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改进的高动态GPS定位自适应卡尔曼滤波方法


第 28 卷 第 4 期  1999 年 11 月

测 绘 学 报
ACT A G EOD AET ICA et CAR T O GR AP HICA SI NI CA

V ol . 28, N o. 4 N ov . , 1999

  文章编号: 10011595( 1999) 04029005

中图分类号: P228    文献标识码: A

改进的高动态 GPS 定位自适应 卡尔曼滤波方法
胡国荣, 欧吉坤
( 中国科学院测量与地球物理研究所, 湖北 武汉, 430077)

The Improved Method of Adaptive Kalman Filtering f or GPS High Kinematic Positioning
HU Guo-rong , OU Ji-kun
( I nstitute of Geodesy & Geop hy sics , Chinese A cademy of Sciences, H ubei, W uhan, 430077)

Abstract: When K alma n F ilter ing is used in high kinematic GP S po sitioning , it is difficult to know the
pro per ties o f kinemat ic noise and measur ement no ise. T herefo re , the impro ved met ho d of adaptive Ka lman Filt ering for GP S high kinematic po sitioning is pro po sed in this paper . T he theor etical analysis and numerical results sho w t ha t the method has bet ter numer ical stabilit y, sma ller memo r y, a nd stro nger ada ptabilit y.

Key words : Ka lman F iltering ; a daptability ; hig h kinematic G PS posit ioning 摘 要: 本文针对高动态 GP S 不易确定动态噪声和观测噪声的特点, 提出了一种适用于高动 态 GP S 定位的改进的自适应卡尔曼滤波方法。 该方法具有数值稳定性好, 存储量小的优点, 克 服了发散的缺点, 具有较强的自适应性。 关键词: 卡尔曼滤波; 自适应; 高动态 GPS 定位 多克服发散的方法, 如加权法[ 4] , Sage 自适应滤 波法 , 平方根滤波
[ 1] [ 2, 5, 6]

1 前 言
卡尔曼滤波是一个不断地预测、 修正的递推 过程, 由于其在求解时不需要贮存大量的观测数 据, 并且当得到新的观测数据时, 可随时算得新的 参数滤波值, 便于实时地处理观测成果, 因此, 卡 尔曼滤波被越来越多地应用于动态数据处理中, 尤其是 GP S 动态数据处理
[ 1, 2]

等。

高动态 GP S 应用如星载 GP S, 机载 GPS, 应 用卡尔曼滤波进行动态定位, 更能体现其优越性, 尤其是当星载 GPS 或机载 GPS 接收机在某些时 刻无 GP S 信号时, 可以利用卡尔曼滤波预测这些 时刻的位置和速度。然而, 高动态 GPS 通常不易 准确确定动态噪声和观测噪声, 利用传统卡尔曼 滤波往往造成滤波发散。 为此, 本文提出了一种适 用于高动态 GPS 定位的改进的自适应卡尔曼滤 波方法。 该方法具有数值稳定性好, 存贮量小的优

, 惯性导航 等。 但

[ 3]

传统卡尔曼滤波应用于实际时, 常常由于不能满 足其假定条件, 或计算方法的限制, 造 成滤波发 散, 使得滤波结果最终失真。为此, 人们提出了许

  收稿日期: 1999-03-03, 截稿日期: 1999-09-04。胡国荣, 男, 28 岁, 博士。主要研究方向: G PS 低轨卫星精密定轨理论和方法。 本项研究得到国家杰出青年科学基金( 49825107) ( 杨元喜研究员主持) 以及中国科学院动力大地测量开放研究实验室联合资助。

第 4 期         胡国荣等: 改进的高动态 G PS 定位自适应卡 尔曼滤波方法

291

点, 克服了发散的缺点, 具有较强的自适应性。

2 传统卡尔曼滤波模型
GPS 动态定位中, 卡尔曼滤波常用离散化模 型来描述系统状态而且系统状态方程 为线性形 式, 即
K X×l = m K, K - 1 m×m XmK×l 1 + K- 1 m ×l

