涨 1.5 m 后,船身至少应降低 1.5 ? (3.28 ? 3) ? 1.22m ,船才能通过桥洞. 变式 2:据气象台预报:在 A 城正东方 300 km 的海面 B 处有一台风中心,正以每小时 40 km 的速度向 西北方向移动,在距台风中心 250 km 以内的地区将受其影响.从现在起经过约 h ,台风将影响 A 城,持续时间约为 h .(结果精确到 0.1 h ) 解:以 B 为原点,正东方向所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则台风中心的移动轨迹是 y ? ? x , 受台风影响的区域边界的曲线方程是 ( x ? a) ? ( y ? a) ? 250 .
2 2 2

依题意有 (?300 ? a)2 ? a2 ≤ 2502 ,解得 ? 150 ? 25 14 ? a ? ?150 ? 25 14 .

∴ t1 ?

2 a1 40

?

2 ? 150 ? 25 14 40

? 2.0, ?t ?

2 a 2 ? a1 40

?

2 ? 50 14 ? 6.6 . 40

∴从现在起经过约 2.0 h ,台风将影响 A 城,持续时间约为 6.6 h . 变式 3:有一种商品, A 、 B 两地均有出售,且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往 回贩运时,单位距离的运费 A 地是 B 地的 3 倍.已知 A 、 B 两地的距离是 10 km ,顾客购买这种商品 选择 A 地或 B 地的标准是:包括运费在内的总费用比较便宜.求 A 、 B 两地的售货区域的分界线的曲 线形状,并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点. 解:以 AB 的中点为原点, AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则 A(?5,0) ,B(5,0) .设 P( x, y) 是 售 货 区 域 分 界 线 上 的 任 意 一 点 , 单 位 距 离 的 运 费 为 a 元 / km , 则 3a PA ? a PB , ∴

3a ( x ? 5) 2 ? y 2 ? a ( x ? 5) 2 ? y 2 ,化简得 ( x ?
界线是以 ( ?

25 2 15 ) ? y 2 ? ( ) 2 .∴ A 、 B 两地售货区域的分 4 4

25 15 ,0) 为圆心, 为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去 A 地购货,在曲线外的居民选 4 4 择去 B 地购货,在曲线上的居民去 A 、 B 两地购货均可.

必修 3
算法 1.画出 1 ? 2 ? 3 ?

? ________ ? 2004 的流程图,并写出伪代码。

2.画出 1? 2 ? 3 ? ?100 的流程图,并写出伪代码。 3.设计一个计算 10 个数的平均数的算法。 4.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为

3? , ?0 . 5 ? c?? ?3 ? ? ( ?5 0? 0 . 5
为行李的重量.

?≤ ? 50) 0.8 ?5 ?,

50,

其中 ? (单位:

50,

kg )
输 入

Y
第 21 页 共 44 页

x


N
y ? ?x

y?x
输 出

试给出计算费用 c (单位:元)的一个算法,并画出流程图. 5.设计一个求任意数的绝对值的算法的流程图,则(一)处应填__________. 6. .写出求

1 2? 2? 2? 1 1 ? 1 2

(共有 6 个 2)的值的一个算法,并画出流程图

7. 将 50 个学生中成绩不低于 80 分的学生的学号和成绩打印出来. 8. 已知一列数 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?且 a1 ? 1 , a2 ? 1 , an ? an?1 ? an?2 ( n ? 3 ) ,这个数列叫 做斐波那契数列.写出求该数列第 10 个数的一个算法,并画出流程 9. 我国的国民生产总值近几年来一直以不低于 8% 的年增长率增长, 速度,最多只需经过几年我国的国民生产总值就可以翻一番?写出一 法,并画出流程图. 10. 写出输入两个数 a 和 b,将较大的数打印出来的算法,写出伪代 画出流程图 11. 试用算法语句表示:______________________的算法. 12. 用 秦 九 韶 算 法 计 算 多 项 式 是 , . 13. 2.下面的程序运行的结果是 N←0 I←0 While I<30 I←(I+1)*(I+1) N←N+1 End While Print N End 14. 右面的伪代码输出的结果是 ( A3 B5 C9 D 13
3

S ?1 I ?1
While S≤10000

图. 照 此 个 算 码,并

I ? I ?2 S ? S *I

End While Print I End

f ( x) ? 3x6 ? 4x5 ? 5x4 ? 6x3 ? 7 x2 ? 8x ?1 ,当 x ? 2 时 的值时, 需要做乘法 和加法的次 数分别
. S←0 For I from 1 to 11 step 2 S←2S+3 If S>20 then S←S-20 End If ) . End For Print S

15. 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数. 16. 写出用区间二分法求解方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 [1,1.5] 内的一个近似解(误差不超过 0.001)的一 个算法. 17. 阅读下列伪代码,并指出当 a ? 3, b ? ?5 时的计算结果: (1)read a, b X←a+b y←a-b a←(x+y)/2 b←(x-y)/2 Print a, b a=____,b___ (2) read a, b a←a+b b←a-b a←(a+b)/2 b←(a-b)/2 Print a, b a=____,b___ (3) read a, b a←a+b b←a-b a←(a-b)/2 b←(a+b)/2 Print a, b a=____,b_____

统计 1、为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为 40 的样本,检测结果为一等品 8 件,二等品 18 件, 三等品 12 件,次品 2 件。
第 22 页 共 44 页

(1)列出样本的频率分布表; (2)画出频数分步条形图; (3)估计这种产品为二等品或三等品的概率。 2、下面是一次考试结果的频数分布直方图,请据此估计这次考试的平均分。

