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系列一 2017届 第3讲 函数的单调性与最值 课件


第二章

基本初等函数、导数及其应用

第3讲

函数的单调性与最值

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内 某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 定 义 当 x1<x2 时,都有 f ( x )< f ( x ) 1 2 当 x1<x2 时,都有____________, f(x )>f(x ) ____________ 1 2 ,那么 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

增函数

减函数

图象 描述 自左向右看图象是 上升的 ________ 自左向右看图象是 下降的 ________

(2)单调区间的定义
增函数 或________ 减函数 ,那么 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是________

就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, ________ 区间D 叫做函数 y=f(x)的单调区间.
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

2.函数的最值 前 提 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M ; ________ (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ________ M 为最大值 (1)对于任意 x∈I,都 f(x)≥M ; 有________ (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ________ M 为最小值

条 件

结 论

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

注意:辨明两个易误点 (1)区分两个概念: “函数的单调区间”和“函数在某区间上 单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是 前者“最大”区间的子集. (2)单调区间只能用区间表示, 不能用集合或不等式表示; 如 有多个单调区间应分别写出,一般不能用符号“∪”连接, 1 也不能用“或”连接.例如函数 f(x)= 在区间(-1,0)上是 x 减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不 是减函数.
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.(2014· 高考北京卷)下列函数中,定义域是 R 且为增函数 的是( B ) A.y=e
-x

B.y=x3 D.y=|x|

C.y=ln x
在 (-∞,+∞ )上是减函数,则 ( D ) 1 A. k> 2 1 C. k>- 2

2. (必修 1 P39 习题 1.3A 组 T3 改编 )若函数 y= (2k+ 1)x+ b

1 B. k< 2 1 D. k<- 2
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

3.(2016· 长春质量检测 )已知函数 f(x)= |x+ a|在(-∞,- 1) 上是单调函数,则 a 的取值范围是 ( A ) A. (-∞, 1] C. [- 1,+∞ ) B. (-∞,- 1] D. [1,+∞ )

解析: 因为函数 f(x)在(-∞, -a)上是单调函数, 所以- a≥ - 1,解得 a≤ 1.故选 A.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

4. (必修 1 P39 习题 1.3B 组 T1 改编)函数 f(x)= x - 2x, x

2

[1,4] , f(x)max = ∈ [ - 2 , 4] 的 单 调 递 增 区 间 为 ________ 8 __________ .
解析: 函数 f(x)的对称轴为 x= 1, 单调增区间为[1, 4], f(x)max = f(- 2)= f(4)= 8.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

2 5. (必修 1 P31 例 4 改编 )已知函数 f(x)= , x∈[2, 6], x- 1 2 2 则 f(x)的最大值为 ________ ,最小值为 __________ . 5
2 解析: 可判断函数 f(x)= 在 [2, 6]上为减函数, 所以 f(x)max x- 1 2 = f(2)= 2, f(x)min=f(6)= . 5

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

考点一

函数单调性的证明与判断

判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函 数,不同时为减函数; (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象 易作出,可由图象的直观性判断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

k 【例 1】 试讨论函数 f(x)=x+ (k>0)的单调性。 x
【解】 解法一:由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+
? k? ? k? ∞)。 在(0, +∞)内任取 x1, x2, 令 x1<x2, 那么 f(x2)-f(x1)=?x2+x ?-?x1+x ? ? ? 2? 1?

x1x2-k ?1 1? =(x2-x1)+k?x -x ?=(x2-x1) 。 x1x2 ? 2 1? 因为 0<x1<x2,所以 x2-x1>0,x1x2>0。 故当 x1,x2∈( k,+∞)时,f(x1)<f(x2), 即函数在( k,+∞)上单调递增。
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

当 x1,x2∈(0, k)时,f(x1)>f(x2), 即函数在(0, k)上单调递减。 综上,函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0) 和(0, k)上单调递减。

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

k 解法二:f′(x)=1- 2。 x 令 f′(x)>0,得 x2>k,即 x∈(-∞,- k)或 x∈( k,+∞),故函数的 单调增区间为(-∞,- k)和( k,+∞)。令 f′(x)<0,得 x2<k,即 x∈(- k,0)或 x∈(0, k),故函数的单调减区间为(- k,0)和(0, k)。 故函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0)和(0, k)上单调递减。

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

ax 变式训练 1 试讨论函数 f(x)= 2 ,x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0)。 x -1
解 解法一:(定义法)

任取-1<x1<x2<1, ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1-1 x2-1 a?x2-x1??x1x2+1? = , 2 2 ?x1-1??x2-1? ∵-1<x1<x2<1, ∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

2 x2 1-1<0,x2-1<0,|x1x2|<1,

即-1<x1x2<1。 ∴x1x2+1>0。 ∴ ?x2-x1??x1x2+1?
2 ?x2 1-1??x2-1?