中, 这些条件未必能满足, 此时就存在建模误差, 如 GPS 观测方程中, 经电离层模型改正后残余的 电离层延迟等作为观测噪声就不是零 均值白噪 声, 而且对于高动态 GP S, 其动态噪声 难于准确 地给出, 另外, 由于非线性方程线性化时, 一定存 在线性化误差, 这也是一类建模误差。由式( 1) ~ 式 ( 8) 可以看出, 在计算增益矩阵 J K 时, 并不考 虑实际的观测值, 而只根据验前确定的 , Q, R 3 个矩阵的数值。 如果它们中的任何一个不够准确, 则都将导致计算增益 J K 的错误, 并可 能导致滤 波过程发散。这也是传统卡尔曼滤波的一个重要 缺陷。 另一方面, 由于受到计算工具等客观条件的 限制, 使得滤波算法在计算机上实施时, 易产生舍 入误差积累, 误差协方差阵失去正定性或对称性, 从而出现数值计算不稳定现象。 一般情况下, 当状 态向量维数超过 10 时, 滤波过程中就可能出现滤 波不稳定现象 。 此外, 研究表明[ 7] , 传统卡尔曼滤波对数值病 态情形也很敏感。GPS 高动态定位中, 经常遇见
[ 4]

( 1)

式中, X K 为 K 时刻的 m 维状态向量, 也是被估 计向量, K, K - 1 为 K - 1 到 K 时刻的系统一步状 态转移矩阵, K - 1为 K - 1 时刻的系统动态噪声。 观测方程为非线性方程, 即 L K = g( X K ) + V K m×l n×l n×l ( 2) 式 中, L K 为 K 时刻 n 维观测向量, g ( X K ) 为 X K 的非线性函数, V K 为 K 时刻的 n 维观测噪声。 对 于高动态 GP S 伪距单点定位 g ( X K ) = [ ( X K - X ) + ( Y K - Y ) + ( ZK - Z ) ] 其中, ( X , Y , Z ) 为该时刻卫星位置。 其统计模型为 E( K) = 0 E ( VK ) = 0 cov( cov(
K S S S s 2 s 2 s 2 1/ 2

,

J

) = QK

KJ KJ

( 3)

近奇异协方差阵, 要解决这些问题, 一般采用平方 根算法或 U D 分解算法
[ 6, 7]

cov( V K , V J ) = R K
K



, VK ) = 0

为了解决滤波数值计算不稳定问题, 人们在 实践中提出了许多方法, 如自适应卡尔曼滤波, 固 定增益滤波, 平方根滤波等 。 分析上述各类滤波算法可知, 解决了发散问 题往往是以滤波结果次优为代价的, 有些虽然没 有影响结果的最优性, 却是增加了计算量, 降低了 效率。 针对上述传统卡尔曼滤波中存在的问题, 本 文提出了适用于高动态 GP S 定位的改进的自适 应卡尔曼滤波方法。
[ 2]

式中, Q K , R K 分别为系统动态噪声和观测噪声的 方差矩阵, 在一般卡尔曼滤波中, 它们分别是已知 的非负定阵和正定阵。 K , J 为 Kronecker 函数, 即 0 K ≠J 1 K = J 若已 知初 始状 态 的统 计特 性 为: E ( X 0 ) = X 0, 0 , v ar( X 0 ) = P 0, 0, 则由扩展的卡尔 曼滤波可
K,J

=

得如下递推方程[ 1] X K , K- 1 = P K, K - 1 =
K K,K- 1 K,K- 1

X K- 1, K - 1
T K , K- 1

( 4) ( 5)

P K- 1

+ QK - 1

T T - 1 ( 6) J = P K , K - 1A K ( A K P K ,K - 1 A K + R K ) X K = X K , K = X K , K - 1+ J K ( L K - g ( X K , K - 1) ) ( 7)