概率 1、一只口袋装有形状、大小都相同的 6 只小球,其中有 2 只白球,2 只红球和 2 只黄球。从中一次随 机摸出 2 只球,试求: (1)2 只球都是红球的概率; (2)2 只球同色的概率; (3) “恰有 1 只球是白球的概率”是“2 只球都是白球的概率”的多少倍。 2、一年按 365 天计算,2 名同学在同一天过生日的概率为____________ 3、齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的 下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马优于齐王的下等马。现各出上、中、下等马各一匹分组进 行一场比赛,胜两场以上即为获胜。如双方均不知对方马的出场顺序,试求田忌获胜的概率。 4、设有一个正方形网格,其中每个最小的正方形的边长都等于 6cm。现用直径等于 2cm 的硬币投掷到 此网格上,求硬币落下后与格线有公共点的概率。 5、 (1)在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 小于 AC 的概率; (2)在等腰直角三角形 ABC 中,过直角顶点 C 在∠ACB 内部任作一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,求 AM 小于 AC 的概率。 6、将扑克牌四种花色 A,K,Q 共 12 张,洗匀。 (1)甲从中任意抽取 2 张,求抽出的 2 张都是 A 的概率; (2)若甲已抽到了 2 张 K 后未放回,求乙抽到 2 张 A 的概率。 7、某种彩票是由 7 位数字组成,每位数字均为 0~9 这 10 个数码中的任意一个。由摇号得出一个 7 位 数(首位可能为 0)为中奖号,如果某张彩票的 7 位数与中奖号相同即得一等奖;若有 6 位数与中奖 号的相应数位上的数字相同即得二等奖;若有 5 位数与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖; 各奖不可兼得。某人一次买了 10 张不同号码的彩票。 (1)求其获得一等奖的概率; (2)求其获得三等奖及以上奖的概率。 8、 用计算机随机产生的有序二元数组 (x,y) ,满足 ?1 ? x ? 1 ,?1 ? y ? 1 , 对每个有序二元数组 (x,y) , 用计算机计算 x ? y 的值,记 A 为事件“ x ? y ? 1” 。试求事件 A 发生的概率。
2 2 2 2

9、一次口试,每位考生要在 8 道题中随机抽出 2 道题回答,若答对其中 1 道题即为及格。
第 23 页 共 44 页

(1)现有某位考生会答 8 道题中的 5 道题,那么,这位考生及格的概率有多大? (2)如果一位考生及格的概率小于 50%,则他最多只会其中中的几道题? 10、国家安全机机关用监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现 30min 长的磁带上,从开始 30s 处起, 有 10s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息。后来发现,这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了,该 工作人员声称她完全是无意中按错了键,使从此处往后的所有内容都被擦掉了。那么由于按错了键使 含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大? 11、两个水平相当的选手在决赛中相遇,决赛采用五局三胜制,胜者获得全部奖金,前 3 局打成 2:1 时比赛因故终止。有人提出按`2:1 分配奖金,你认为这样分配合理吗?为什么?

第一章
1、 (P11 ex10)已知 ? ?

三角函数

?
6

,角 ?的终边与?的终边关于y ? x 对称,求角 ? 的的集合。

2、 (P11 ex12)设 ? 是第一象限角,试探究: (1) 2? 一定不是第几象限的角? (2)

变式:

? 的终边的区域是什么?如何表示? n

? 是第几象限的角? 3

3、 (P11 ex13)若扇形的周长这定值 l ,则该扇形的圆心角这多大时,扇形的面积最大? 4、 (P23 Ex1)已知 sin 53.13 ? 0.8, 求 cos143.13 和cos 216.87 5、 (P23 ex4)分别根据下列条件求函数

? ? 3? f ( x) ? sin( x ? ) ? 2sin( x ? ) ? 4 cos 2 x ? 3sin( x ? ) 的值 4 4 4 ? 3? (1) x ? (2) x ? 4 4 6、 (P23 ex6)根据下列条件,确定 ? 是第几象限角或哪个坐标轴上? (1) sin ? ? 0且 cos ? ? 0 (2) sin ? cos ? ? 0 sin ? ?0 (3) (4) | sin ? |? sin ? tan ? sin ? ? cos ? 7、 (P24 ex9) (1)设 tan ? ? 2, 计算 ; sin ? ? cos ? 1 1 (2)设 tan ? ? ? , 计算 。 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 变式:设 tan ? ? 2 ,求 sin ? cos ? 的值。
8、 (P24 ex10.2) 化简

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ,其中? 为第四象限角。 1 ? cos ? 1 ? cos ?

9、 (P24 ex15)已知 sin( x ?

?

1 5? ? ) ? ,求 sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值。 6 4 6 3

10、 (P24 ex16)若角 ? 的终边经过点 P(4a, ?3a) (a ? 0), 求 sin ? 和 cos ? 的值。 11、 (P24 ex18) (1)已知 sin ? ? cos ? ? 2, 求sin ? cos ? 及sin 4 a ? cos4 ? 的值;

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(2)已知 sin ? ? cos ? ?

1 (0 ? ? ? ? ), 求 tan ? 的值。 5

变式:已知 sin 4 x ? cos 4 x ?

23 ,求 sin x ? cos x 的值. 32 23 4 4 解:∵ sin x ? cos x ? , 32 23 2 2 2 2 2 ∴ (sin x ? cos x) ? 2sin x cos x ? 32 3 x co xs ?? 即 sin 8 3 1 2 ∴ 当 sin x cos x ? 时, sin x ? cos x ? ? (sin x ? cos x) ? ? ; 8 2
当 sin x cos x ? ?

3 7 2 时, sin x ? cos x ? ? (sin x ? cos x) ? ? . 8 2
的函数,满足关

12、 (P42 ex5)一个单摆如图所示,小球偏离铅垂方向的角为 ? (rad), ? 作为时间 t 系 ? (t ) ?

1 ? ?? sin ? 2t ? ? . 2 ? 2?

求: (1)最初时 (t ? 0)? 的值是多少? (2)单摆摆动的频率是多少? (3)经过多长时间单摆完成 5 次完整摆动? 13、 (P42 ex6)画出函数 y ? 2 sin( ? 得到,画出图象变换流程图。 变式:画出函数 y ? 2sin( ?

x 2

?
4

) 的简图,并指出它可由函数 y ? sin x 的图象经过哪些变换

x ? )在区间[?2? , 2? ] 的图象。 2 4

14、 (P43 例 2)一半径为3m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2m, 已知水轮每分钟转动4圈, 如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点 P 0 )开始计算时间. (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数; (2)点P第一次到达最高点大约要多长时间? 15、 (P44 例 3)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮 汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道, 靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个 时刻的水深

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(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给出在整点时的水深的近 似数值; (2) 一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离) 为 4m, 安全条例规定至少要有 1.5m的安全间隙 (船 底与海底的距离) ,该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若船的吃水深度为4m,安全间隙为 1.5m,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.3m 的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 16、 (P46 ex11)如图,摩天轮的半径为 40m,点O距地面的高度为 50m,摩天轮做匀速转动,每3 min 转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点P距离地面的高度; (2) 在摩天轮转动的一圈内, 有多长时间点P距离地面超过 70m? 17、 (P49 ex12)求下列函数的单调区间; (1) y ? sin( x ?

