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高考数学一轮复习 2.12变化率与导数的概念、导数的运算练习 理

第十二节 题号 答案 1 2 变化率与导数的概念、导数的运算 3 4 5 6 1.设 f(x)为可导函数,且满足 limx→0 点(1,f(1))处的切线斜率为( A.2 B.-1 C.1 D.-2 解析:limx→0 -1, ) f(1)-f(1-2x) =-1,则曲线 y=f(x)在 2x f(1)-f(1-2x) f(1-2x)-f(1) =limx→0 =-1,即 y′|x=1= 2x -2x 则 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1.故选 B. 答案:B 2.(2013·淄博模拟)已知函数 f(x)=ax +3x-2 在点(2,f(2))处的切线斜率为 7,则 实数 a 的值为( A.-1 B.1 C.±1 D.-2 解析:f′(x)=2ax+3,依题意 f′(2)=7,即 4a+3=7,得 a=1,故选 B. 答案:B 1 3 2 3.已知物体的运动方程是 s= t -6t +32t(t 表示时间,s 表示位移),则瞬时速度为 3 0 的时刻是( ) ) 2 A.2 秒或 4 秒 B.2 秒或 16 秒 C.8 秒或 16 秒 D.4 秒或 8 秒 解析:瞬时速度 v=s′=t -12t+32,令 v=0 可得 t=4 或 t=8.故选 D. 答案:D 4.(2013·日照重点中学诊断)若曲线 f(x)= x、g(x)=x 在点 P(1,1)处的切线分别 为 l1、l2,且 l1⊥l2,则 a 的值为( A.-2 B.2 C. 1 1 D.- 2 2 ) a 2 1 1 a-1 解析:由题意可知,f′(x)= ,g′(x)=ax , 2 x 1 ∵l1、l2 过点 P(1,1),∴kl1=f′(1)= ,kl2=g′(1)=a. 2 1 又∵l1⊥l2,∴kl1·kl2= a=-1,∴a=-2.故选 A. 2 答案:A 1 2 5.已知函数 f(x)= x -aln x(a∈R),若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 y 2 =x+b,则 a-b 的值是( ) A.2-2ln 2 B.2+2ln 2 C.-2-ln 2 D.-2+ln 2 a 解析:因为 f′(x)=x- (x>0),又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b, x 2-aln 2=2+b, ? ? 所以? a 解得 a=2,b=-2ln 2. 2- =1, ? ? 2 所以 a-b=2+2ln 2.故选 B. 答案:B 6.若曲线 y=x 在点(a,a )(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 2,则 a 等于( ) 2 2 A.2 B.4 C. 2 3 D. 4 2 2 解析:∵点(a,a )在曲线 y=x 上,y′=2x, ∴切线的斜率为 k=y′|x=a=2a,切线方程为 y-a =2a(x-a).令 x=0,得 y1=-a , a 1 a 令 y=0,得 x1= ,由面积关系得 |x1||y1|=2,即 =2,解得 a=2.故选 A. 2 2 4 答案:A 7.(2013·江西卷)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,则 f′(1)= ________. 解析:设 e =t,则 x=ln t(t>0),∴f(t)=ln t+t 1 ∴f′(t)= +1,∴f′(1)=2. t 答案:2 8.在平面直角坐标系中,点 P 在曲线 C:y=x -10x+3 上,且在第二象限内,已知曲 线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为____________. 2 3 x x x 3 2 2 解析:由 y′=3x -10=2? x=±2,又点 P 在第二象限内, ∴x=-2, ∴点 P 的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15) 2 ?π ? ?π ? 9.已知函数 f(x)=f′? ?cos x+sin x,则 f? ?的值为________. ?4? ?4? ?π ? 解析:由题意得 f′(x)=-f′? ?sin x+cos x? ?4? π ?π ? ?π ? π f′? ?=-f′? ?sin +cos , 4 4 ?4? ?4? ?π ? ∴f′? ?= ?4? = 2-1. 2 1+ 2 2 2 ∴f(x)=( 2-1)cos x+sin x. π π ?π ? ∴f? ?=( 2-1)cos +sin =1. 4 4 ?4? 答案:1 10.已知曲线 y=x +x-2 在 点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第 三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解析:(1)由 y=x +x-2,得 y′=3x +1, 由已知令 3x +1=4,解之得 x=±1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1, l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4). 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. b 11.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12= x 2 3 2 3 3 0. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面 积为定值,并求此定值. 7 1 解析:(1)解析:方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3,当 x=2 时,y= ;又 f′(x) 4 2 b 1 2a- = , ? ? 2 2 ?a=1, ? b 3 =a+ ,于是? 解得? 故 f(x)=x- . x x ? b 7 ?b=3, a+ = , ? ? 4 4 2 3

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