3 改进的高动态 GPS 定位自适应 卡尔曼滤波
在设计高动态 GP S 卡尔曼滤波器时, 状态方 程和观测方程都精确已知, 但动态噪声和观测噪 声的统计特性却是未知的, 为此, 可采用 Sag e 自 适应滤波( 又称为极大后验估计器) 。根据每次测 出的更新信息, 推算出动态噪声和观测噪声的统 计特性, 并使滤波器成为最优, 这就是 Sage 自适 应滤波的思路[ 1] 。对于状态方程( 1) 和观测方程 ( 2) , 设 K , K - 1g ( X K ) 已知, 态白噪声, 其统计特性为
K- 1

( 8) P K = P K , K = ( I - J K A K ) P K , K- 1 g 式中, J K 为增益矩阵, 其中, A K = ( X K, K - 1 ) 为 X 观测方程在 X K , K - 1处线性化后的系数阵, X K , K - 1, P K , K - 1 分别为预测值及其方差阵, X K , K , P K ,K 分别 为滤波值及其方差阵。 上述过程是在一种理想条件下进行的, 即要 求系统的动态噪声和观测噪声为零均值并且统计 特性已知的白噪声, 实际上, 在高动态 GP S 定位

, V K 为 独立的正

292 E( E(
K T J K

测 绘  学 报                  28 卷

) = q E( V K ) = r
K,J

( 9)
K,J

给 定初始条件 E( X 0 ) = X 0, 0, var( X 0 ) = P 0, 0 = P 0, r 0, q 0 , R 0 , Q0 ( r 0, q 0 , R 0 , Q0 可 根据 经验 给 定) 。利用 Chol esky 分解法将预报参数方差协方 差阵分解成 UDU 的形式, 即 UD 分解, 其中, U 为上三角阵, D 为对角阵。 当 K = 1 时, 1. 按如下 UD 分解滤波算法计算估值 X K , K 及其方差 P K , K X K, K - 1 = PK , K - 1 =
K,K- 1 K,K- 1 T

)= Q

 E( V K V ) = R

T J

( 10)

噪声的均值 q , r 及协方差 Q , R 是未知的, Sage 自 适应滤波就是基于观测值( L 1, L 2, …, L K ) 求得状 态估值 X K , 并由极大后验估计原理, 可得极大后 验估值 q , r , Q , R 分别为[ 1, 4] X K , K - 1= K , K - 1X K - 1,K - 1 + q K - 1 ( 11) T P K, K - 1 = K , K - 1P K- 1 K , K- 1 + Q K - 1 ( 12) T T - 1 J K = P K, K - 1A K ( A K P K , K - 1A K + R K - 1) ( 13) X K = X K , K = X K, K - 1 + J K ( L K - g( X K , K- 1 ) - r K - 1) ( 14) K = P K , K = ( I - J K A K ) P K , K- 1 ( 15) P
K

X K - 1, K - 1+ q K

( 25)
T

PK - 1

T K ,K - 1

+ Q K- 1 = UDU

( 26) 设滤波预测残差 V K , K = L K - g ( X K , K - 1 ) , 则 其方差 S K 为 S K = A K UDU A K + R K 令 F = DU A K G= UF 则有 J K = GS K
- 1 T T T T

qK =   QK =

1 ∑( X J, K K J= 1
K

J, J - 1

X J- 1, K )

( 16)

1 ∑ ( X J ,K - J, J - 1 X J - 1, K - qJ ) K J= 1 ( X J , K - J, J- 1 X J - 1, K - q J ) T ( 17)
K

( 27) ( 28) ( 29) ( 30) ( 31)

1 r K = K ∑( L J - g ( X J ,K ) ) J= 1
K

( 18)

