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[精品教案]2.2.1对数与对数运算(第二课时)


2.2.1 对数与对数运算教案
(一)教学目标 1.知识与技能:理解对数的运算性质. 2. 过程与方法: 通过对数的运算性质的探索及推导过程, 培养学生的 “合情推理能力” 、 “等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识. 3.情感、态态与价值观 通过“合情推理” 、 “等价转化”和“演绎归纳”的思想运用,培养学生对立统一、相互 联系,相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点,以及大胆探索,实事求是的 科学精神.

(二)教学重点、难点 1.教学重点:对数运算性质及其推导过程. 2.教学难点: 对数的运算性质发现过程及其证明. (三)教学方法 针对本节课公式多、思维量大的特点,采取实例归纳,诱思探究,引导发现等方法. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 复习:对数的定义及对数恒等式 学生口答,教师板书. 对数的概念 和对数恒等 式是学习本 节课的基础,

loga N ? b ? ab ? N
引入 , a ≠1,N>0) 指数的运算性质.

( a >0,且

a m ? a n ? a m? n ;
(a m )n ? a mn ;
m

a m ? a n ? a m? n
an ? a
n m

学习新知前 的简单复习, 不仅能唤起 学生的记忆, 而且为学习

新课做好了 知识上的准 备. 提出 探究:在上课中,我们知道,对数式可 看作指数运算的逆运算, 你能从指数与对数 问题 的关系以及指数运算性质, 得出相应的对数 运算性质吗?如我们知道 a ? a ? a
m n m? n

学生探究, 教师启发引导.



那 m ? n 如何表示,能用对数式运算吗? 如:

am ? an ? am?n , 设M ? am , N ? an .
于是 MN ? am?n , 由对数的定义得到

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N MN ? am?n ? m ? n ? loga MN
?loga M ? loga N ? loga MN (放出投影)

即:同底对数相加,底数不变,真数相 乘 提问: 你能根据指数的性质按照以上的 方法推出对数的其它性质吗?

概念

(让学生探究,讨论) 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那 让学生多角度思考,探究,教 师点拨. (1) loga MN ? loga M ? loga N

让学生明确 由 “归纳一猜 想” 得到的结 论不一定正 让学生讨论、研究,教师引 导. 确, 但是发现 数学结论的

形成

么:

M ? log a M ? log a N (2) log a N

(3) loga M n ? n loga M 证明: (1)令 M ? a m , N ? a n

(n ? R)

有效方法, 让 学生体会 ― 归 纳一猜想一 证明 ‖ 是数学 中发现结论, 证明结论的 完整思维方 法, 让学生体 会回到最原 始(定义)的

M ? a m ? a n ? a m?n 则: N ? m ? n ? log a
又由 M ? a m ,

M N

N ? an

?m ? loga M , n ? loga N
即 :

地方是解决 数学问题的 有效策略. 通

log a M ? log a N ? m ? n ? log a
(3)

M N

过这一环节
N n

n ? 0时, 令N ? log a M n , 则M ? a b ? n loga M , 则M ? a
?a ? a
?N ? b
即 log a
N n b n

的教学, 训练 学生思维的 广阔性、 发散 性, 进一步加 深学生对字 母的认识和 利用, 体会从 ―变‖中发现 规律. 通过本 环节的教学, 进一步体会 上一环节的 设计意图.

b n

M ? log a M ? log a N N

当 n =0 时,显然成立.

?loga M n ? n loga M

概念

合作探究: 1. 利用对数运算性质时,各字母的取

(师组织, 生交流探讨得出 如下结论)

深化

值范围有什么限制条件?

底数 a>0, 且 a≠1, 真数 M >0,N>0;只有所得结果中对 数和所给出的数的对数都存在 时,等式才能成立.

(生交流讨论) 2. 性质能否进行推广? 性质(1)可以推广到 n 个 正数的情形,即 loga(M1M2M3…Mn) =logaM1+logaM2 +logaM3+… +logaMn (其中 a > 0 ,且 a≠1,M1、M2、M3…Mn>0).