?
3

);

(2) y ? cos(2 x) ;

(3)

y ? tan(1 ? x) 。
变式: (1)求 y ? sin( x ?
(2)求 y ? sin(

?
3

)在区间[0, ?] 上的单调区间;

?
3

? 2 x) 的单调增区间。

18、 (P50 ex18)设函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? ) 最高点D的坐标为 (2, 2) .由最高 点运动到相邻的最低点时,函数曲线与x轴的交点为 (6, 0) . (1)求A,ω 和φ 的值; (2)求出该函数的频率和单调区间

第二章

平面向量

1、 (书 P62 例 2)在长江南岸某渡口处,江水以 12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25km/h,渡船 要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? 解:设 AB 表示水流的速度, AD 表示渡船的速度, AC 表示渡船实际过江的速度, 因为 AB ? AD ? AC ,所以四边形 ABCD 为平行四边形, 在 Rt⊿ACD 中,∠ACD=90°, | DC |?| AB |? 12.5, | AD |? 25
第 26 页 共 44 页

所以∠CAD=30°。 答:渡船要垂直地渡过长江,其航向应为被偏西 30°。 2、 (书 P67 例 4)⊿OAB 中,C 为直线 AB 上一点, AC ? ?CB(? ? ?1) 。

OA ? ? OB . 1? ? 证明:因为 AC ? OC ? OA, CB ? OB ? OC,
求证: OC ? 又 AC ? ?CB, 所以 OC ? OA ? ?(OB ? OC), 即 (1 ? ?)OC ? OA ? ?OB, 又因为 ? ? ?1, 即 1 ? ? ? 0, 所以 OC ?

OA ? ? OB 1? ?

3、 (书 P68 习题 7)已知 e1 , e2 是两个不共线的向量, a ? 2e1 ? e2 , b ? k e1 ? e2 ,若 a 与 b 是共线的 向量,求实数 k 的值. 答案: k ? ?2 4、 (书 P69 习题 9)设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点,若 OA ? a, OB ? b ,试用 a, b 表示向量 OP 、

OQ .
解:因为 BA ? a ? b, 所以 OP ? OB ?

2 2 1 BA ? a ? b, 3 3 3

1 1 2 OQ ? OB ? BA ? a ? b 。 3 3 3
5、 (书 P69 习题 11)求证:当两个向量 a, b 不共线时, (1) | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | (2) | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 提示:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 6、(书 P74 例 3)已知 P ) ,求点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ), P 是直线 P 1P 2 上一点,且 P 1 P ? ? PP 2 (? ? ?1 的坐标. 解:设 P( x, y) ,则 P 1 P ? ( x ? x1 , y ? y1 ), PP 2 ? ( x2 ? x, y2 ? y). 由P 1 P ? ? PP 2 得 ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y 2 ? y)

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得到 ?

? x ? x1 ? ? ( x2 ? x), 因为 ? ? ?1, ? y ? y1 ? ? ( y 2 ? y)
x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?
x1 ? ?x 2 y1 ? ?y 2 , )。 1? ? 1? ?

? x? ? ? 所以 ? ?y ? ? ?

因此,P 点坐标为 (

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 当 ? ? 1 时,就得到线段 P 。 1P 2 的中点 M ( x, y ) 的坐标公式 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
7、 (书 P76 例 4)已知 a ? (1,0), b ? (2,1) ,当实数 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此 时它们是同向还是反向. 解: k a ? b ? k (1.0) ? (2,1) ? (k ? 2,?1)

a ? 3b ? (1,0) ? 3(2,1) ? (7,3).
由向量平行的条件可得 3(k ? 2) ? (?1) ? 7 ? 0 所以 k ? ?

1 7 1 1 ,此时 k a ? b ? (? ,?1) ? ? (7,3) ? ? (a ? 3b) 3 3 3 3

8、 (书 P77 习题 9)已知点 A(2,3) ,B(5,4) ,C(7,10) ,若点 P 满足 AP ? AB ? ? AC ? ? ? R ? , 当 ? 为何值时, (1)点 P 在第一、三象限角平分线上?(2)点 P 在第四象限内? 解:设 P( x, y) ,由题意知 AB ? ? 3,1? , AC ? ? 5,7 ? .AP ? ? x ? 2, y ? 3? . 因为 AP ? AB ? ? AC ,所以 x ? 2 ? 3 ? 5? , y ? 3 ? 1 ? 7? 可得 x ? 5 ? 5? , y ? 4 ? 7? (1) P 在第一、三象限角平分线上,则 x ? y , ? ?

1 2 4 。 7

(2) P 在第四象限,则 x ? 5 ? 5? ? 0, y ? 7? ? 4 ? 0 ,所以 ? 1 ? ? ? ?

9、 (书 P77 习题 12)已知⊿ABC 三个顶点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) ,求证: (1)⊿ABC 的三条中线交于点 G (

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y 3 , ); 3 3
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(2) GA ? GB ? GC ? 0 。 证明:由题知 G 为⊿ABC 的重心,设 D 为 AC 的中点,故 G 分 BD 的比为 2 因为点 D 的坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ) 2 2

x1 ? x2 x ? x 2 ? x3 2 所以 xG ? ? 1 1? 2 3 y1 ? y 2 y2 ? 2 ? y ? y 2 ? y3 2 。 yG ? ? 1 1? 2 3 x2 ? 2 ?
(2) GA ? ?

? 2 x1 ? x2 ? x3 2 y1 ? y2 ? y3 ? ? 2 x2 ? x1 ? x3 2 y2 ? y1 ? y3 ? , , ? ,GB ? ? ? 3 3 3 3 ? ? ? ?

GC ? (

2 x3 ? x1 ? x 2 2 y3 ? y1 ? y 2 , ) 3 3

所以 GA ? GB ? GC ? 0 10、 (书 P81 例 4)在⊿ABC 中,设

AB ? (2,3), AC ? (1, k ), 且⊿ABC 是直角三角形,求 k 的值。

10、解:若∠A=90°,则 AB ? AC ,于是 2 ? 1 ? 3 ? k ? 0 , 解得 k ? ?

2 ; 3

若∠B=90°,则 AB ? BC ,又 BC ? AC ? AB ? ? ?1,k ? 3? , 故得 2 ? (?1) ? 3 ? (k ? 3) ? 0 解得 k ?