  R K = 1 ∑( L J - g ( X J , K ) - r J ) ( L J K J= 1 T g( X J, K ) - r J ) ( 19) 初始条件为 q 0, Q0 , R 0 , r 0 以及 E ( X 0 ) = X 0, 0, v ar( X 0 ) = P 0, 0 ( 20) 在式( 16) ~式( 19) 中用滤波估值 X J, J 和预报 值 X J, J - 1近似代替计算复杂的平滑估值, 可得次 优极大后验估值为
K

X K = X K , K = X K , K - 1+ J K ( L K - g ( X K , K - 1) - r K ) P K = P K , K = U( D- S 断
[ 4] - 1 K

FF )

T

( 32)

2. 判断是否发散。 可利用滤波预测残差来判 V K , K V K , K ≤ t× T r ( S K )
T

( 33)

1 q K = K ∑V X J ,J J= 1
K K

( 21)

式中, t 为可调系数, t ≥1, 若 t= 9, 则相当于 3 倍 中误差检验。 若不满足条件式( 33) , 则认为滤波发 散, 先验值不准确, 启动上述 Sage 自适应滤波, 利 用 式( 21) ~式( 24) , 求取该时刻的 q k , r k , Qk , R k 。 重做第 1 步, 直到满足式( 33) 即不发散为止, 再做 第 3 步; 3. K = K + 1, 作 1, 2 两步。 该滤波方法, 由于采用了 UD 分解滤波算法, 改进了计算精度, 克服了由于数值计算引起的滤 波不稳定性[ 7] ; 同时, 利用预报残差判断滤波过程 中是否发散, 若发散, 则启动自适应滤波器, 利用 估值和预报值估计动态噪声和观测噪声的统计特 性, 直到滤波器不发散为止。因此, 该滤波方法具 有自适应性, 数值稳定性好, 而且不发散。 由上述滤波方法可见, 若对高动态 GPS 的动 态噪声和观测噪声的统计特性有比较好的了解, 即 r 0 , q 0 , R 0, Q0 的给定比较接近于真实情况, 则 该滤波方法不易发散, 效率更高。若高动态 GPS

1 T Q = K ∑( V X J, J - q J ) ( V X J , J - q J ) ( 22) J= 1
K

1 r K = K ∑V L J J= 1
K

( 23) ( 24)

1 T R K = K ∑( V L J- r J ) ( V L J - r J ) J= 1 式中, V X J , J = X J, J [ 1] J, J - 1

X J- 1, J- 1 , 为预测残差,

V L J = L J - g( X J , J ) , 为观测残差。 可以证明 , 上述次优估计具有无偏性。 由式 ( 11) ~式( 15) 及式( 21) ~式( 24) 可交替估计状态 参数和噪声的统计量。 由上可见, Sage 自适应滤波是当 q, r , Q, R 未 知时, 利用预测残差和观测残差求每一时刻估计 动态噪声和观测噪声的均值及其协方差, 增加了 计算量。在实际应用中, 可以发现, 并不是每一时 刻滤波都发散, 为此, 本文提出如下改进方法:

第 4 期         胡国荣等: 改进的高动态 G PS 定位自适应卡 尔曼滤波方法

293

的动态噪声和观测噪声均值为 0, 而且其方差精 确已知, 则该滤波方法可转化为传统卡尔曼滤波。

4 应用实例
本 文对 T OPEX / POSEIDON ( T / P ) 卫星 星 载 GP S / DR 接收机 1997 年 4 月 20 日 的伪距观 测值进行处理。T / P 卫星飞行速度为 7 km/ s 左 右, 采样率为 10 s。取 150 个历元, 分别采用如下 3 种方案进行处理: 方案 1: 单点伪距定位; 方案 2: 传统卡尔曼滤波方法; 方案 3: 本文所改进的自适应卡尔曼滤波方 法。 滤波时, 状态向量为该历元 GPS/ DR 接收机 的 3 维位置及其速率和接收机钟差, 即 X K = ( x K , y K , z K , dT K , x K , y K , z K ) , 初值 X 0, 0 , P 0, 0 可由单点 定位给定, 动态噪声方差阵 Q0 取为对角阵, 对角 元素均取为1×10 , 观测噪声方差阵 R 0 也取为 对角阵。0, q 0 各元素均取为 0, 可调系数 t 取为 1, r 方案 2, 3 均与方案 1 结果进行比较。 当 观 测 噪 声 方 差 阵 R0 对 角 元 素 均 取 为 1×10 m 时, 其坐标差如图 1, 图 2 所示, 比较图1 和图 2 可见, 传统卡尔曼滤波呈发散状, 而本文方 法经过短时间自适应过程之后比较稳定。 当 观 测 噪 声 方 差 阵 R0 对 角 元 素 均 取 为 1×104 m 2时, 坐标差如图 3, 图 4 所示。比较图 1 和图 3 可见, 后者较稳定, 由此可见, 造成传统卡 尔曼滤波发散的原因为先验观测噪声方差取得不 准确。
图 3 传统 卡尔曼滤波( R 0 = 1×10 4 m 2 ) Fig. 3  Standard K alma n F ilter ing ( R 0 = 1×104 m 2 )
3 2 - 8

图 2 改进的自 适应卡尔曼滤波( R 0 = 1×10 3 m 2 ) Fig . 2 T he impro ved adaptive K alm an F ilter ing ( R 0 = 1×10 3 m 2 )

图 4 改进的自 适应卡尔曼滤波( R 0 = 1×10 4 m 2 ) Fig . 4 T he impro ved adaptive K alm an F ilter ing ( R 0 = 1×10 4 m 2 ) 图 1 传统卡尔 曼滤波( R 0 = 1×10 3 m 2 ) Fig. 1  Standard K alma n F ilter ing ( R 0 = 1×103 m 2 )

但当 R 0 取得不准确时, 本文所改进的方法需要一 段自适应时间, 滤波才达到稳定。 比较图 3 和 4 可见, 当 R 0 取得比较准确时, 传统卡尔曼滤波仍不是很稳定, 而本文方法滤波 则比较稳定, 而且自适应时间较短。

比较图 2 和 4 可见, 改进的自适应卡尔曼滤 波对观测噪声的选取不是很敏感, 两者都较稳定,

294

测 绘  学 报                  28 卷 [ 2]  董绪荣, 陶大欣. 一个快速 K alman 滤 波方法及其在 G PS 动态 数 据处 理中 的 应用 [ J] . 测 绘学 报, 1997, 26( 2) : 221227. [ 3]  段晓 东, 等. G PS / D NS 组合 导航系统 研究[ J ] . 南 京航空航天大学学报, 1996, 28( 1) : 6673. [ 4]   宋文尧, 张牙. 卡尔曼滤波 [ M ] . 北京: 科学出版 社, 1991. [ 5]   章燕申. 最优估计 与工程应用 [ M ] . 北京: 宇航出版 社, 1991. [ 6]  Chui C K, Chen G . Kalman Filt ering with Realtime A pplicatio ns [ M ] . Ber lin : Spring er - erlag , V 1987. [ 7]   Bier man G J. F actor ization M etho ds for Discr ete Sequential Estimat ion [ M ] . N ew Y or k: Academic P ress , 1977.

应当指出: 这里仅仅讨论了本文提出的改进 方法的自适应性, 至于如何提高定位精度有待进 一步研究。

5 结 论
本文提出的适用于高动态 GPS 定位的改进 的自适应卡尔曼滤波, 采用了 UD 分解算法, 数值 稳定性好, 克服了传统卡尔曼滤波易发散的缺点。 实例分析表明, 对于高动态 GPS 定位, 当对系统 的动态噪声和观测噪声的先验方差确定得不准确 时, 本文所提出的方法具有较强的自适应性。

  参考文献:
[ 1]  陈小 明. 高 精度 G PS 动态 定位 的理 论与实 践[ D] . 武汉: 武汉测绘科技大学, 1997.


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