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2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第14讲函数模型及其应用


新课标高中一轮 总复习

理数
1

第二单元
函 数

2

第14讲
函数模型及其应用

3

了解指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等函数模型的意义, 并能建立简单的数学模型,利用这 些知识解决应用问题.

4

1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单 位:元)由f(m)=1.06×(0.50×[m]+1)给 出,其中m>0,[m]是大于或等于m的最 小整数(如[4]=4,[2.7]=3,[3.8]=4). 若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟 的电话费为( C ) 由题设知,f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1) A.3.71元 B.3.97元 =1,06×(0.5×6+1)=4.24.故选C. C.4.24元 D.4.77元
5

2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了 如下一组数据:
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表 示这些数据的规律,其中最接近的一个是( B ) A.y=2x-2 C.y=log2x
1 2 B.y= (x -1) 2 1 x D.y=( ) 2
6

将各组数据代入验证,选B.

3.某电信公司推出两种手机收费方式:A种 方式是月租20元,B种方式是月租0元.一 个月的本地网内打出电话时间(分钟) 与打出电话费s(元)的函数关系如图, 当打出电话150分钟时,这两种方式的电 话费相差( A ) A.10元 C.30元 B.20元 40 D. 元 3
7

两种话费相差为Δy, 根据几何关系可得Δy=Δy′, ?y? =12,Δy′=10, 20 所以Δy=10.

8

4.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车 投入客运,据市场分析,每辆客车营运 的总利润y万元与营运年数x (x∈N*)的关 系为y=-x2+12x-25,则为使其营运年平均 C 利润最大,每辆客车营运年数为( ) A.2 B.4 C.5 D.6

y ? x 2 ? 12 x ? 25 平均利润 x = ≤12-10=2, x 25 当且仅当x= ,即x=5时,等号成立,故选C.
x
9

函数是描述客观世界变化规律的基本数 学模型,不同的变化规律需要用不同的函数 模型来描述.那么,面临一个实际问题,应当 如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?事实 上,要顺利地建立函数模型,首先要深刻理 解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数 和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型 必须要有清晰的认识.一般而言,有以下8种 函数模型:
10

k ①一次函数模型:f(x)= +b(k、b为常数,k≠0); x k

② 反 比 例 函 数 模 型 : f(x)= +b(k 、 b 为 常 x 数,k≠0); ③二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0),二次函数模型是高中阶段应用最 为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为 常见的;

④指数型函数模型:f(x)=kax+b(k、a、b为常 数,k≠0,a>0且a≠1);
11

⑤对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m、n、a 为常数,m≠0,a>0且a≠1);
⑥幂函数型模型:f(x)=axn+b(a、b、n为常 数,a≠0,n≠0);
k ⑦“勾”函数模型:f(x)=x+ (k为常数,k>0), x

这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一 个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数 模型,

⑧分段函数模型:这个模型实则是以上两种 或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 12

典例精讲
题型一 函数模型的选择 例1 扇形的周长为c(c>0),当圆心角为多
少弧度时,扇形面积最大?

13

(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r>0, c 所以0<r< . 2 c c 1 1 面积S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0<r< ), 2 2 2 2 c c2 当r= 4 时, Smax= ,
此时|α|= l=
r

所以当圆心角大小为2 rad时,扇形面积最
c2 大,为 . 16
14

c ? 2r= r

16

4r ? 2r =2. r

(方法二)因为c=l+2r=αr+2r,所以r=
1 所以S= αr2=α·( 2 2
c 2 )2 = a?
c2 2(2 a ? 4 ? 4) a

c a ? 2.

c2a 2(a ? 2) 2

=

c 4 2(a ? ? 2) a



c2 = . 16

当且仅当α=
c2 大,为 . 16

?

4 ,即α=2时,等号成立.

所以当圆心角大小为2 rad时,扇形面积最

15

点评 (1)虽然问“α为多少时”,但若
以α为自变量,运算较大且需用到均值不 等式等技巧,而方法一以半径为自变量, 是一个简单的二次函数模型.同样,若以 弧长l为自变量,也是一个二次函数模型. 所以在构造函数过程中,要合理选择自 变量.