>0,

因此,当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数。
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

解法二:(导数法) a?x2-1?-2ax2 -a?x2+1? f′(x)= = 2 2 2 ?x -1? ? x -1 ? 2 当 a>0 时,f′(x)<0; 当 a<0 时,f′(x)>0。 ∴当 a>0 时,f(x)在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x)在(-1,1)上为增函数。
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

考点二 间

求函数的单调区

确定函数的单调区间的方法 (1)定义法:先求定义域,再利用单调性定义来求. (2)图象法: 由图象确定函数的单调区间需注意两点: 一是单 调区间必须是函数定义域的子集; 二是图象不连续的单调区 间要分开写,用“和”或“, ”连接,一般不能用“∪”连 接. (3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

1 2 (1)函数 y= x -ln x 的单调递减区间为( B ) 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞)

(2)求函数 f(x)=-x2+2|x|+1 的单调区间.

[解](1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞).
2 x -1 1 令 y′=x- = ≤0,即 x2≤1, x x

即-1≤x≤1.故当 x∈(0,1]时,函数单调递减.

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第二章
2 ? - x + 2x+ 1, x≥ 0, ? (2)f(x)=? ?- x2- 2x+ 1, x<0, ?

基本初等函数、导数及其应用

? ?-( x- 1) + 2, x≥ 0, =? ?-( x+ 1) 2+ 2, x<0. ?

2

画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为 (-∞,- 1] 和 [0, 1],单调递减区间为 [- 1, 0]和 [1,+∞ ).
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

若将本例 (2)中函数变为 f(x)= |- x2+ 2x+ 1|, 如何求解?

解:函数 y= |- x2+ 2x+ 1|的图象如图所示.由图象可知, 函数 y= |- x2 + 2x+ 1|的单调递增区间为 (1- 2, 1)和 (1+ 2,+∞ );单调递减区间为 (-∞, 1- 2)和 (1, 1+ 2).
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第二章
2

基本初等函数、导数及其应用

2.作出函数 y= |x - 1|+ x 的图象,并根据函数 图象写出函数的单调区间.
2 1 5 2 ? ? 解:当 x≥1 或 x≤-1 时,y= x + x- 1=?x+ ? - ;当- 2 4 1 ?2 5 2 ? 1<x<1 时, y=- x + x+ 1=-?x- ? + . 2 4

画出函数图象如图所示:由函数图象可知,函数的减区间为 1 1? ? ? ? (-∞,-1],? , 1?,函数的增区间为?- 1, ?,[1,+∞ ). 2 2
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

考点三

函数单调性的应用(高频考点)

函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成 为近几年高考命题的一个新的增长点,常以选择、填空题的 形式出现, 高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角 度: (1)求函数的值域或最值; (2)比较两个函数值或两个自变量的大小; (3)解函数不等式; (4)求参数的值或取值范围.

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

利用函数单调性求解四种题型 (1)比较大小: 比较函数值的大小, 应将自变量转化到同一个 单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式: 在求解与抽象函数有关的不等式时, 往往是利 用函数的单调性将 “f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式 求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数: ①视参数为已知数, 依据函数的图象 或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较 求参数;②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函 数在此区间的任意子集上也是单调的. (4)利用单调性求最值: 应先确定函数的单调性, 然后再由单 调性求出最值.
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

1 (1)(2015· 高考四川卷改编 )如果函数 f(x)= (m- 2 1 2 ? 2)x + (n- 8)x+ 1(m≥ 2, n≥ 0)在区间? , 2? ?上单调递减, 2 那么 mn 的最大值为 ( B ) A. 16 C. 25 B. 18 81 D. 2

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

(2)(2016· 昆明模拟 )已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后 关于 y 轴对称,当 x2 >x1 >1 时,[f(x2 )- f(x1 )]· (x2- x1 )<0 恒成 1? ? 立,设 a=f?- ?, b= f(2), c=f(3),则 a, b, c 的大小关 2 系为 ( D ) A. c>a>b C. a>c>b B. c>b>a D. b>a>c

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

1? ? ? ??a- ?x, x≥ 1, 4 (3)(2016· 泉州质量检测 )已知函数 f(x)=? 在 ? ?ax , x<1 R 上为减函数,则实数 a 的取值范围是( 1? ? 0 , A. (0, 1) B.? 4? 1? 1 ? ? C. ?-∞, ? D.? , 1? ? 4 4

B)

x2 + a (4)已知函数 f(x)= (a>0)在 (2,+∞)上递增,则实数 a x (0,4] . 的取值范围为 ________
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

