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2014高考数学理复习 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集:第17讲 函数与方程思想、数形结合思想


专题限时集训(十七) [第 17 讲 函数与方程思想、数形结合思想] (时间:45 分钟)

1.若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 1 1 2.直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切,则 b 的值为( ) 2 2 A.-2 B.1 1 C.- D.-1 2 x2 y2 3.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2, a b ∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( ) 3 1 A. B. 6 3 1 3 C. D. 2 3 4.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值为 ________. x-y+1≥0, ? ? 5.设 x,y 满足约束条件?x+y-1≥0,则 z=2x-3y 的最小值是( ? ?x≤3,

)

A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 6.函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 △POF 的面积为( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4

2,则

8.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数 f′(x)的图像如图 X17-1 a+2 所示.若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则 的取值范围是( ) b+2

图 X17-1 1 A. ,2 B.(-∞,1) 3
1

1 C.(-1,0) D. ,3 2 9.已知函数 f(x)=3x+sin x-2cos x 的图像在点 A(x0,f(x0))处的切线斜率为 3,则 tan x0 的值是________. 1 1 10.若曲线 y=x- 在点 m,m- 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18,则 m= 2 2 ________. 2-sin x 11.函数 f(x)= 的值域是________. 3-cos x 12.已知 x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,则 cos(x+2y)=________. 13.等差数列{an}中,a3=3,a1+a4=5. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an?an+1

14.如图 X17-2 所示,在直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重 π π π 合,终边交单位圆于点 A,且α ∈ , .将角 α 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 6 2 3 B.记 A(x1,y1),B(x2,y2). 1 (1)若 x1= ,求 x2; 3 (2)分别过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C,D.记△AOC 的面积为 S1,△BOD 的面积 为 S2.若 S1=2S2,求角 α 的值.

图 X17-2

15.已知函数 f(x)=ln x,a 是大于 0 的实数. a-1 (1)若 f(x)≤ax+ +1-2a 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; x 3 (2)设 F(x)=f(x)+ax2-2x,若函数 F(x)有两个极值点,证明 F(x)的极小值小于- . 2

2

专题限时集训(十七) 1.D [解析] i(x+yi)=-y+xi=3+4i,根据两复数相等的充要条件得 x=4,y=-3.故 |x+yi|= (-3)2+42=5. 1 1 1 1 1 1 2.D [解析] 由 y=- x+ln x 得 y′=- + ,由 y′=- + = ,得 x=1,把 x=1 代 2 2 x 2 x 2 1 1 1 1 ? 入曲线方程 y=- x+ln x 得 y=- , 所以切点坐标为? ?1,-2?,代入直线方程 y=2x+b 得 b 2 2 =-1. 2a 3 3 c 3.D [解析] 设|PF2|=x, 则|PF1|=2x,由椭圆定义得 3x=2a,结合图形知, = ? = 2c 3 a 3 ,故选 D. 3 1 1 4. 2 [解析] y′=2x- ,令 y′=1,得方程 2x2-x-1=0,解得 x=- (舍)或 x=1,故与 x 2 直线 y=x-2 平行的曲线 y=x2-ln x 的切线的切点坐标为(1,1),该点到直线 y=x-2 的距 离 d= 2即为所求. 5.B [解析] 画出可行域如图中△ABC,易得 A(3,-2),B(3,4),C(0,1),作出直线 2 y= x, 平移易知直线过 B 点时在 y 轴上的截距最大, 此时 z 最小. 即 zmin=2?3-3?4=-6, 3 故选 B.

6.C [解析] 方法一:作出函数 f(x)=ln x,g(x)=x2-4x+4 的图像如图所示. 可知其交点个数为 2,选 C. 方法二:(数值法) x f(x)=ln x g(x)=x2-4x+4 可知它们有 2 个交点,选 C. 1 0 1 2 ln 2(>0) 0 4 ln 4(<4) 4

7.C [解析] 设 P(x0,y0),根据抛物线定义得|PF|=x0+ 2,所以 x0=3 2,代入抛物 1 1 线方程得 y2=24,解得|y|=2 6,所以△POF 的面积等于 ?|OF|?|y|= ? 2?2 6=2 3. 2 2 8. D [解析] 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数, f(-4)=-1, 所以 f(4)=1, 又因为 f′(x)≥0

