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2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案(含解析)新人教A版选修2_2

。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯
1.1.1~1.1.2

变化率问题

导数的概念

平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图,建立如图所示的平面直角坐标系.A 是出发点,H 是 山顶.爬山路线用函数 y=f(x)表示.

自变量 x 表示某旅游者的水平位置,函数值 y=f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点

A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐标为(x2,y2).

问题 1:若旅游者从点 A 爬到点 B,且这段山路是平直的,自变量 x 和函数值 y 的改变

量 Δ x,Δ y 分别是多少?

提示:自变量 x 的改变量为 Δ x=x2-x1,函数值的改变量为 Δ y=y2-y1.

问题 2:能否根据 Δ y 的大小判断山路的陡峭程度?

提示:不能.

问题 3:怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢?

提示:对山坡

AB

来说,Δ Δ

yx=yx22--yx11可以近似地刻画.

问题

4:能用Δ Δ

yx刻画山路陡峭程度的原因是什么?

提示:因ΔΔ

y x表示

A,B

两点所在直线的斜率

k,显然,“线段”所在直线的斜率越大,

山路越陡.这就是说,竖直位移与水平位移之比Δ Δ

yx越大,山路越陡;反之,山路越缓.

问题

5:从

A



B

与从

A



C,两者ΔΔ

y x相同吗?

提示:不相同.

1

1.函数的平均变化率

对于函数 y=f(x),给定自变量的两个值 x1 和 x2,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值

从 f(x1)变为 f(x2),我们把式子f

x2 -f x1 x2-x1

称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率.

习惯上用 Δ x 表示 x2-x1,即 Δ x=x2-x1,可把 Δ x 看作是相对于 x1 的一个“增量”,

可用

x1+Δ

x

代替

x2;类似地,Δ

y=f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可表示为ΔΔ

y x.

2.平均变化率的几何意义

设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的

两点,函数

y



f(x)













Δ Δ

y x



f

x2 -f x1 x2-x1



f

x1+Δ x -f Δx

x1

为割线 AB 的斜率,如右图所示.

对 Δ x,Δ y 的理解 (1)Δ x,Δ y 是一个整体符号,而不是 Δ 与 x,y 相乘. (2)x1,x2 是定义域内不同的两点,因此 Δ x≠0,但 Δ x 可正也可负;Δ y=f(x2)-f(x1) 是 Δ x=x2-x1 相应的改变量,Δ y 的值可正、可负,也可为零,因此平均变化率可正、可 负,也可为零.
导数的概念

一质点的运动方程为 s=8-3t2,其中 s 表示位移,t 表示时间.

问题 1:试求质点在这段时间内的平均速度.

提示:Δ Δ

st=8-

+Δ t Δ

t

2-8+3×12 =-6-3Δ

t.

问题 2:当 Δ t 趋近于 0 时,问题 1 中的平均速度趋近于何值?如何理解这一速度?

提示:当

Δ

t

趋近于

0

时,Δ Δ

st趋近于-6.这时的平均速度即为

t=1

时的瞬时速度.

1.瞬时速度

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度:

若物体运动的路程与时间的关系式是 s=f(t),当 Δ t 趋近于 0 时,函数 f(t)在 t0 到

t0+Δ t 之间的平均变化率f

t0+Δ t -f Δt

t0

趋近于常数,我们就把这个常数叫做物体

2

在 t0 时刻的瞬时速度.

2.导数的定义

一般地,函数

y = f(x) 在

x = x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是

li m Δ x→0

Δ Δ

y x



li

Δ

m
x→0

f

x0+Δ x -f Δx

x0

,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x

=x0,即

f′(x0)=li Δ

m
x→0

Δ Δ

y

x=liΔ

m
x→0

f

x0+Δ x -f Δx

x0

.

导数概念的解读

(1)导数是一个局部概念,它只与函数 y=f(x)在 x=x0 处及其附近的函数值有关,与 Δ x

无关.

(2)f′(x0)是一个常数,即当 Δ x→0 时,存在一个常数与f

x0+Δ x -f Δx

x0

无限

接近.如果当 Δ

x→0 时,li m Δ x→0

Δ Δ

y x不存在,则称函数

f(x)在

x=x0

处不可导.

