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信号分析(华中科技大学)第四章拉普拉斯变换连续时间系统的s域分析_图文

第三章 连续时间信号的正交分解 第四章 拉普拉斯变换

本章要点
F F F F F F 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛区 常用函数的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法
1

拉普拉斯变换
? 傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的, 但在系统分析方面有不足之处:

– 对时间函数限制严, ? ?? | f (t ) | dt ? ? 是充分条件。不 少函数不能直接按定义求

?

F ( j? ) ? ?

? ??

f ( t )e

? j? t

dt

如增长的指数函数 eat, a>0,傅里叶变换就不存在。 – 不能解决零输入响应问题,只能解决零状态响应。

– 求傅里叶反变换也比较麻烦。

2

拉普拉斯变换 ? 利用拉普拉斯变换进行系统分析有几个优 点,其中包括: – 可以只用代数运算就可以求解线性非时 变系统的微分方程。 – 可以同时求得系统的全响应,即强迫响 应和自由响应;或零输入响应和零状态 响应。 – 可以建立网络的S域模型,对动态网络进 行拉普拉斯变换分析。

3

拉普拉斯变换

? 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 用 e-?t f (t)来保证傅里叶积分收敛
F [e
?? t

f (t )] ? ?

? ??

f (t ) e

?? t ? j? t

e

dt ? ?

? ??

f (t ) e ?(? ? j? ) t dt

令 s=?+j? 称为复频率

? — —衰减因子 ? — —振荡因子

?

F( s ) ? ?

? ??

f ( t )e ? s t dt

称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。

f (t ) ?

2? j ? ? ? j?

1

? ? j?

F ( s ) e s t ds

称为拉普拉斯反变换,也称原函数。
4

拉普拉斯变换 ? 单边拉普拉斯变换
对于有始信号, F ( s ) ? ?
? 0?

f (t ) e ? s t dt



F(s) = L [ f (t)]

积分下线定为0 ?,是为了包括? ( t )。
称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。
f ( t )拉氏变换存在的充分条件:f ( t )在t ? 0时分段连续, 且满足下式?
? 0?

f ( t )e ?? t dt ? ?

f (t ) ?

2? j ? ? ? j?

1

? ? j?

F ( s ) e s t ds

t ?0



f (t) = L -1[F(s)]

称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记:f (t)?F(s)
5

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
双边拉普拉斯变换 s ? ? ? j? f (t )存在于整个区间 ?? ? t ? ?

傅里叶变换 s ? j? f ( t )存在于整个区间 ?? ? t ? ?

拉普拉斯变换 s ? ? ? j? f (t )为因果信号 f (t ) ? 0, t ? 0

傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊 情况; 双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。
6

拉普拉斯变换的收敛区
收敛区:使f ( t )e ?? t 满足绝对可积条件的? 值的范围称为收敛区,在收 敛区内,f ( t )拉氏变换存在,在收敛区外,f ( t )拉氏变换不存在。

? 单边拉普拉斯变换的收敛域
F (s) ? ?
? 0?

j?

f (t ) e ? s t dt
?? t

若存在常数?1,使

lim f (t ) e
t ??

?0

Re[s]>?1

0

?1

收 敛 域

?

故收敛域为 Re[s]= ?>?1

? 双边拉普拉斯变换的收敛域 ?
若存在两个常数?1和?2,使得 lim f (t ) e ?? t ? 0 Re[s]>?1 t ?? 故收敛域为 ?1<Re[s]<?2
t ? ??

F (s) ? ?

j?

??

f (t ) e ? s t dt

0

?1

收 敛 域

?2 ?

lim f (t ) e ?? t ? 0 Re[s]<?2
7

拉普拉斯变换的收敛区

例 1
解:

求 f (t)= e -a t ?(t)的拉普拉斯变换及其收敛域, 其中: a >0

F( s ) ? ?

? 0

e

?( s?a ) t

dt ? ?

? 0

e

?( ? ?a ) t

e

? j? t

1 dt ? s?a

为保证收敛,有 a+?>0,故收敛域为 ?>-a
j?

?a

0

收 敛 域

?

8

拉普拉斯变换的收敛区

例 2
解:

求 f (t)= -e -a t ?(-t)的拉普拉斯变换及其收敛域, 其 中:a >0

F ( s ) ? ??