3

a>0, ? ? 恒成立,所以 f(x)在 R 上单调递增,若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则?b>0, 把 b 看作 ? ?a+2b<4, a >0 , ? ? a+2 横坐标,a 看作纵坐标,画出线性约束条件?b>0, 的可行域(图略), 的几何意义为过点 b+2 ? ?a+2b<4 a+2 (-2,-2)和(b,a)的直线的斜率,由可行域知,当(b,a)为点(2,0)时, 取最小值,其最 b+2 0+2 1 a+2 4+2 a+2 小值为 = ;当(b,a)为点(0,4)时, 取最大值,其最大值为 =3.所以 的取值 2+2 2 b+2 0+2 b+2 1 ? 范围是? ?2,3?. 1 9.- [解析] f′(x)=3+cos x+2sin x,根据已知 3+cos x0+2sin x0=3,由此可得 tan x0 2 1 =- . 2 1 1 3 1 3 10.64 [解析] 由题意知 m>0,因为 y=x- ,所以 y′=- x- ,所以 y′|x=m=- m- , 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 3 1 3 1 所以切线方程为 y-m- =- m- (x-m),即 y=- m- x+ m- ,令 x=0 得 y= m- ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 令 y=0 得 x=3m,因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18,所以 ?3m? m- =18, 2 2 2 解得 m=64. ?3- 3 3+ 3? [解析] 函数 f(x)的几何意义是指坐标平面上定点 A(3 , 2)与动点 11. ? ? ? 4 , 4 ? M(cos x,sin x)连线的斜率,而动点 M 的两坐标的平方和为 1,动点 M 是坐标平面内单位圆上 的点组成的,问题等价于求定点 A 和单位圆上的动点连线斜率的取值范围.如图所示,函数 f(x)的值域的两个端点,就是过点 A 的单位圆的两条切线 AM,AN 的斜率,设切线方程为 y-2 |-3k+2| =k(x-3),即 kx-y-3k+2=0,圆心到直线的距离为 ,这个距离等于圆的半径,即 1+k2 |-3k+2| 3± 3 ?3- 3 3+ 3?. ,故所求的函数值域为? ? 2 =1,解得 k= 4 ? 4 , 4 ? 1+k

12 . 1 [ 解 析 ] 构 造 函 数 f(t) = t3 + sin t - 2a , 则 f′(t) = 3t2 + cos t , 当 π π π 3 t∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z)时,f′(t)>0,当 t∈?2kπ + ,2kπ + π ?(k∈Z)时,3t2>1, 2 2? 2 2 ? ? ? cos t≥-1,此时 f′(t)>0,故函数 f(t)是 R 上的增函数.根据题意 f(x)=f(-2y),故 x=-2y, 所以 cos(x+2y)=1. 13.解:(1)设数列{an}的公差为 d, ? ? ?a1+2d=3, ?a1=1, 由? 解得? ?a1+(a1+3d)=5, ?d=1. ? ? 所以 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)· 1=n. 1 1 1 (2)因为 an=n,所以 an+1=n+1,故 bn= = - , n(n+1) n n+1

4

1? ?1 1? ?1 1? 1 n ?1- 1 ? 所以 Sn=? ?1-2?+?2-3?+?3-4?+…+?n n+1?=1-n+1=n+1. π 14.解:(1)由三角函数定义,得 x1=cos α ,x2=cos?α + ?. 3? ? π π 1 2 2 因为 α∈? , ?,cos α = ,所以 sin α = 1-cos2α = . 3 3 ?6 2? 1-2 6 π 1 3 所以 x2=cos?α+ ?= cos α - sin α = . 2 6 3? 2 ? π (2)依题意得 y1=sin α ,y2=sin?α + ?. 3? ? 1 1 1 所以 S1= x1y1= cos α ?sin α = sin 2α , 2 2 4 π π 2π 1 1 1 S2= |x2|y2= ?-cos?α + ???sin?α + ?=- sin?2α + ?. 2 2? 4 ? 3 ?? 3? 3 ? ? ? 2 π 依题意得 sin 2α =-2sin?2α + ?,整理得 cos 2α =0. 3 ? ? π π π π π 因为 <α < ,所以 <2α <π ,所以 2α= ,即 α= . 6 2 3 2 4 a-1 15.解:(1)设 g(x)=ax+ +1-2a-ln x,x∈[1,+∞), x 则 g(1)=0, 1-a? a(x-1)?x- a ? a-1 1 ax2-x-(a-1) ? g′(x)=a- 2 - = = . x x x2 x2 1-a 1-a 1 当 0<a< 时, >1,若 1<x< ,则 g′(x)<0,g(x)单调递减, 2 a a 此时 g(x)<g(1)=0,不符合题意. 1-a 1 当 a≥ 时, ≤1,若 x>1,则 g′(x)>0,g(x)单调递增, 2 a a-1 则 g(x)>g(1)=0,即 f(x)≤ax+ +1-2a 在[1,+∞)上恒成立. x 1 ? 综上,a 的取值范围是? ?2,+∞?. (2)证明:由题意 F(x)=ln x+ax2-2x, 2ax2-2x+1 1 F′(x)= +2ax-2= , x x 因为函数 F(x)有两极值点,所以 2ax2-2x+1=0 的 Δ>0, 1 则 0<a< . 2 不妨设 2ax2-2x+1=0 的两根为 x1,x2 且 0<x1<x2,则 F(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递 增,在(x1,x2)上单调递减,x2 是 F(x)的极小值点, x1+x2? 3 3 所以当 F? ? 2 ?<-2时,必有 F(x2)<-2. x1+x2 1 因为 = , 2 2a 1? x + x 1 3 1 1 2? 所以 F? =F? =ln - ? , 2 a ? ? 2 a 2 2a 2 ? ? x1+x2? 3 1 3 1 3 要证 F? ? 2 ?<-2,即证 ln2a-2?2a+2<0. 1 3 3 1 3 令 =t(t>1),设 G(t)=ln t- t+ ,则 G′(t)= - <0, 2a 2 2 t 2 所以 t>1 时,G(t)单调递减,又因为 G(1)=0,
5

所以 G(t)<0,即 F?

x1+x2? 3 3 ? 2 ?<-2,也即 F(x)的极小值小于-2.

6


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