求函数的平均变化率

(1)已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2,Δ x=0.1 时,Δ y 的值为( )

A.0.40

B.0.41

C.0.43

D.0.44

(2)已知函数 f(x)=x+1x,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均

变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快. (1)选 B Δ y=f(2+Δ x)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.
(2)自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)的平均变化率为

f -f 2-1

1

2+2- +



1

=12;

自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为

f -f 5-3

=5+15-2???3+13???=1145.

1 14 因为2<15,所以函数

f(x)=x+1x在自变量

x



3

变到

5

时函数值变化得较快.

3

求函数平均变化率的步骤

(1)求自变量的改变量 Δ x=x2-x1;

(2)求函数值的改变量 Δ y=f(x2)-f(x1);

(3)求平均变化率Δ Δ

xy=f

x2 -f x1 x2-x1

.

分别计算下面三个图象表示的函数 h(t)在区间上的平均变化率.

解:对于图①,Δ h=h(3)-h(0)=10-0=10,

∴ΔΔ

h 10 10

10

t=3-0= 3 ,即平均变化率为 3 .同理可以算得图②、图③中函数

h(t)在区间上

的平均变化率均为130.

求函数在某点处的导数

(1)设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δ x)-f(x0)=aΔ x+b(Δ x)2(a,b 为常数),则( )

A.f′(x)=a

B.f′(x)=b

C.f′(x0)=a

D.f′(x0)=b

(2)求函数 f(x)= x在 x=1 处的导数.

(1)选 C

f

f′(x0)=li Δ

m
x→0

x0+Δ x -f Δx

x0

=li m (a+b·Δ x)=a. Δ x→0

(2)由导数的定义知,函数在 x=1 处的导数 f′(1)=li m f Δ x→0

+Δ x -f Δx

,而

f +Δ x -f Δx



1+ΔΔxx-1=

1

,又 li m

1+Δ x+1

Δ x→0

1 1+Δ

1 x+1=2,所以

f′(1)

1 =2.

利用定义求导数的三步曲 由导数的定义知,求一个函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤如下: (1)求函数值的改变量 Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0);

4

(2)求平均变化率ΔΔ

yf x=

x0+Δ x -f Δx

x0



(3)取极限,得导数

f′(x0)=li Δ

m
x→0

Δ Δ

xy.

简认为:一差,二比,三趋近.

求函数 y=x42 在 x=2 处的导数.

解:∵Δ y=

4 Δ x+

4 2-22

4 = Δ x+ 2-1

=-

Δ

x Δ

2+4Δ x+ 2

x,

∴ΔΔ

y x=-

Δ x+4 Δ x+

2.

∴f′(2)=li m Δ x→0

Δy Δx

=-li m Δ x→0

Δ x+4 Δ x+ 2

=-1.

瞬时速度的应用

若一物体的运动方程为 s=?????239t+ 2+2,tt-≥3,2,0≤t<3, (路程单位:m,时间单位:

s).求:

(1)物体在 t=3 s 到 t=5 s 这段时间内的平均速度;

(2)物体在 t=1 s 时的瞬时速度.

(1)因为 Δ s=3×52+2-(3×32+2)=48,Δ t=2,所以物体在 t=3 s 到 t=5 s 这

段时间内的平均速度为Δ Δ

st=428=24(m/s).

(2)因为

Δ

s=29+32-29-3×(1-3)2=3(Δ

t)2-12Δ

t,所以ΔΔ

s t=

Δ t 2-12Δ t Δt

=3Δ

t-12,则物体在 t=1

s

时的瞬时速度为 s′(1)=li m Δ t→0

Δ Δ

s

t=liΔ

m
t→0

(3Δ

t-12)=

-12(m/s).

求瞬时速度的步骤

5

(1)求位移增量,Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0);

(2)求平均速度,-v=Δ Δ

s t;

(3)取极限,li m Δ x→0

Δ Δ

s

t=liΔ

m
t→0

s

t0+Δ t -s Δt

t0



(4)若极限存在,则

t0

时刻的瞬时速度为

v=lim Δ t→0

Δ Δ

st.

