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【金版学案】2015届高考数学总复习 第六章 第五节合情推理与演绎推理课时精练 理


第五节 含绝对值的不等式 1.若关于 x 的不等式|x-a|<1 的解集为(1,3),则实数 a 的值为(
A.2 答案:A 2.已知 p:|x|≤2,q:0≤x≤2,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:B 3.(2013·株洲模拟)不等式(1+x)(1-|x|)>0 的解集是( A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0 且 x≠1} C.{x|-1<x<1} D.{x|x<1 且 x≠-1} ) ) B.1 C.-1 D.-2

)

解析:当 x≥0 时,(x+1)(x-1)<0,∴0≤x<1.当 x<0 时,(x+1) >0,∴x≠-1,综 上可知,选 D. 答案:D 4.(2013·佛山一模)已知集合 M={x||x-4|+|x-1|<5},N={x|a<x<6},且 M∩N =(2,b),则 a+b=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:由集合 M 中的不等式,解得:0<x<5,所以 M={x|0<x<5},因为 N={x|a<x <6},且 M∩N=(2,b),所以 a=2,b=5,于是 a+b=2+5=7.故选 B. 答案:B 5.已知 a∈R,则“a<2”是“|x-2|+|x|>a 恒成立”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

2

解析:∵|x-2|+|x|≥|(x-2)-x|=2,∴当 a<2 时,不等式成立,反之也成立.故 选 C. 答案:C 6.(2013·广州一模)不等式|x-1|≤x 的解集是________________. 1 解析:当 x≥1 时,x-1≤x,即-1≤0;当 x<1 时,1-x≤x,x≥ ;所以原不等式解 2 1 ? ? 集是? ,+∞?. ?2 ? 1 ? ? 答案:? ,+∞? ?2 ? 7.(2013·汕尾二模)不等式 2|x|+|x-1|<4 的解集为________________.
1

解析:当 x<0 时,不等式 2|x|+|x-1|<4 转化为:-2x+1-x<4,解得-1<x<0, 当 0≤x≤1 时,不等式 2|x|+|x-1|<4 转化为:2x+1-x<4,解得 0≤x≤1, 5 当 x>1 时,不等式 2|x|+|x-1|<4 转化为:2x+x-1<4,解得 1<x< , 3 5 ? ? 综上不等式的解集为:?-1, ?. 3? ? 5? ? 答案:?-1, ? 3? ? |2a+b|+|2a-b| 8.已知 a 和 b 是任意非零实数,则 的最小值为________. |a| 解析:∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|对于任意的 a,b 恒成立,∴最小 值为 4. 答案:4 9. 若不等式|x-a|+|x-2|≥1 对任意实数 x 均成立, 则实数 a 的取值范围为________. 解析:由|x-a|+|x-2|≥|(x-a)-(x-2)|=|a-2|. ∴|a-2|≥1 解之得 a≤1 或 a≥3. 答案:(-∞,1]∪[3,+∞) 10 .若关于 x 的不等式|a|≥|x + 1| +|x- 2|存在实数解,则实数 a 的取值范围是 ________________. 解析: 因为|x+1|+|x-2|≥|x+1-(x-2)|=3 依题意有|a|≥3, 解得 a≤-3 或 a≥3. 答案:(-∞,-3]∪[3,+∞) 11.不等式 1 ≤ 1 的解集是________.

x2-x |x|

解析:当 x -x<0,即 0<x<1 时,不等式成立; 2 2 当 x -x>0,即 x<0 或 x>1 时,x -x≥|x|, 2 2 ∴x-x ≤x≤x -x. 解得 x≥2 或 x≤0, ∴x≥2 或 x<0. 综上可知,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,1)∪[2,+∞). 1 12. (2013·天津模拟)已知集合 A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}, B={x∈R|x=4t+ -

2

t

6,t∈(0,+∞)},则集合 A∩B=________. 解析:|x+3|+|x-4|≤9, 当 x<-3 时,-x-3-(x-4)≤9,即-4≤x<-3; 当-3≤x≤4 时,x+3-(x-4)=7≤9 恒成立; 当 x>4 时,x+3+x-4≤9,即 4<x≤5. 综上所述,A={x|-4≤x≤5}. 1 又∵x=4t+ -6,t∈(0,+∞),

t

2

1 1 4t· -6=-2,当 t= 时取等号. t 2 ∴B={x|x≥-2},∴A∩B={x|-2≤x≤5}. 答案:{x|-2≤x≤5} ∴x≥2 13.设函数 f(x)=|2x-1|,x∈R. (1)不等式 f(x)≤a 的解集为{x|0≤x≤1},求 a 的值; 1 (2)若 g(x)= 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f(x)+f(x+1)+m 1-a 1+a ≤x≤ . 2 2 ∵不等式 f(x)≤a 的解集为{x|0≤x≤1}, .解析:(1)由 f(x)≤a,得 1-a ? ? 2 = 0, ∴? 1+a ? ? 2 =1. (2)由 g(x)=

解得 a=1.

1

f(x)+f(x+1)+m |2x-1|+|2x+1|+m 对任意实数 x,有|2x-1|+|2x+1|+m≠0 恒成立. ∵|2x-1|+|2x+1|≥|(2x-1)-(2x+1)|=2, ∴m>-2,即实数 m 的取值范围为(-2,+∞).



1

的定义域为 R 知,

14.已知 f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|. -2x,x<-1, ? ? (1)解析:f(x)=|x+1|+|x-1|=?2,-1≤x≤1, ? ?2x,x>1. 当 x<-1 时,由-2x<4,得-2<x<-1; 当-1≤x≤1 时,f(x)=2<4 恒成立; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2, ∴M={x|-2<x<2}. (2)证明:当 a,b∈M 时,-2<a<2,-2<b<2, 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵4(a+b) -(4+ab) =4(a +2ab+b )-(16+8ab+a b )=(a -4)(4-b )<0, 2 2 ∴4(a+b) <(4+ab) . ∴2|a+b|<|4+ab|.

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