11 ; 3

若∠C=90°,则 AC ? BC ,故

1? (?1) ? k (k ? 3) ? 0
解得 k ?

3 ? 13 ; 2
2 11 3 ? 13 ;或 ;或 。 3 3 2
2 2

所求 k 的值为 ?

11、 (书 P83 习题 5)求证: | a ? b | ? | a ? b | ? 2 | a | ? | b | ,如何构造一个图形解释这个公式的
2 2

?

?

第 29 页 共 44 页

几何意义? 证明:左= | a ? b| ? | a ? b| ? a ? b
2 2

?

? ? ?a ? b?
2

2

? a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b

2

2

2

2

=

2a ? 2b ? 2(| a | 2 ? | b | 2 ) =右

2

2

其几何意义是:平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。 12、 (书 P83 习题 10)设 a ? ? x, 3? ,b ? ? 2, ?1? , 若 a 与 b 的夹角为钝角,求 x 的范围。 解: cos ? ?

a ?b ? | a || b |

2x ? 3 x2 ? 9 ? 5

因为 ? 为钝角,所以 cos ? ? 0 则 2 x ? 3 ? 0 所以 x ?

3 。 2

13、 (书 P85 习题 2)某人在静水中游泳的速度为 3m / s ,河水自西向东流速为 1m / s 。若此人朝正 南方向游去,求他的实际前进方向和速度。 解:南偏东 30°, 2m / s 。 14、 (书 P86 习题 3)已知两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 试用向量的方法证明以线段 AB 为直径的圆的方程 为 ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 。 解:任取圆上点 C ( x, y) ,则 CA ? CB ,即 ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 。 15、 (书 P86 习题 7) 已知向量 OA, OB, OC 满足条件 OA ? OB ? OC ? 0 , 且 | OA |?| OB |?| OC |? 1 , 求证:⊿ABC 是正三角形。
2 证明:设 OA,OB,OC 的长为 1,则 (OA ? OB ) ? OC 2

所以 OA ? OB ? ?

1 , | OA ? OB |2 ? 3 即 | AB |? 3 ,同理, | AC | ?| BC |? 3 2

所以⊿ABC 是正三角形。 16、 (书 P89 习题 6)设 A,B,C,D 为平面内四点, AB ? CD, A 点坐标为(2,1) ,B 点坐标为(-2, 2) 。 (1)若 C 点坐标为(-1,4) ,求 D 点坐标 (2)原点为 O, OP ? AB ,求 P 点坐标。 解: (1) (-6,5) (2) (-5,1) 17、 (书 P89 习题 9)已知 A(a,1), B(3,5), C (7,3), D(b,?1) 是菱形的四个顶点,求实数 a , b 的值。 解: (1)若 BC 为菱形的边,且 BC ? AD ,即 (4,?2) ? (b ? a,?2) 则 b ? a ? 4, 且 AB 的模等于 BC 的模,即 (3 ? a) ? 16 ? 16 ? 4
2

第 30 页 共 44 页

所以 a ? 1, b ? 5或a ? 5, b ? 9 (2)若 BC 为菱形的边,且 BC ? DA 即 (4,?2) ? (a ? b,2) 不成立 (3)若 BC 为菱形的对角线,则 AD ? BC ? 0 ,即 4(b ? a) _ 4 ? 0, b ? a ? ?1 且 AB ? CD ,即 (3 ? a,4) ? (b ? 7,?4) ,显然不成立。 综上可知, a ? 1, b ? 5或a ? 5, b ? 9 。 18、 (书 P89 习题 12)已知:D,E,F 分别是⊿ABC 中 BC,CA,AB 的中点,P 是平面内任意一点, 求证: PD ? PE ? PF ? PA ? PB ? PC 。 证明: PD ? PB ? BD ? PB ?

1 1 1 BC , PE ? PC ? CA, PF ? PA ? AB 2 2 2

所以, PD ? PE ? PF ? PA ? PB ? PC 。 19、 (书 P89 习题 13)某人骑自行车以 akm / h 的速度向东行驶,感受到风从正北方向吹来;而当速度 为原来的 2 倍时,感受到风从正东北方向吹来,试求实际的风速。 解:

AB1 , B1C 分别表示开始时人对地的速度和风对人的速度,

AB2 , B2C 分 别 表 示 后 来 人 对 地 的 速 度 和 风 对 人 的 速 度 , AC 表 示 风 对 地 的 速 度 , 因 为
v风对地 ? v风对人 ? v人对地 , | AB1 |?| B1B2 |? a ,又 B1C ? AB2 , ?B1B2C ? 45°
所以 B1C ? a, ?B1 AC ? 45°, | AC |? 2a 因此,实际的风速为 2a ,从西北方向吹来.

改 编 题
1、在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形 ABCD 的形状一定是 ( (A) 平行四边形 答案 A 2、若平行四边形的 3 个顶点分别是(4,2) , (5,7) , ( ? 3,4) ,则第 4 个顶点的坐标不可能是( (A)(12,5) 答案 C 3、在平行四边形 ABCD 中, AB ? a , CB ? b ,O 为 AC 与 BD 的交点,点 M 在 (B)(-2,9) (C) (3,7) (D) (-4,-1) ) (B) 菱形 (C) 矩形 )

(D) 正方形

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BD 上, BM ?

1 OD ,则向量 BM 用 a , b 表示为 3


; AM 用

a , b 表示为
答案

-a - b 5a - b ; 6 6

4、已知点 O 、 A 、 B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 OP ? (A) 点 P 在线段 AB 上 (C) 点 P 在线段 AB 的延长线上 答案 B

3OA ? OB ,则 ( 2

)

(B) 点 P 在线段 AB 的反向延长线上 (D) 点 P 不在直线 AB 上

5、已知 OA ? a , OB ? b ,点 M 关于点 A 的对称点为 S,点 S 关于点 B 的对称点为 N,则向量 MN 用 a 、 b 表示为 答案 2 b ?2a 6、已知向量 a ? (m ? 2, m ? 3) , b ? (2m ? 1, m ? 2) ,若向量 a 与 b 的夹角为直角,则实数 m 的值 为 答案 ? ;若向量 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 m 的取值范围为 . .

