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2016年高考数学二轮复习转化与化归思想——求解数学问题最常用的方法 -课件_图文

?第二部分 提能增分篇 突破一 数学思想方法的贯通应用 第4讲 转化与化归思想——求解数学 问题最常用的方法 1.转化与化归思想的含义 (1)化归思想,就是在处理问题时,把较复杂的问题,通过某 种途径的转化归结为一类常规且比较容易解决的问题, 最终解决 原问题. (2)转化与化归包括:①新知识向旧知识的转化;②复杂问题 向简单问题的转化;③局部与整体的相互转化;④特殊与一般的 相互转化;⑤等式与不等式的相互转化;⑥正面与反面的转化. 2.转化与化归思想应遵循以下五个原则 (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我 们运用熟悉的知识、经验来解决. (2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问 题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和 依据. (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符 合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演 有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4)直观化原则: 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来 解决. (5)正难则反原则: 当问题正面讨论遇到困难时, 可考虑问题 的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解. 3.转化与化归思想中常见的转化方法 (1)直接转化法: 把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或 基本图形问题. (2)换元法: 运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本 问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式 (图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题, 达到化归的目的. (5)特殊化方法: 把原问题的形式向特殊化形式转化, 并证明 特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法: “构造”一个合适的数学模型, 把问题变为易于 解决的问题. (7)坐标法: 以坐标系为工具, 用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. (9)参数法: 引进参数, 使原问题转化为熟悉的形式进行解决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结 果看做集合 A, 而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U, 能过解决全集 U 及补集?UA 获得原问题的解决, 体现了正难则反 的原则. 一、具体与抽象、特殊与一般的转化 [典例 1] (2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和 为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. [审题策略] (1)利用 an+1=Sn+1-Sn 的关系构造方程组可得 到证题的结论. (2)根据等差数列的定义,由所给出的递推关系求出 a1,a2, a3 的值,利用 2a2=a1+a3 可先确定 λ 的取值,再回归到一般性 的证明求解中. 解:(1)证明:由题设知, anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减,得 an+1(an+2-an)=λan+1, 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设知,a1=1,a1a2=λS1-1, 解得 a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4. 故 an+2-an=4, 由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1= 4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. 名师说法 当问题难以入手时,应先对特殊情况或简单情形进行观察、 分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素,然后推广 到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过 程,这就是特殊化的化归策略. 数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时 需要把一般问题化归为特殊问题, 有时需要把特殊问题化归为一 般问题. [即时应用] 1.(2015· 东北三省三校联合模拟)设双曲线的一个焦点为 F, 虚轴的一个端点为 B ,焦点 F 到一条渐近线的距离为 d ,若 |FB|≥ 3d,则双曲线离心率的取值范围是( A.??1, 2?? C.(1,3] ? ? ) B.?? 2,+∞?? D.[ 3,+∞) ? ? 答案:A x2 y2 ? ? 解析:不妨设双曲线方程为a2-b2=1??a>0,b>0??,则准线方 b ? bc ? 2 2 2 2 ? ? FB 程为 y=± x , b + c ,所以 d = = b ,所以 b + c ? ?= a a2+b2 c ≥ 3b,得 c ≥2 c -a ?,所以 e=a≤ 2.又因为 e>1,所以 e∈ 2 ? ? ? 2 2? ? ? ? ? 1, 2??.故选 A. ? 二、数与形、平面与空间的转化 [典例 2] (2015· 江西南昌一模) 如图 AC 是圆 O 的直径,B,D 是圆 O 上两点,AC=2BC= 2CD=2,PA⊥圆 O 所在的平面,PA= 3,点 M 在线段 BP 上, 1 且 BM=3BP. (1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求异面直线 BP 与 CD 所成角的余弦值. 解:(1)证明:如图,作 ME⊥AB 于 E,连接 CE,∴ME∥AP. ① ∵AC 是圆 O 的直径,AC=2BC=2CD=2, ∴AD⊥DC,AB⊥BC, ∴∠BAC=∠CAD=30° , ∠BCA=∠DCA=60° ,AB=AD= 3, 1 1 3 3 BE BM=3BP,∴BE=3BA= 3 ,tan∠BCE=BC= 3 , ∴∠BCE=∠ECA=30°

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