一质点按规律 s(t)=at2+1 做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在 t

=2 s 时的瞬时速度为 8 m/s,求常数 a 的值.

解:因为

Δ

s=s(2+Δ

t)-s(2)=a(2+Δ

t)2+1-a·22-1=4aΔ

t+a(Δ

t)2,所以Δ Δ

s t

=4a+aΔ

t,故在 t=2

s 时,瞬时速度为 s′(2)=li m Δ t→0

Δ Δ

ts=4a(m/s).

由题意知,4a=8,所以 a=2.

1.对导数的概念理解不透彻

f

已知

f(x)在

x=x0

处的导数为

4,则

li Δ

m
x→0

x0+2Δ x -f Δx

x0

=________.

f li m
Δ x→0

x0+2Δ x -f Δx

x0

=li m Δ x→0

???f

x0+2Δ x -f 2Δ x

x0

×2???

f =2li m
Δ x→0

x0+2Δ x -f 2Δ x

x0

=2f′(x0)=2×4=8.

8

1.本题分子中 x 的增量是 2Δ x,即(x0+2Δ x)-x0=2Δ x,而分母为 Δ x,两者不是等

量的,如果忽视该点,则易得出结论为 4 的错误答案.

2.在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的

增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有:

f li m
Δ x→0

x0-Δ x -f Δx

x0

6

f =-li m
Δ x→0

x0-Δ x -f -Δ x

x0

=-f′(x0).

已知 f′(1)=-2,则 li m f Δ x→0

-2Δ x -f Δx



________.

f 解析:li m
Δ x→0

1-2Δ x -f Δx

1

f =(-2)×li m
Δ x→0

1-2Δ x -f -2Δ x

1

=(-2)×(-2)=4.

答案:4

1.如果函数 y=ax+b 在区间上的平均变化率为 3,则 a 的值为( )

A.-3

B.2

C.3

D.-2

解析:选 C 根据平均变化率的定义,

可知Δ Δ

yx=

a+b - 2-1

a+b

=a=3.

2.若

f(x)在

x=x0

处存在导数,则

li m h→0

f

x0+h -f h

x0

(

)

A.与 x0,h 都有关 B.仅与 x0 有关,而与 h 无关 C.仅与 h 有关,而与 x0 无关

D.以上答案都不对

解析:选 B 由导数的定义知,函数在 x=x0 处的导数只与 x0 有关.

3.已知函数

y=2x2-1

的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1+Δ

x,1+Δ

y),则Δ Δ

yx等于

________.

解析:Δ Δ

yx=

+Δ x Δx

2-1-1 =4+2Δ

x.

答案:4+2Δ x 4.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2(t≥0),其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那

7

么该物体在 3 秒末的瞬时速度是________.

解析:∵ΔΔ

ss t=

+Δ t -s Δt

=Δ

t+5,liΔ

m
t→0



t+5)=5,

∴该物体在 3 秒末的瞬时速度是 5 米/秒.

答案:5 米/秒

5.求 y=x2+1x+5 在 x=2 处的导数.

解:∵Δ y=(2+Δ x)2+2+1Δ x+5-???22+12+5???

=4Δ x+(Δ x)2-

Δx +Δ x



∴ΔΔ

y x=4+Δ

x-4+12Δ

x,

∴f′(2)=li m Δ x→0

Δy Δx

=li m Δ x→0

???4+Δ

x-4+12Δ

x ???

1 15 =4+0-4+2×0= 4 .

一、选择题

1.在平均变化率的定义中,自变量的增量 Δ x 满足( )

A.Δ x<0

B.Δ x>0

C.Δ x=0 D.Δ x≠0

解析:选 D 根据定义知 Δ x 可正、可负,但不能为 0.

2.设 f(x)=1x,则 f′(a)等于(

)

A.-1a B.2a

11 C.-a2 D.a2

解析:选 C

f ∵

a+Δ x -f Δx

a

1 =a+ΔΔ

x-a1 x

=aΔ

x

-Δ x a+Δ

x

=a

-1 a+Δ x



∴f′(a)=li m Δ x→0

a

-1 a+Δ x

1 =-a2.