4 或2 3

4 5 5 ? 11 5 5 ? 11 (? , ) ( , 2) 3 2 2
A A1 A2 B

AB 的三等分点,求证: 7 、如图,点 A 1 、 A2 是线段

OA1 ? OA2 ? OA ? OB

(1)
O

一般地, 如果点 A ? An?1 是 AB 的 n (n ≥ 3) A2 , 1,

等分点,请写出一个结论,使(1)为所写结论的一个特例.并证明你写的结论. 解:∵ AA1 ?

1 1 1 OB ? 2OA AB ,∴ OA1 ? OA ? AA1 ? OA ? AB ? OA ? (OB ? OA) ? 3 3 3 3

同理 OA2 ??

2OB ? OA OB ? 2OA 2OB ? OA ? ? OA ? OB ; ,则 OA1 ? OA2 ? 3 3 3

一般结论为 OA 1 ? OA n?1 ? OA 2 ? OA n ?2 ? 证明:∵ AAk ? 而 OAn ? k

? OA ? OB

k k AB ,∴ OAk ? OA ? AAk ? OA ? AB , n n n?k k k ? OA ? AAn ? k ? OA ? AB ? OA ? AB ? AB ? OB ? AB n n n

第 32 页 共 44 页

k k AB ? OB ? AB ? OA ? OB n n n ?1 (OA ? OB) 注:也可以将结论推广为 OA1 ? OA2 ? ? OAn ?1 ? 2
∴ OAk ? OAn ? k ? OA ?

证明类似,从略.

8、已知等边三角形 ABC 的边长为 2,⊙ A 的半径为 1, PQ 为⊙ A 的任意一条直径, (Ⅰ)判断 BP ? CQ ? AP ? CB 的值是否会随点 P 的变化而变化,请说明理由; (Ⅱ)求 BP ? CQ 的最大值.
P A Q

B

C











BP ? CQ ? AP ? CB ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC) ? AP ? ( AB ? AC) ,而 AQ ? ? AP ,
则 BP ? CQ ? AP ? CB ? ( AP ? AB) ? (? AP ? AC ) ? AP ? ( AB ? AC ) ? ? AP ? AB ? AC ∵ AB ? AC ? AB AC cos ?ABC ? 2 , AP ? AP ? 1 ∴ BP ? CQ ? AP ? CB ? ? AP ? AB ? AC ? 1,即 BP ? CQ ? AP ? CB 的值不会随点 P 的变化而变化; (Ⅱ) 由于 BP ? CQ ? AP ? CB ? 1, ∴B PC ?Q ? 1 ? A PC B ?
2
2 2

2

PC ?B ? A PC B , ∵A

c o A s PC ?B ,

?

∴ AP ? CB ≤ AP CB ? 2 (等号当且仅当 AP 与 CB 同向时成立) ,∴ BP ? CQ 的最大值为 3.

第三章 三角恒等变换 1 1 1.(苏教版 P96,习题 4)已知 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,求 tan ? tan ? 的值. 3 5 1 1 解: 因为 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? 3 5
1 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? () 1 ? ? 3 所以 ? ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 (2) ? 5 ?
(1)+(2),得: cos ? cos ? ?

4 15 1 15
第 33 页 共 44 页

(1)-(2),得: sin ? sin ? ? ?

所以 tan ? tan ? ? ?

1 4 2 1 tan ? ,sin(? ? ? ) ? ? ,求 的值. 3 5 tan ?
(答案:

变式 1(苏教版 P99,例 6)已知 sin(? ? ? ) ?

tan ? 7 ? ) tan ? 13

变式 2(苏教版 P101,习题8)已知 sin(? ? ? ) ? a,sin(? ? ? ) ? b , 求证:(1) sin ? cos ? ?

1 1 (a ? b) .(2) cos ? sin ? ? (a ? b) 2 2

2.(苏教版 P96,习题 5)设O为坐标原点, P 1 2 ?? , 1 ( x1 , y1 ) 和 P 2 ( x2 , y2 ) 为单位圆上两点,且 ?POP 求证: x1 x2 ? y1 y2 ? cos?

OP 解:设 OP 1 ? 1, OP 2 ?1, 1 ? ( x1 , y1 ), OP 2 ? ( x2 , y2 ) ,O为坐标原点,则

? 当 0 ≤ ? ≤180 时,则 OP 2 的夹角为 , 1 与 OP
? ?

OP 1 OP 2 ? ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ,

?

OP 1 OP 2 ? OP 1 OP 2 cos ? ? cos ? ,? x1 x2 ? y1 y2 ? cos ? ;
?

当 180 ? ? ? 360 时,则 OP 2 的夹角为 360 ? ? ,同理,得 1 与 OP
?

x1x2 ? y1 y2 ? cos(360? ?? ) ? cos?
? x1 x2 ? y1 y2 ? cos?
3.(苏教版 P96,习题 6)求 y ? cos x ? sin x 的最大值和最小值. 解法一:类似于本章“引言”中的方法,通过将向量 (cos x,sin x) 点乘(1,-1)推导.

解法二: y ? cos x ? sin x ?

2(

2 2 ? cos x ? sin x) ? 2 cos( ? x) 2 2 4

ymax ? 2, ymin ? ? 2
变式 1(苏教版 P98,例 3)求函数 y ?

1 3 sin x ? cos x 的最大值. 2 2

解: y ?

1 3 ? ? ? sin x ? cos x ? sin x cos ? cos x sin ? sin( x ? ) 2 2 3 3 3
第 34 页 共 44 页

当x?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时,即 x ?

?
6

? 2k? (k ? Z ) 时,函数 y 取得最大值 1.

变式 2:求函数 y ?

1 3 sin x ? cos x( x ?[0, ? ]) 的最大值和最小值. 2 2
(答案: ymax ? 1, ymin ? ?

3 ) 2

变式 3(苏教版 P101,习题 13(2)) y ? a sin x ? b cos x 的最大值. (答案: ymax ? 变式 4:求函数 y ? a sin x ? b cos x 的周期. (答案: T ? 2? )

a 2 ? b 2 , ymin ? ? a 2 ? b 2 )

1 1 , cos ? ? cos ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 3 59 简答:将两式平方相加后,解得 cos(? ? ? ) ? . 72
4.(苏教版 P100,练习 2)已知 sin ? ? sin ? ? 变式(苏教版 P117,复习题 11)已知 sin ? ? sin ? ? a,cos ? ? cos ? ? b ,求 cos(? ? ? ) 的值. (答案: cos(? ? ? ) ?

a 2 ? b2 ? 2 ) 2

5.(苏教版 P101,习题 14) ?ABC 中, ? A 为直角, DE ? AB 于 E, AC ? DC ,设 BC ? 1 . (1)若 ?BAC ? 30 , ?DAC ? 45 ,试求 ?ADE 的各边之长,由此推出 75 的三角函数值. (2)设 ?BAC ? ? , ?DAC ? ? , ( ? , ? , ? ? ? 均为锐角) ,试由图推出 sin(? ? ? ) 求的公式. 解:(1)依题意,
? ?
?