0 ??

e

?( s?a ) t

dt ? ? ?

0 ??

e

?( ? ?a ) t

e

? j? t

1 dt ? s?a

为保证收敛,有 a+?<0,故收敛域为 ?<-a
j?

收 敛 域

?a 0

?

9

拉普拉斯变换的收敛区

例 3
解:

求双边信号 f (t)= -e – t ?(-t)+ e -2t ?(t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。

Fd ( s ) ? ? ?

0 ??

e e dt ? ?
? t ?s t

? 0

1 1 e e dt ? ? s?1 s? 2
?2 t ? s t

第一项的收敛域 ? <-1, 第二项的收敛域 ? >-2, 为保证收敛,取公共收敛域, 其收敛域为 -2 < ? < -1。
?2

j?

收 敛 域

?1 0

?

10

拉普拉斯变换的收敛区

说明
? f (t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在,故求F(s)时应指 明其收敛域。 ? 在实际存在的右边信号,只要?取得足够大,总是满足绝 对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。所以,单 边拉普拉斯变换一般不说明收敛域。 ? 两个函数的拉普拉斯变换可能一样,但时间函数(原函数) 相差很大。这主要区别在于收敛域。见例1和例2。 ? 如果拉普拉斯变换的收敛域不包括j?轴,那么傅里叶变换 也不收敛。 ? f (t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时,取其公共部分( 重叠部分)为其收敛域。

11

常用函数的拉普拉斯变换

三个基本函数的拉普拉斯变换
? 指数函数 f (t)=es t?(t) s0为复常数。
0

F (s) ? ? e e
0
s0 t

?

s0 t ? s t

dt ? ? e
0

?

? ( s ? s0 ) t

1 dt ? s ? s0

1 即 e ?(t ) ? s ? s0

1 令 s0 = ?? 实数, 则 e ? ( t ) ? s? ?
?? t

令 s0 = ?j? 虚数, 则 e

? j? t

1 ?(t ) ? s ? j?
12

常用函数的拉普拉斯变换

三个基本函数的拉普拉斯变换
?

单位阶跃函数 ?(t)
1 已知 e ? ( t ) ? s ? s0
s0 t

1 令上例中s0=0。则 ? ( t ) ? s
?

单位冲激函数 ?(t)
F (s) ? ?
? 0?

? (t )e ? s t dt ? 1

? ?(t )?1
13

拉普拉斯变换的性质
线性 微分 积分

? k f (t)
i ?1 i i

n

? k .LT [ f (t )]
i ?1 i

n

df (t ) dt

sF( s ) ? f ( 0? )
F ( s ) f ' (0 ? ) ? s s dF ( s ) ? ds

?

t

??

f (? ) d?
tf ( t )

复频域微 分/积分 时移 频移

f(t ) t

?
? at

?

t

F( s )

f ( t ? t0 )? ( t ? t0 )

e ? st 0 F ( s)

f (t )e

F ( s ? a)
14

拉普拉斯变换的性质
尺度变换 初值定理

f (at)
? t ?0

1 ? s? F? ? a ?a?
s ??

lim f ( t ) ? f ( 0 ) ? lim sF ( s ) ?
lim f ( t ) ? f ( ? ) ? lim sF ( s )
t ?? s?0

终值 定理

f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理

F1 (s).F2 (s)
1 F1 ( s) * F2 ( s) 2?j
15

f1 (t ). f 2 (t )

拉普拉斯变换的性质
例 1 余弦函数 f (t)=cos?t· ?(t)
1 j? t 应用线性性质: cos ? t ? (e ? e ? j? t ) 2 1? 1 1 ? s ? cos ? t ? ? ( t ) ? ? ? ? 2 ? 2 ? s ? j? s ? j? ? s ? ? 2

例 2 正弦函数 f (t)=sin?t· ?(t)
应用线性性质:

1 j? t sin ? t ? ( e ? e ? j? t ) 2j

1 ? 1 1 ? ? ? sin ? t ? ? ( t ) ? ? ? ? s2 ? ? 2 2j ? s ? j ? s ? j ? ? ?