1 ? ? [解析](1)①当 m=2 时,因为 f(x)在?2,2?上单调递减,所 以 0≤n<8,mn=2n<16. 1 ? ②当 m>2 时,抛物线开口向上,因为 f(x)在?2,2? ?上单调递 n-8 减,所以- ≥2,即 2m+n≤12.又 2m+n≥2 2mn, m-2 所以 2 2mn≤12,所以 mn≤18.当且仅当 2m=n=6,即 m =3,n=6 时取等号,所以 mn 的最大值为 18. 综上所述,mn 的最大值为 18,故选 B.
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第二章

基本初等函数、导数及其应用

(2)根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x= 1 对称,且在 1 ? ?5 ? 5 ? (1,+∞ )上是减函数.因为 a= f?- ?= f? ?,且 2< <3,所 2 2 2 以 b>a>c. (3)由于函数 f(x)为 R 上的减函数, 1 a- <0, 4 1 所以满足 0<a<1, 解得 0<a< . 4 1 a≥ a- . 4

? ? ? ? ?

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

(4)任取 2<x1 <x2,
2 x2 + a x 1 2+ a 由 已知条件 ,得 f(x1 )- f(x2 )= - = (x1 - x2) + x1 x2

x2 - x1 x1 x2- a a× = (x1 - x2 )× <0 恒成立, x1 x2 x1 x2 即当 2<x1 <x2 时, x1 x2 >a 恒成立. 又 x1 x2 >4,则 0<a≤ 4. 即实数 a 的取值范围是(0, 4].

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

3.(1)已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 m <n, 1 ?? ? ? > 则 f(m )________f(n);若 f?? ?? <f(1),则实数 x 的取值范围 x

(-1,0)∪(0,1) 是 ____________________ .
1 1 1 ? (2)已知函数 f(x)= - (a> 0,x> 0), 若 f(x)在? , 2? 上的值 ? a x 2 2 1 ? 5 域为? , 2? ,则 a= __________________ . ? 2

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基本初等函数、导数及其应用

解析: (1)由题意知 f(m)>f(n); ?1 ?>1,即 |x|<1,且 x≠ 0. ?x ? 故- 1<x<1 且 x≠ 0. 即实数 x 的取值范围是(- 1, 0)∪ (0, 1). 1 1 (2)由反比例函数的性质知函数 f(x)= - (a> 0, x> 0)在 a x ?1, 2?上单调递增, ?2 ? 1 1 1 - 2= , ? ?=1, ?f ? a 2 ? ? 2 2 所以? 即 1 1 ? ?f( 2)= 2, - = 2, a 2 2 解得 a= . 5

? ? ?

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

方法思想——数形结合思想求函数最值
1 已 知 函 数 f1 (x) = |x - 1| , f2 (x) = x + 1 , g(x) = 3 f1( x)+f2( x) |f1( x)-f2( x) | + ,若 a, b∈[- 1, 5], 2 2 g( x1)- g( x2) 且当 x1, x2∈ [a, b]时, >0 恒成立,则 b x1 - x2 - a 的最大值为 ( D ) A. 2 C. 4 B. 3 D. 5
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基本初等函数、导数及其应用

[解析]

当 f1 (x)≥f2 (x)时,

f1( x)+f2( x) f1( x)-f2( x) g(x)= + = f1 (x); 2 2 当 f1 (x)<f2(x)时, f1( x)+f2( x) f2( x)-f1( x) g(x)= + = f2 (x). 2 2
? ?f1( x),f1( x)≥ f2( x), 综上, g(x)=? ? ?f2( x),f1( x) <f2( x) .

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基本初等函数、导数及其应用

即 g(x)是 f1(x),f2(x)两者中的较大者.在同一直角坐标系中 分别画出函数 f1 (x)与 f2 (x)的图象, 则 g(x)的图象如图中实线 部分所示.由图可知 g(x)在[0,+∞ )上单调递增,又 g(x) 在 [a,b]上单调递增,故 a,b∈[0,5],则 b-a 的最大值为 5.
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基本初等函数、导数及其应用

本题利用了数形结合的思想,解答本题首先 利用分类讨论思想写出函数 g(x)的表达式,然后再作出 g(x) 的图象,利用图象求出 b- a 的最大值.
用 min{ a, b, c}表示 a, b, c 三个数中的最小 值,则函数 f(x)=min{4x+ 1, x+ 4,- x+ 8} 的最大值是 6 __________.

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基本初等函数、导数及其应用

解析:在同一直角坐标系中分别作出函数 y= 4x+ 1, y= x + 4, y=- x+ 8 的图象后,取位于下方的部分得函数 f(x) = min{4x+ 1,x+ 4,- x+ 8}的图象,如图所示,不难看出 函数 f(x)在 x= 2 时取得最大值 6.

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基本初等函数、导数及其应用

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