BC ? 1, ?BAC ? 30? ? AC ? CD ? 2, AD ? 2 2

D

作 CF // AB 交 DE 于 F ,则 CF ? DE

CDF 中, DF ? CD sin 60? ? 3 ?BAC ? 30? ,??DCF ? 60? ,在 Rt ?

EF ? BC ? 1,? DE ? DF ? FE ? 3 ? 1, AE ? 3 ?1
在 Rt ?ADE 中, sin 75? ? sin ?DAE ?

C

DE 3 ?1 6? 2 ? ? AD 2 2 4

A

E

B

cos 75? ?

AE 3 ?1 6? 2 ? ? , tan 75? ? 2 ? 3 AD 2 2 4
?DAC ? ?
第 35 页 共 44 页

(2)设 AD ? a ,在 Rt ?ACD 中,

?CD ? a sin ? , AC ? a cos ?
在 Rt ?ABC 中, BC ? AC sin ? ? a sin ? cos ? 作 CF // AB 交 DE 于 F ,则 CF ? DE

?DCF ? 90? ? ? , EF ? BC ? a sin ? cos ? ,
在 Rt ?CDF 中, DF ? CD sin(90? ? ? ) ? a cos ? sin ? 在 Rt ?ADE 中, sin(? ? ? ) ? sin ?DAE ?

DE EF ? FD ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? AD AD

6.(苏教版 P104,例题 4)在斜三角形 ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C . 证明:在斜三角形 ABC 中,有 A ? B ? C ? ? , 即 A ? B ? ? ? C ,且 A, B, A ? B 都不等于 所以有: tan( A ? B) ? tan(? ? C ) ,

? , 2

tan A ? tan B ? ? tan C , 1 ? tan A tan B 即 tan A ? tan B ? ? tan C ? tan A tan B tan C , 所以 tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C
即 变式 1 推出能使等式成立的一般性条件.

? k? , k ? Z ) 变 式 2 2 (苏教版 P105,练习 2)求证: tan 3? ? tan 2? ? tan ? ? tan 3? tan 2? tan ? . tan 2? ? tan ? 证明: tan 3? ? tan(2? ? ? ) ? 1 ? tan 2? tan ?

tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ( A ? B ? C ? k? , 且A,B,C ?

?

?t a n ? 2 ? ta ?n ?

ta ?n 3? ( 1 ? tan 2 ? tan

)

即 tan 3? ? tan 2? ? tan ? ? tan 3? tan 2? tan ? . 变式3(苏教版 P105,练习 3)求证: tan 95 ? tan 35 ? 3 ? 3 tan 95 tan 35 变式4(苏教版 P117,复习题 10)在 ABC 中,求证:
? ? ? ?

A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 2 证明:在 ABC 中,有 A ? B ? C ? ? , A B C ? A C ? B B ? ? ? ? , tan( ? ) ? tan( ? ) ? cot 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C tan ? tan 2 2 ? 1 去分母、移项,得 ? A C B 1 ? tan tan tan 2 2 2 tan

第 36 页 共 44 页

? tan

A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 2

变式 5(苏教版 P106,习题 8)若 ? ? ? ? 45? ,求证: (tan ? ? 1)(tan ? ? 1) ? 2 . 证明:

? ? ? ? 45? ? tan(? ? ? ) ? 1 即

tan ? ? tan ? ? 1, tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? 2 即 (tan ? ? 1)(tan ? ? 1) ? 2
变式 6(苏教版 P118,复习题 15(2))探求:

(1 ? tan1? )(1 ? tan 2? )(1 ? tan 3? )

(1 ? tan 44? )(1 ? tan 45? ) .
(答案: 2 )
23

7.(苏教版 P109,例题 4)求证: sin 50? (1 ? 3 tan10? ) ? 1 证明:左边= sin 50 (1 ?
?

3 sin10? ) cos10?

? sin 50?

cos10? ? 3 sin10? cos10?

1 3 cos10? ? sin10? ? 2 2 ? 2sin 50 cos10?

cos(60? ? 10? ) 2sin 50? cos 50? ? 2sin 50 ? cos10? cos10?
?

?

sin100? sin 80? ? ? 1=右边 cos10? cos10?
1 1 , tan ? ? ,且 ? , ? 都是锐角,求 ? ? 2 ? 的值. 7 3

所以原式成立. 8.(苏教版 P110,练习 3)已知 tan ? ? 解: 因为 tan ? ?

1 1 , tan ? ? 7 3 3 所以 tan 2? ? , tan(? ? 2? ) ? 1 4 1 1 因为? , ? 是锐角,且 ? 1, ? 1 7 3 所以0 ? ? ?

?

4

,0 ? ? ?

?

4

, 0 ? ? ? 2? ?

3? 4

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所以? ? 2? ?

?
4

1 ? 1 ) ? , tan( ? ? ) ? ? , ,求 tan(? ? ? ) 的值. 2 2 2 3 ? ?? ? ? 1 7 ? tan[(? ? ) ? ( ? ? )] ? ?t a ? n? (? ? ) . 简解: tan 2 2 2 7 24
变式 1(苏教版 P110,习题 5(4))已知 tan(? ?

?

sin15? cos5 ? ? sin 20 ? 变式 2(苏教版 P117,复习题 6)求: 的值. cos15? cos5 ? ? cos 20 ?
解:原式=

sin15? cos5? ? sin(15? ? 5? ) cos15? sin 5? 1 ? ? ?? ? ?(2 ? 3) ? ? ? ? ? ? cos15 cos5 ? cos(15 ? 5 ) sin15 sin 5 tan15?
sin15? ? cos15? . sin15? ? cos15?

9.(苏教版 P110,习题 2(4))化简

sin15? ?1 ? tan15? ? tan 45? 3 解:原式= cos15? ? ? tan(?30? ) ? ? ? ? sin15 1 ? tan15 tan 45 3 ?1 ? cos15
10.(苏教版 P111,习题 8)求值 sin10 cos 20 cos 40 . 解:原式=
? ? ?