例 3 单位斜坡函数 f (t)=
应用频域微分性质

1 ? (t ) ? t?(t),因为: s
2 t ?(t ) ? 3 s
2

dF ( s ) tf ( t ) ? ? ds

1 1 ? t? ( t ) ? ? ( ) ? 2 s s

16

拉普拉斯变换的性质
例 4 指数余弦函数 f (t)= e?t cos?t· ?(t)
? s cos ? t ? ? (t ) ? 2 s ??2
?
?t

应用频移性质:

f ( t )e

? at

? F( s ? a )

s ?? e cos ? t ? ? ( t ) ? ( s ? ? )2 ? ? 2

例 5 门函数(矩形波) f (t)=A[?(t)- ?(t-T)]
f (t )

应用时移性质:

A

f ( t ? t0 )? ( t ? t0 ) ? e
T

? st0

F( s )

0

t

A A ? sT A ? F ( s ) ? ? e ? ( 1 ? e ? sT ) s s s
17

拉普拉斯变换的性质
例 6 任意周期函数
f (t )

f1 (t )

?

0

T

2T

t

0

T

t

设 f1(t)为周期函数的第一周期,则周期函数可表示为:
f (t ) ? f1 (t ) ? f1 (t ? T ) ? f1 (t ? 2T ) ? ?

若 f1(t)?F1(s), 应用时移性质:

f ( t ? t0 )? ( t ? t0 ) ? e ? st0 F( s )
F1 ( s ) ?? ] ? 1 ? e ? sT
18

F ( s ) ? F1 ( s ) ? F1 ( s ) e ? sT ? F1 ( s ) e ?2 sT ?? ? F1 ( s ) [ 1 ? e
? sT

?e

?2 sT

拉普拉斯变换的性质 例 7 周期矩形波 f 1(t)= ?(t)- ?(t-1),T=3
1 ? e?s F1 ( s ) ? , s
f (t )
1

因为

F1 ( s ) F( s ) ? 1 ? e ? sT

??
1 2 3 4

1 ? e? s 1 1 ? e?s ? F( s ) ? ? ? ?3 s s 1? e s ( 1 ? e ?3 s )

0

t

例 8 冲激串
f (t )
(1 )

f 1(t)=?(t)
?
t

F1 ( s ) ? 1,

0

T

2T

1 ? F( s ) ? 1 ? e ? sT
19

拉普拉斯变换的性质
例 9 锯齿波
f (t ) dF ( s ) 方法一:用频域微分性质: tf ( t ) ? ? A ds 1 ? ? (t ) ? ? (t ? T ) ? (1 ? e ? sT ) t s T 0 d ?1 1 1 ? sT A/T A ? sT ? sT ? ? sT ? sT ( 1 ? e ) ? ? ( 1 ? e ) ? T e ? F( s ) ? (1? e )? e 2 ? 2 ds ? s s s ? ? s s 方法二:用时域微分性质: df ( t ) ? SF ( s ) ? f ( 0? ) ? f (0 ? ) ? 0 dt

A f ( t ) ? t [ ? ( t ) ? ? ( t ? T )] T

df ( t ) A ? ? [ ? ( t ) ? ? ( t ? T )] ? A? ( t ? T ) dt T A ? ( 1 ? e ? sT ) ? Ae ? sT ? sF ( s ) Ts A/T A ? sT ? sT ? F( s ) ? ( 1 ? e ) ? e 2 s s

f ?(t )
A T

0

T A? ( t ? T )
20

t

拉普拉斯变换的性质
例 10

f (t ) ? t e

? (t ?2)

? (t ? 1)

dF ( s ) 1 ?s 方法一:因为 ? (t ? 1) ? e 用频域微分性质 tf ( t ) ? ? ds s 1 ? s ?s t? (t ? 1) ? 2 e 应用频移性质 f ( t )e ? at ? F( s ? a ) s 2 ? s ? s ?1 ? e 2 e ? t t? ( t ? 1 ) ? e 2 ( s ?1) 1 方法二: f (t ) ? e ?t ? e ? (t ?1)? (t ? 1) ? e ?t ? (t ) ? s ?1 1 ?s ?( t ?1 ) ? ( t ?1) ? e 应用时移性质: e 应用频域微分性质: s ?1 d 1 ?s 1 1 ?s ?s t ? e ?( t ?1 )? ( t ? 1 ) ? ? ( e )? e ? e 2 ds s ? 1 ( s ?1) s ?1
? F( s ) ? 2 ? s ? s ?1 e 2 ( s ?1)
21