16

(2)一般的,当线绕点旋转时,常 以旋转角为变量.

(3)合理选择是画图象还是分离参 数解决不等式组成立问题.当图易于作 出时,常用图象解决;当易分离参数 且所得函数的最值易于求解时,可用 分离参数法.

17

题型二 已知函数模型求参数值
例2 如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2
中,已知开始时木桶1中有a升水,木桶2是 空的,t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰 减曲线y1=ae-mt(其中m是常数,e是自然对 数的底数).假设在经过5分钟时,木桶1和 木桶2的水恰 好相等,求:
18

(1)木桶2中的水y2与时间t的函数关系;

a (2)经过多少分钟,木桶1中的水是 升? 8

(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的,而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt, 所以y2=a-ae-mt. (2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m, 解得2e-5m=1?
1

? 8 8 根据题设条件建立方程求解. a 所以经过15分钟木桶1的水是 .
? In2 t 5

a 点评已知函数模型求参数值,关键是 当y = 时,有 =ae ?t=15(分钟). 8
19

1 In2 ? ?m= 5 ln2.所以y1=ae 5 t . a

题型三 给出函数模型的应用题 例3 经市场调查,某城市的一种小商品在过
去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为 时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=802t(件),价格近似满足f(t)=20- 1 |t-10|(元). (1) 试 写 出 该 种 商 品 的 日 销 售 额 y 与 时 间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
20

2

1 (1)y=g(t)· f(t)=(80-2t)· (20- |t-10|) 2 =(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0≤t<10)
(40-t)(50-t)(10≤t≤20). (2)当0≤t<10时,y的取值范围是[1200,1225]. 在t=5时,y取得最大值为1225; 当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1200],

在t=20时,y取得最小值为600.
答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元, 第20天,y取得最小值600元.
21

备选题
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对 用一定量的水清洗一次的效果作如下假定: 用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量 1 的 ,用水越多,洗掉的农药量也越多,但总还 2 有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清 洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次 清洗前残留的农药量之比为函数f(x).
22

(1)试规定f(0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数f(x)应满足的条件 和具有的性质;

(3)设f(x)= ,现有a(a>0)单位量的水,可 以清洗一次,也可以把水平均分成2份 后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬 菜上残留的农药量比较少?说明理由.

1 1 ? x2

分析

题目中的假定是对f(x)的性质的描述, 而确定用哪种方案时,只需比较两种方案 的清洗效果. 23

(1)f(0)=1,表示没有用水清洗时,蔬 菜上残留的农药量保持不变. (2)函数f(x)应满足的条件和具有的性质是: 1 f(0)=1,f(1)= , 2 在[0,+∞)上是减函数,且0<f(x)≤1.
(3)设仅清洗一次,蔬菜上残留的农药量为f1, 清洗两次后,蔬菜上残留的农药量为f2,则
1 1 1 1 f1= ,f2= a 2 × 1 ? ( a )2 =[ 1 ? ( a )2 ]2 2 1? a 1? ( ) 2 2 2

24

1 1 因为f1-f2= 1 ? a 2 -[ ? ( a )2]2 1 2 1 16 = 2 (4 ? a 2 ) 2 1? a

=

a 2 (a ? 2 2)(a ? 2 2) (1 ? a 2 )(4 ? a 2 ) 2

,

所以,当0<a< 2 2 时,f1<f2,即清洗一次蔬菜 上残留的农药量较小; 当a= 2 2 时,f1=f2,即两种清洗方法的效果一样; 当a> 2 2 时,f1>f2,即清洗两次蔬菜上残留的农 药量较少.
25

点评 阅读题目、理解题意是解决应用
题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的 理解.选择数学模型和方法解决实际应 用问题是核心步骤,因此解应用题时 要根据题目中的数量关系,选择适当 的数学模型和方法加以解决.