应用 举例

例 1 用 log a x , log a y , loga z 表示 下列各式 (1) log a (2) log a

学生思考, 口答, 教师板演、 通 过 例 题 的 解 点评. 答, 巩固所学的 对数运算法则, 提高运算能力.

xy z

例 1 分析:利用对数运算 性质直接化简.

x2 y
3

8

(1) log a

xy z

? loga xy ? loga z ? loga x ? loga y ? loga z
(2) log a

x2 y
3

z

? loga x2 y ? loga 3 z ? loga x2 ? loga y ? loga 3 z

= 2 log a x ?

1 log a y 2

1 ? log a z 3
小结:此题关键是要记住 对数运算性质的形式, 要求学生 不要记住公式.

例 2 求下列各式的值. (1) log2 (47 ? 25 ) (2) lg 5 100

例 2 解(1) log2 (47 ? 25 )

? log2 47 ? log2 25
? 14 ? 5 ? 19
(2) lg 5 100

? lg10 ?

2 5

2 5

例 3 计算: (1)lg14-2lg (2)
lg 243 ; lg 9

例 3(1)解法一:

7 +lg7-lg18; 3

lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3

=lg(2× 7)-2(lg7-lg3) +lg7-lg(32× 2) =lg2+lg7 - 2lg7+2lg3+lg7 -2lg3-lg2=0. 解法二: lg14 - 2lg - lg18=lg14 - lg ( lg18=lg

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 . lg1.2

7 +lg7 3

7 2 ) +lg7 - 3

14 ? 7 =lg1=0. 7 ( ) 2 ? 18 3

(2)解:
lg 243 lg 3 5 51g 3 5 = = = . lg 9 lg 3 2 2 lg 3 2

(3)解:

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg1.2
1 3 2 lg(3 )

=

? lg 2 ? lg 3 ? 22 10

3

1 31g10 2

3 (lg 3 ? 21g 2 ? 1) 3 =2 = . lg 3 ? 21g 2 ? 1 2

小结: 以上各题的解答, 体 现对数运算法则的综合运用, 应 注意掌握变形技巧, 每题的各部 分变形要化到最简形式, 同时注 意分子、 分母的联系, 要避免错 用对数运算性质.

课本 P79 练习第 1,2,3. 课本 P79 练习第 1,2,3. 答 案 : 1. ( 1 ) lg ( xyz ) =lgx+lgy+lgz; (2)lg
xy 2 =lg(xy2)-lgz z

=lgx+lgy2-lgz =lgx+2lgy-lgz; (3)lg
xy 3 z

=lg(xy3)-lg z

1 lgz 2 1 =lgx+3lgy- lgz; 2
=lgx+lgy3- (4)lg
x y z
2

=lg x -lg(y2z)

1 lgx-lgy2-lgz 2 1 = lgx-2lgy-lgz. 2
= 2.(1)7; (2)4; (3)-5; (4)0.56. 3.(1)log26-log23 =log2 6 =log22=1; 3 5 (2)lg5-lg2=lg ; 2 (3)log53+log5

1 3

=log53× =log51=0; (4)log35-log315 =log3 =-1.

1 3

1 5 - =log3 =log33 1 15 3

补充练习答案:4

补充练习:若 a>0,a≠1,且 x>y>0, N∈N,则下列八个等式: ①(logax)n=nlogx; ②(logax)n=loga(xn) ; ③-logax=loga( ④

1 ) ; x

loga x x =loga( ) ; y loga y

⑤ n loga x = ⑥

1 logax; x

1 logax=loga n x ; n
log a x

⑦an

=xn;

⑧loga

x? y x? y =- loga . 其中成立的 x? y x? y

有________个.

归纳 总结

1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用,应掌握变 形技巧: (1)各部分变形要化到最简形式,同 时注意分子、分母的联系; (2)要避免错用对数运算性质. 3.对数和指数形式比较:
式子 ab=N a——幂的底数 名称 b——幂的指数 N——幂值 am· an=am+n 运算性 质 am÷ an=am
-n

通过师生 的合作总结, 使学生对本节 学生先自回顾反思, 教师点 课所学知识的 评完善. 结构有一个明 晰的认识,形 成知识体系.