1 2 cos10? sin10? cos 20? cos 40? 2 cos10? 1 ? sin 20? cos 20? cos 40? ? 2 cos10 1 ? sin 40? cos 40? ? 4 cos10 1 1 ? sin 80? ? ? 8cos10 8
? ? ?

变式 1 求值 cos 20 cos 40 cos80 .

解:原式=

sin 40? sin 80? sin160? sin160? 1 ? ? ? ? 2sin 20? 2sin 40? 2sin 80? 8sin 20? 8
cos 2n?1?

变式 2 化简 cos ? cos 2? cos 4?

sin 2? sin 4? sin 8? ? ? ? 解:仿变式 1,原式= 2sin ? 2sin 2? 2sin 4?
变式 3 求值: cos 36 cos 72 .
? ?

sin 2n ? sin 2n ? ? ? 2sin 2n?1? 2n sin ?

略解:利用变式 2 的结论,原式=

sin144? 1 ? . 2 ? 2 sin 36 4
D
第 38 页 共 44 页

C

?
l

2?
A E 6cm B

11.(苏教版 P111,12 题)将矩形纸片的右下角折起,使得该角的顶点落在矩形的左边上,那么 l 的长 度取决于角 ? 的大小.探求 l , ? 之间的函数关系式,并导出用 ? 表示 l 的函数关系式. 解:如图,

EB ? l sin ? ,? DE ? EB ? l sin ?

CB ? AB, CD ? DE, ??EDC ? ?EBC ? 90?
在四边形 DEBC 中,由内角和定理,得

?DEB ? 360? ? ?EDC ? ?DCB ? ?B ? 180? ? 2?
??AED ? 2? 在 Rt ?ADE 中, AE ? DE cos 2? ? l sin ? cos 2? AE ? EB ? AB ? 6 ? l sin ? cos 2? ? l sin ? ? 6 6 即l ? . sin ? cos 2? ? sin ? 必修五 一、解三角形部分典型例题及习题
1、P24、1、在三角形 ABC 中,已知 a ? 1, A ? 60 , c ?
0

3 ,求 C 3
4 ,求 sin B 5

变题:在三角形 ABC 中,已知 AC=2,BC=3, cos A ? ?

2、P24,2、在三角形 ABC 中,已知 a ? b ? c cos B ? c cos A, 判断三角形 ABC 的形状

tan A a 2 ? 变题:在三角形 ABC 中,已知 ,试判断三角形 ABC 的形状 tan B b 2
3、P24,5、已知向量 a, b, c ,满足a ? b ? c ? 0,且a与b 的夹角等于 1350, b与c 的夹角等于 1200,

c ? 2,求 a , b
4、P11、7、在三角形 ABC 中,

BC ? a, CA ? b, AB ? c,已知a ? b ? b ? c ? c ?a ,
证明三角形 ABC 是正三角形 5、P11,8、在三角形 ABC 中,角 A 的角平分线交 BC 的延长线于 D,用正弦定理证明: 6、P16,练习 1、在三角形 ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4, 那么 cos C ? 变题:在三角形 ABC 中,设命题 P:

AB BD ? AC DC

a b c ? ? ,命题 Q:三角形 ABC 是等边三角形, sin B sin C sin A
第 39 页 共 44 页

那么命题 P 是命题 Q 的

条件

7、P11,2、仿照正弦定理的证法 1,证明 S ?ABC ?

1 ab sin C ,并运用这一结论解决下面的问题:在 2

三角形 ABC 中,已知 c ? 10, A ? 450 , C ? 300 , 求b和S ?ABC 变题:已知三角形 ABC 的周长为 2 ? 1, 且sin A ? sin B ? (1)求边 AB 的长; (2)若三角形 ABC 的面积为

2 sin C

1 sin C , 求角 C的度数 6
M

8、P21 第四题 如图,一船由西向动航行,测得某岛的方位角为 650, 前进 5km 后测得此岛的方位角为 420,已知该岛 周围 3km 内有暗礁,如继续东行,有无触礁危险?

B A

C

二、数列部分教材变式题汇编
1.(江苏版第 58 页习题 6)求和: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 变式题 1、已知数列 an ? 4n ? 2 和 bn ?

? nxn?1
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

2 4
n ?1

,设 c n ?

解: c ? an ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4n?1 , n 2 bn 4n?1

?Tn ? c1 ? c2 ?

? cn ? 1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 42 ?

? (2n ? 1)4n?1 ,

4Tn ? 1? 4 ? 3 ? 42 ? 5 ? 43 ?
两式相减得

? (2n ? 3)4n?1 ? (2n ? 1)4n

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
变式题 2、 (2007 全国 1 文 21)设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,

?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; ? bn ?
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 .
第 40 页 共 44 页

(Ⅱ)

3 5 an 2n ? 1 ? n?1 . Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 bn 2 5 ? 2 ?

?

2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ,① 2n ? 2 2

2n ? 3 2n ? 1 ? n ? 2 ,② 2 n ?3 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2Sn ? 2 ? 3 ?

? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 2 2

?

1 ? 2n ? 1 ?? 2 ? 2n?1
n?2

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 . 2 1?
点评:错位相减法适用于通项公式形容 ?an bn ?的数列,其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列. 变式题 2.设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值 为 .

分析:本题主要考查等比数列的求和公式,等差数列的概念运用,可直接求得.

a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q n?1 ) a1 (1 ? q n? 2 ) 解: Sn ? , 2Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ,则有 2 ? , ? ? 1? q 1? q 1? q 1? q

? q2 ? q ? 2 ? 0 ,? q ? ?2 .,若 q ? 1 ,则 2Sn ? 2n ? Sn?1 ? Sn?2 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 2n ? 3 。
2 、( 江 苏 版 第 62 页 习 题 9 ) 利 用 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 证 明

a n ? a n?1b ? a n?2b2 ?

? abn?1 ? bn =

a n ?1 ? bn ?1 (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) a ?b

变式题、 (2005 天津卷 18)数列 un ? an ? an?1b ? an?2b2 ? 求数列 ?u n ? 的前 n 项和 S n .