26

方法提炼
1.理解题意,找出数量关系是 解应用题的前提,因此解题时应认 真阅读题目,深刻理解题意. 2.建立数学模型,确定解决方 法是解应用题的关键,因此解题时 要认真梳理题目中的数量关系,选 择适当的方法加以解决.
27

3.函数的应用问题通常是以下几种 类型:可行性问题、最优解问题(即最大 值或最小值问题,如费用最小,效益最 大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用 函数的性质和数学方法. 4.应用题中的函数由于它具有实际 意义,因此函数中的变量除要求使函数 本身有意义外,还要符合其实际意义.
28

走进高考
浙江卷)如图,在长方形ABCD 学例1(2009·

中 ,AB=2,BC=1,E 为 DC 的 中 点 ,F 为 线 段 EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF 折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD 内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的 取值范围是( 1 ,1 ). 2

29

如图,过K作KM⊥AF于M点,连 接DM,易得DM⊥AF,与折前的图形相 比,可知在折前的图中,D、M、K三点 共线,且DK⊥AF,于是在折前的图中 △DAK∽△FDA,

1 AD AK 所以 =? ? t= DF . DF AD 1

又DF∈(1,2),所以t∈(

2

,1).

30

江苏卷)按照某学者的理论,假 学例2 (2009·
设一个人生产某产品的单件成本为a元,如

果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意
m 度为 m ? a

;如果他买进该产品的单价为n元,

n 则他的满意度为 .如果一个人对两种交易 n?a

(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2,则他

对这两种交易的综合满意度为 h1h2 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成
31

本分别为12元和5元,乙生产A、B 两 种 产品的单件成本分别为3元和20元,设产 品A、B的单价分别为mA 元和mB 元,甲 买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖 出A与买进B的综合满意度为h乙. (1)求h 甲 和h 乙 关于mA 、mB 的表达式;当 mA= 3 mB时,求证:h甲=h乙; 5 3 (2)设mA= mB,当mA、mB分别为多少时, 5 甲、乙两人的综合满意度均最大?最大 的综合满意度为多少?
32

(3)记(2)中最大的综合满意度为h0,试问能否 适当选取mA、mB的值,使得h甲≥h0和h乙 ≥h0同时成立,但等号不同时成立?试说明 理由. (1)证明:h甲= h乙=
mA mB ? mA ? 3 mB ? 20
mA mB ? mA ? 12 mB ? 5

,

(mA∈[3,12],mB∈[5,20]).

证明:当mA=
h甲=

3 5

mB时,
=
mB 2 ( mB ? 20)( mB ? 5)

3 mB mB 5 ? 3 mB ? 3 mB ? 5 5

,
33

h乙=

所以h甲=h乙.
3 5
2

3 mB mB 5 ? 3 mB ? 3 mB ? 20 5

=

mB 2 ( mB ? 5)( mB ? 20)

,

(2)当mA= mB时,

1 20 5 (1 ? )(1 ? ) mB mB

h甲=

mB ( mB ? 20)( mB ? 5)

1

=

=

100(

1 1 1 由mB∈[5 ,20 ],得 ∈[ , ]. mB 5 20 1 1 故当m = ,即mB=20,mA=12时,甲、乙两 B 20

1 2 1 ) ? 25 ?1 mB mB

,

人的综合满意度最大,为 10 .
5

34

(3)由(2)知h0= 由h甲=

10 . 5 10 ,得 5

3 1 5 令m =x, =y,则x、y∈[ 4 mB A

mA mB ? ≥h0= mA ? 12 mB ? 5

mA mB · ≤ m A ? 12 mB ? 5

5 . 2 2

,1],即(1+4x)(1+y)≤ 5.
5 . 2

同理,由h乙≥h0=

另一方面,由于x、y∈[ ,1],1+4x、 4 1+4y∈[2,5],1+x、1+y∈[ 5 ,2],
4 5 5 则(1+4x)(1+y)≥ ,(1+x)(1+4y)≥ , 2 2 1

10 ,得(1+x)(1+4y)≤ 5 1

当且仅当x=y= 4 ,即mA=mB时,取等号. 所以不能适当选取mA、mB的值,使得h甲≥h0和h 35 ≥h0同时成立,但等号不同时成立. 乙

本节完,谢谢聆听
36


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