8

3.函数 y=x2 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率为 k1,在 x0-Δ x 到 x0 之间的平均变化

率为 k2,则 k1 与 k2 的大小关系为( )

A.k1>k2 B.k1<k2

C.k1=k2 D.不确定

解析:选 D

f k1=

x0+Δ x -f Δx

x0



x0+Δ x Δx

2-x02=2x0+Δ x;

k2=f

x0

-f x0-Δ x Δx

=x20-

x0-Δ x Δx

2
=2x0-Δ x.

因为 Δ x 可正也可负,所以 k1 与 k2 的大小关系不确定. 4.一质点运动的方程为 s=5-3t2,若该质点在时间段内相应的平均速度为-3Δ t-6, 则该质点在 t=1 时的瞬时速度是( )

A.-3 B.3

C.6 D.-6

解析:选 D 当 Δ t 趋于 0 时,式子-3Δ t-6 趋于-6.

5.设函数在 x=1 处存在导数,则 li m f Δ x→0

+Δ x -f 3Δ x

等于( )

A.f′(1) B.3f′(1)

C.13f′(1) D.f′(3)

f 解析:选 C li m
Δ x→0

+Δ x -f 3Δ x

1

f

=3liΔ

m
x→0

+Δ x -f Δx

=13f′(1).

二、填空题

6.在雨季潮汛期间,某水文观测员观察千岛湖水位的变化,在 24 h 内发现水位从 102.7

m 上涨到 105.1 m,则水位涨幅的平均变化率是________m/h.

解析:水位涨幅的平均变化率为105.12-4102.7=0.1(m/h).

答案:0.1

7.已知曲线 y=1x-1 上两点 A???2,-21???,B???2+Δ x,-12+Δ y???,当 Δ x=1 时,割线

AB 的斜率为________.

解析:∵Δ x=1,2+Δ x=3,

∴Δ y=???13-1???-???12-1???

=13-12=-16,

9

∴kAB=ΔΔ yx=-16.

答案:-16

8.将半径为 R 的球加热,若半径从 R=1 到 R=m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半

径的变化量之比)为283π ,则 m 的值为________.

解析:∵Δ V=43π m3-43π ×13=43π (m3-1),



∴ΔΔ

V R=

3

m3- m-1

=283π ,

即 m2+m+1=7,解得 m=2 或 m=-3(舍去).

答案:2

三、解答题

9.已知函数 f(x)=13-8x+ 2x2,且 f′(x0)=4,求 x0 的值.

解:∵f′(x0)=li Δ

m
x→0

Δ Δ

y x

[13- =li m
Δ x→0

x0+Δ x + 2 x0+Δ x 2]- Δx

-8x0+ 2x20

=li m -8Δ x+2 Δ x→0

2x0Δ x+ Δx

2

Δx

2

=li m (-8+2 Δ x→0

2x0+

2Δ x)

=-8+2 2x0,

∴-8+2 2x0=4,

∴x0=3 2.

10.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2(位移:m;时间:s).

(1)求此物体的初速度.

(2)求此物体在 t=2 时的瞬时速度.

(3)求 t=0 到 t=2 时的平均速度.

解:(1)初速度

v0=li Δ

m
t→0

s

Δ t -s Δt

=li m Δ t→0

3Δ t- Δ Δt

t

2
=li m (3-Δ t)=3(m/s), Δ t→0

即物体的初速度为 3 m/s.

10

(2)v=li m s Δ t→0

+Δ t -s Δt

=li m Δ t→0

+Δ t - +Δ t 2- Δt



- =li m
Δ t→0

Δ t 2-Δ t Δt

=li m (-Δ t-1)=-1(m/s), Δ t→0
即此物体在 t=2 时的瞬时速度为 1 m/s,方向与初速度相反.

(3) v =s

-s 2-0

=6-24-0=1(m/s),

即 t=0 到 t=2 时的平均速度为 1 m/s.

11


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高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案(含解析)2_2 - 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 1.1.1 变化...

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