(am)n=amn (a>0,且 a≠1,m、n∈R)

式子

logaN=b a——对数的底数

名称

b——以 a 为底的 N 的对数 N——真数 loga(MN)=logaM+logaN

运算性 质

loga

M =log M-log N a a N

logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,且 a≠1,M>0,N>0)

课后 作业

作业:2.1 第四课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 计算下列各式的值:

1 32 4 (1) lg ? lg 8 ? lg 245 ; 2 49 3 2 (2) lg 5 2 ? lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 . 3

【解析】 (1)方法一: 原式= (lg 2 5 ? lg 7 2 ) ? lg 2 2 ? lg(7 2 ? 5) 2
5 1 = lg 2 ? lg 7 ? 2 lg 2 ? lg 7 ? lg 5 2 2 1 1 = lg 2 ? lg 5 2 2 1 1 = (lg 2 ? lg 5) ? . 2 2
1 2 4 3
3 1

方法二:原式= lg = lg

4 2 ? lg 4 ? lg 7 5 7 4 2 ?7 5 7?4

= lg( 2 ? 5 ) ?

1 . 2

(2)原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3. 【小结】易犯 lg52 = (lg5)2 的错误. 这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则 将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值; 另一种方法是将式中的对数的和、 差、 积、 商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、 商、幂、方根,然后化简求值. 计算对数的值时常用到 lg2 + lg5 = lg10 = 1. 例 2: (1)已知 lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,求 lg 45 ; (2)设 logax = m,logay = n,用 m、n 表示 loga [4 a ? 3 (3)已知 lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc,求 x. 【分析】由已知式与未知式底数相同,实现由已知到未知,只须将未知的真数用已知的 真数的乘、除、幂表示,借助对数运算法则即可解答.
x
4

y

];

【解析】 (1) lg 45 ?

1 1 90 lg 45 ? lg 2 2 2

1 ? [lg 9 ? lg10 ? lg 2] 2 1 ? [2 lg 3 ? 1 ? lg 2] 2
? lg 3 ? 1 1 ? lg 2 ? 0.4771+0.5 – 0.1505 2 2

= 0.8266 (2) log a [ 4 a ? 3
1

x ] 4 y
1 1

? loga a 4 ? loga x 3 ? loga y12
? 1 1 1 1 1 1 ? loga x ? loga y ? ? n ? m. 4 3 12 4 3 12

(3)由已知得:
lg x ? lg a 2 ? lg b 3 ? lg c 5 ? lg a 2b3 c5



∴x?

a 2b3 c5

.

【小结】①比较已知和未知式的真数,并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、 乘方表示是解题的关键,并且应注意对数运算法则也是可逆的;②第(3)小题利用下列结 论:同底的对数相等,则真数相等. 即 logaN = logaM ? N = M.

【自主梳理】 1.对数的定义

loga N ? b 其中 a ? (0,1) ? (1,??) 与 N ? (0,??)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2.指数式与对数式的互化

ab ? N ? loga N ? b (a ? 0且a ? 1)
3.重要公式: ⑴负数与零没有对数; ⑶对数恒等式 a
loga N



loga 1 ? 0 , loga a ? 1

王新敞
奎屯

新疆

?N

王新敞
奎屯

新疆

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R ) (a m ) n ? a mn (m, n ? R )
4.指数运算法则 【重点领悟】 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

(ab) n ? a n ? b n (n ? R)

loga (MN) ? logaM ? loga N (1) M loga ? logaM ? loga N (2) N logaM n ? nlog (3) a M(n ? R)
证明:①设

loga M=p, loga N=q.


由对数的定义可以得:M= a ,N= a .

p

q

q p p?q ∴MN= a a = a

loga MN=p+q, 即证得 loga MN= loga M + loga N.
由对数的定义可以得 M= a ,N= a
p q

②设

loga M=p, loga N=q.
log a



M ap ? q ? a p ?q a ∴ N
③设



M ? p?q N

王新敞
奎屯

新疆

即证得

log a

M ? log a M ? log a N N .

loga M=P 由对数定义可以得 M= a p ,
n
np

∴M =a



loga M n =np,

即证得

loga M n =n loga M.

【探究提升】 (1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是零:

loga 1 ? 0 ;
loga a ? 1 ;
?N;

(3)底数的对数是 1: (4)对数恒等式: a (5)

loga N

loga a n ? n .


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