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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.1.2


2.1.2
一、基础过关

数列的递推公式(选学)

1 1 1.已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足 an+1= an+ n,则此数列的第 4 项是( 2 2 A.1 1 B. 2 3 C. 4 5 D. 8

)

2.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1· a2· a3· …· an=n2,则 a3+a5 等于( 25 A. 9 25 B. 16 61 C. 16 31 D. 15 ( )

)

an 3.若 a1=1,an+1= ,则给出的数列{an}的第 7 项是 3an+1 1 A. 16 1 B. 17 1 C. 19 1 D. 25

4.由 1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足 b1=2,当 n≥2 时,bn=abn-1,则 b6 的值是 A.9 B.17 C.33 D.65 ( )

5.已知数列{an}满足 an+1

?2a =? ?2a -1
n n

?0≤an<1?, 2? ? ?1≤an<1?. ?2 ?

6 若 a1= ,则 a2 013 的值为( 7

)

6 A. 7

5 B. 7

3 C. 7

1 D. 7

1 6.已知数列{an}满足 a1= ,anan-1=an-1-an,则数列{an}的通项公式是__________. 2 1 7.已知数列{an}满足 a1=-1,an+1=an+ ,n∈N*,求通项公式 an. n?n+1? 1 1 8.在数列{an}中,a1= ,an=1- (n≥2,n∈N*). 2 an-1 (1)求证:an+3=an; 二、能力提升 1? 9.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln? ?1+n?,则 an 等于 A.2+ln n C.2+nln n B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n ( ) (2)求 a2 012.

2 2 10.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an +1-nan+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通

项公式是________.

an-1 1 11.已知数列{an}中,a4= ,an= (n≥2). 8 2an-1+1 1 1 (1)证明: = +2(n≥2),并求出 a1 的值; an an-1 (2)求出数列{an}的通项 an. 12.某餐厅供应 1 000 名学生用餐,每星期一有 A、B 两种菜可供选择,调查资料显示星期 一选 A 菜的学生中有 20%在下周一选 B 菜, 而选 B 菜的学生中有 30%在下周一选 A 菜, 用 An、Bn 分别表示在第 n 个星期一选 A 菜、B 菜的学生数,试写出 An 与 An-1 的关系及 Bn 与 Bn-1 的关系. 三、探究与拓展 13.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝,第二件首饰 是由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图 1 所示的正六边形,第三件首饰如图 2,第四 件首饰如图 3, 第五件首饰如图 4, 以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数 量的珠宝,使它构成更大的正六边形,设第 n 件首饰所用珠宝数为 f(n).

(1)求 f(n+1)-f(n)的值; (2)求 f(n). n?n-1? (提示:1+2+3+…+(n-1)= ) 2

答案
1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.an= 1 n+1

1 7.解 ∵an+1-an= , n?n+1? 1 ∴a2-a1= ; 1×2 1 a3-a2= ; 2×3 1 a4-a3= ; 3×4 … …

1 an-an-1= ; ?n-1?n 1 1 1 以上各式累加得,an-a1= + +…+ 1×2 2×3 ?n-1?n 1 1 1 1 1 =1- + - +…+ - 2 2 3 n-1 n 1 =1- . n 1 1 ∴an+1=1- ,∴an=- . n n 8.(1)证明 1 1 an+3=1- =1- 1 an+2 1- an+1

1 1 =1- =1- 1 1 1- 1- 1 an-1 1- an an 1 1 =1- =1- an an-1-an 1- an-1 an-1 =1- 1 -1 =1-(1-an)=an.

an-1

∴an+3=an. (2)解 由(1)知数列{an}的周期 T=3,

1 a1= ,a2=-1,a3=2. 2 又∵a2 012=a3×670+2=a2=-1. ∴a2 012=-1. 9.A 1? [∵an+1=an+ln? ?1+n?,

n+1 1 1+ ?=ln ∴an+1-an=ln? ? n? n =ln(n+1)-ln n.又 a1=2, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1) =2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln n-ln(n-1)] =2+ln n-ln 1=2+ln n.] 1 10.an= n an-1 11.(1)证明 ∵an= (n≥2) 2an-1+1 1 2an-1+1 ∴ = , an an-1 1 1 ∴ = +2 an an-1 1 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 - + - + - ∴ = +? a4 a1 ?a2 a1? ?a3 a2? ?a4 a3? 1 = +3×2=8. a1 1 1 ∴ =2,∴a1= . a1 2 (2)解 1 ? 1 1? ?1 1? ?1 1 1 - + - +…+?an- 由(1)知 = +? , an a1 ?a2 a1? ?a3 a2? an-1? ? ?

1 ∴ =2+2+2+…+ -2 个 an ?n 1? 2

1 1 ∴ =2n,∴an= ,n∈N+. an 2n 12.解 由题意知: A +B =1 000 ? ? ?A =0.8A +0.3B ? ?B =0.2A +0.7B
n n n n n-1 n-1

n-1 n-1

由 An-1+Bn-1=1 000, 得 Bn-1=1 000-An-1. 所以 An=0.8An-1+0.3(1 000-An-1) =0.5An-1+300. 同理,Bn=0.2(1 000-Bn-1)+0.7Bn-1 =0.5Bn-1+200. 13.解 (1)珠宝的数目依次是: f(1)=1,f(2)=1+5,f(3)=1+5+9, f(4)=1+5+9+13, f(5)=1+5+9+13+17,…, ∴f(2)-f(1)=5,f(3)-f(2)=9, f(4)-f(3)=13,f(5)-f(4)=17,…, ∴f(n+1)-f(n)=4n+1. (2)由(1)知 f(n+1)-f(n)=4n+1. ∴f(n)=f(1)+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+…+[f(n)-f(n-1)] =1+(4×1+1)+(4×2+1)+(4×3+1)+…+4(n-1)+1=n+4[1+2+3+…+(n-1)] n×?n-1? =n+4× 2 =n+2n(n-1)=2n2-n.


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