拉普拉斯变换的性质
初值定理和终值定理的应用
? 初值定理的应用条件: – F(s)必须是真分式,若不是真分式,则应用长除法将F(s)化 成一个整式与一个真分式F0(s)之和。 – 函数f (t)初值f (0+)应等于f 0(0+)的初值。

? 终值定理的应用条件: – F(s)的极点必须位于S平面的左半平面; – F(s)在s=0处若有极点,也只能有一阶极点。

t ?0

lim f ( t ) ? f ( 0 ? ) ? f 0 ( 0 ? ) ? lim sF0 ( s ) ?
s ??

1 ? e ?2 s 例 11 求下列各象函数反变换的初值与终值。 F ( s ) ? 2 s ( s ? 4) ?2 s 1? e f (0? ) ? lim f (t ) ? lim s ?0 2 t ?0 ? s ?? s ( s ? 4)
由于在S平面的j?轴上有一对共轭极点,故 f (t)不存在终值。
22

拉普拉斯变换的性质
例 12 求下列各象函数反变换的初值与终值。

s 3 ? s 2 ? 2s ? 1 s 3 ? s 2 ? 2s ? 1 F (s) ? 3 ? 2 s ? 6 s ? 11s ? 6 ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3)

? (5s ? 9s ? 5) F ( s) ? 1 ? 3 2 s ? 6s ? 11s ? 6
2

? (5s 2 ? 9 s ? 5) f (0 ? ) ? lim f (t ) ? lim s 3 ? ?5 2 t ?0 ? s ?? s ? 6 s ? 11s ? 6

f (?) ? lim f (t ) ? lim s F ( s ) ? 0
t ?? s ?0

23

拉普拉斯变换的性质

课堂练习题
求下列函数的拉普拉斯变换。 2 ?3 t f ( t ) ? t ?( t ?1) (2) (1) f ( t ) ? te ? ( t )
(3) f ( t ) ? e
?3 t

? (4) f ( t ) ? cos( 3 t ? cos( 2t )? ( t ) 4 )? ( t )

(1) f ( t ) ? te ?3 t ? ( t ) 方法一: t? (t ) ? s12 方法二:e ?3 t ? ( t ) ?
2 f ( t ) ? t ?(t ?1) (2)

e ?3t t? (t ) ?
1 s? 3

1 ( s ? 3) 2
1 ( s ? 3 )2

d 1 te ?3 t ? ( t ) ? ? dt [ s? 3] ?

方法一: ? (t ) ?
2

1 s

t ? (t ? 1) ?

?s ? (t ? 1) ? 1 e s

d2 dt 2

?s ?s 2 2 1 [1 e ] ? e ( ? ? 3 2 s s) s s
24

拉普拉斯变换的性质

课堂练习题
2 (2) f ( t ) ? t ? ( t ? 1 )
2 f ( t ) ? ( t ? 1 ? 1 ) ?(t ?1) 方法二:

? ( t ? 1 )2 ? ( t ? 1 ) ? 2( t ? 1 )? ( t ? 1 ) ? ? ( t ? 1 )

F ( s ) ? e ? s ( s23 ?
(3) f ( t ) ? e ?3 t cos( 2t )? ( t )
cos(2t )? (t ) ?
s s ?4
2

2 s2

?1 s )
s ?3 ( s ? 3) 2 ? 4

e ?3t cos(2t )? (t ) ?

(4) f ( t ) ? cos( 3t ? ? 4 )? ( t )
f (t ) ? cos(3t ? ? )? (t ) ? 4
1 2

cos 3t ? (t ) ?