? abn?1 ? bn (a ? 0, b ? 0) .当 a ? b 时,

解: (Ⅰ)当 a ? b 时, un ? (n ? 1)a n .这时数列 {u n } 的前 n 项和

S n ? 2a ? 3a 2 ? 4a 3 ? ? ? nan?1 ? (n ? 1)a n .
①式减去②式,得 若 a ? 1,

① ②

①式两边同乘以 a ,得 aSn ? 2a 2 ? 3a 3 ? 4a 4 ? ? ? nan ? (n ? 1)a n?1

(1 ? a)S n ? 2a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? (n ? 1)a n?1

第 41 页 共 44 页

(1 ? a) S n ?

a(1 ? a n ) ? (n ? 1)a n ?1 ? a , 1? a

Sn ?

a(1 ? a n ) a ? (n ? 1)a n?1 (n ? 1)a n?2 ? (n ? 2)a n?1 ? a 2 ? 2a ? ? 1? a (1 ? a) 2 (1 ? a) 2

若 a ? 1 , S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ?

n(n ? 3) 2

? na1 (q ? 1) ? 点评:在使用等比数列的求和公式时,要注意对公比 q 的讨论,即 S n ? ? a1 (1 ? q n ) ,这是学 ? 1 ? q (q ? 1) ?
生平时容易忽略的问题,应引起足够的重视,另外要求学生有运算化简的能力. 3、 (江苏版第 62 页习题 7) (1)已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 ,求前 n 项的和; (2)已 n(n ? 1)

知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 n ? n ?1

,求前 n 项的和.

变式题 1、已知数列 {an } 的通项公式为 an =

n ?1 1 1 ,设 Tn ? ? ? 2 a1 ? a3 a2 ? a4

?

1 ,求 Tn . an ? an? 2

解:

1 an ? an ? 2



1 1 4 =2( - ) . n ?1 n ? 3 (n ? 1)(n ? 3)

Tn ?


1 1 ? ? a1 ? a3 a2 ? a4

?

1 an ? an? 2

=2[(

1 2



1 4

)+(

1 1 1 - )+( 3 5 4



1 1 )+??+( 6 n



1 )+ n?2

1 1 1 - )]=2( n ?1 n ? 3 2



1 1 1 - - ). 3 n?2 n?3

变式题 2、数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*) , (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 均有 S n ?

1 (n ? N * ),S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ,是否存在最大的整数 m,使得任意的 n n(12 ? a n )

m 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由. 32

解: (Ⅰ)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*) , ∴{an}是等差数列,设公差为 d, ∵a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2, ∴an=8+(n-1)· (-2)=10-2n. (Ⅱ) bn ?

1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ?, n(12 ? a n ) n(12 ? 10 ? 2n) 2n(n ? 1) 2 ? n n ? 1 ?
第 42 页 共 44 页

? S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ?
? 1? 1 ? ?1 ? ? 2 ? n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 2 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ??

假设存在整数 m 满足 S n ? 又 S n ?1 ? S n ?

m 总成立, 32

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? )? ( ? )? ?0 2 n?2 2 n ?1 2 n ?1 n ? 2 2(n ? 1)( n ? 2)

∴数列{ S n }是单调递增的, ∴ S1 ?

1 1 m 为 S n 的最小值,故 ? ,即 m<8,又 m∈N*, 4 4 32

∴适当条件的 m 的最大值为 7. 点评:数列求和的裂项相消法:适用于通项公式形如 ? 差数列,c 为常数.

?

c ? ? 的数列,其中 ?an ? 是各项不为 0 的等 ? a n a n ?1 ?

三、不等式部分
1、 (P73/3) 求下列函数的定义域: (1) y ? lg( x2 ? 3x ? 2) ;
2

(2) y ? 12 ? x ? x 2

变式:1、已知函数 y ? lg(ax ? ax ? 1) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围 2、求函数 y ? 12 ? x ? x 2 的单调区间 2、 (P73/5) (1)k是什么实数时,方程 x ? 2( k ?1 )x ? 3k ?11 ? 0 有两个不相等的实数根?
2 2 2 变式:已知命题 p:方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实根;命题 q:方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无
2

实根,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围。 (2)已知不等式 x ? 2 x ? k ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数k的取值范围。
2 2

变式:试确定实数 a 的取值范围,使对一切实数 x,不等式 x ? (a ?1) x ? 1≥ 0 恒成立。
4 2

3、 (P73/6) 已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集是{x|3<x<4} ,求实数 a,b 的值.
2

变式:已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是( ?
2

1 1 a>0○ 2 b>0○ 3 c>0○ 4 ,2) ,对于 a,b,c 存在以下结论:○ 2

5 a-b+c>0 其中正确的是_______ a+b+c>0○

4、 (P74/4)解不等式

1? 2x ≤0 x?4

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变式:不等式 ax-b>0 的解集是{x|x>1},解不等式

ax ? b ≥0 。 x?2

?x ? y ? 5≥ 0 ? 5、(p80/2) 不等式组 ? x ? y ≥ 0 表示的平面区域的面积为____________. ? x≤3 ?
1 :不等式组 ? 变式○

? y ≥ x ?1 表示的平面区域的面积是_______ ? y ≤ ?3 x ? 1
b a 1 ? ≥ 2 (2) 、a+ ≥ 2 a b a

2 若 z=2x+y,求 z 的最值 ○

6、 (P91/例 1)设 a,b 为正数,证明下列不等式: (1) 、
1 若 ab>0,则 变式:○

b a ? 的范围是__________ a b

2 已知 x>0,y>0 且 x+2y=3,求 ○

1 1 ? 的最小值。 x y

1 4 ? 的最小值为________ a 1? a 16 7、 (P91/例 2)已知函数 y ? x ? ,x ∈ (-2,+ ∞) ,求此函数的最小值. x?2 ( x ? 2)( x ? 3) 变式:已知 x≥ 1 ,求函数 y ? 的最小值。 x ?1
3 已知 0<a<1,则 ○

8、 (P93/例 3)过点(1,2)的直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,当△ AOB 的面积最小时,求直线l的方程. 变式:当 PA PB 取最小值时,求直线 l 的方程。 9、 (P95/3)求证

x2 ? 3 x2 ? 2

?2

4 ? ( 0 ? x ≤ )的最大值。 2 sin x 4 10、(p/95/6)求函数y=x+ (x≠0)的值域 x 4 2 变式 1:函数 y ? 2 ? x ( x ? 0) 的值域为________x 4 2、函数 y ? x ? ( x ? 0) 的值域为________x
变式:求 y=sinx+

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