1 2

sin 3t ? (t )

F (s) ?

s / 2 3/ 2 1 ( s ? 3) ? ? ? 2 2 2 s ?9 s ?9 2 s ?9
25

F F F F F F

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛区 常用函数的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法

拉普拉斯反变换 1.部分分式展开法
N (s) 用部分分式展开法求拉普拉斯反变换,F ( s) ? D( s)

一般为有理函数。 ? 单极点:D(s)=0的根也称为F(s)的极点。
F(s)可展开成

Ki F (s) ? ? i ?1 s ? pi

n

pi (i ? 1,2? n) 为 n个不相等的单根。

K i ? ( s ? pi )F( s ) s ? pi ? f ( t ) ? ? K i e p t ? ( t )
i

n

i ?1

27

部分分式展开法
例 1

拉普拉斯反变换

2s 2 ? 16 已知 F ( s ) ? 2 ,求 f (t)。 ( s ? 5s ? 6)( s ? 12)

K3 2 s 2 ? 16 K1 K2 解: F ( s ) ? ? ? ? ( s ? 2)( s ? 3)( s ? 12) s ? 2 s ? 3 s ? 12
2 s 2 ? 16 K1 ? ( s ? 3 )( s ? 12 ) 24 ? ? 2.4 s ??2 10

2 s 2 ? 16 K2 ? ( s ? 2 )( s ? 12 )

34 ? s ??3 ?9

2 s 2 ? 16 K3 ? ( s ? 2 )( s ? 3 )

304 152 ? ? s ??12 90 45

?

34 ?3 t 152 ?12 t ? ? ?2 t f (t ) ? ? 2.4e ? e ? e ?? (t ) 9 45 ? ?
28

部分分式展开法

拉普拉斯反变换

? 多重极点: 若 D(s)=(s – p1)n, 令 n=3
F(s)可展开成 F ( s ) ?

K3 K1 K2 ? ? 3 2 ( s ? p1 ) ( s ? p1 ) s ? p1

K 1 ? ( s ? p1 )3 F ( s )

s ? p1

d K2 ? [( s ? p1 )3 F ( s )] ds
s ? p1

s ? p1

1 d2 3 K3 ? [( s ? p ) F ( s )] 1 2 2 ds

1 d n ?1 n Kn ? [( s ? p ) F ( s )] 1 n ?1 ( n ? 1 )! ds

s ? p1

?

? K 1 2 p1 t p1 t p1 t ? f(t )? ? t e ? K 2 t e ? K 3e ? ? ( t ) 29 ? 2 ?

29

部分分式展开法
例 2
解:
1 已知 F ( s ) ? 3 2 s ( s ? 1)

拉普拉斯反变换
,求 f (t)。

K5 1 K1 K 2 K 3 K 4 F (s) ? 3 ? 3 ? 2 ? ? ? s ( s ? 1)( s ? 1) s s s s ?1 s ?1
s?0

1 K1 ? 2 s ?1

? ?1

K2 ?

?2 s ( s 2 ? 1 )2
? ?1

s?0

?0

1 ?2( s 2 ? 1 )2 ? 4 s( s 2 ? 1 )2 s K3 ? 2 ( s 2 ? 1 )4

s?0

1 K4 ? 3 s ( s ?1)

1 ? s ??1 2

1 K5 ? 3 s ( s ?1)

1 ? s ?1 2

?

1 ?t 1 t ? ? 1 2 f ( t ) ? ?- t ? 1 ? e ? e ? ? ( t ) 2 2 ? ? 2
30

部分分式展开法
其根为

拉普拉斯反变换

? 复数极点: 若 D(s)=(s –?-j? )(s –?+j? ) ,
p1,2= ??j? K1 K2 Ms ? N F(s)可展开成 F ( s ) ? ? ? s ? ? ? j? s ? ? ? j? ( s ? ? ) 2 ? ? 2 K1 ? ( s ? ? ? j ? )F( s ) s ?? ? j ? ?| K1 | ??1 ? A ? jB
由于F(s)是S的实系数有理函数,应有

K 2 ? K1? ?| K1 | ? ? ?1 ? A ? jB

f (t ) ? K1e

(? ? j ? ) t

? K 2e

(? ? j ? ) t ? j?1 (? ? j? ) t

?| K1 | e e
?t

j?1 (? ? j? ) t

? | K1 | e

e

?| K1 | e [e
?t

j ( ? t ??1 )

?e
31

? j ( ? t ??1 )

]
31

? 2 | K1 | e cos( ? t ? ?1 )? (t )

部分分式展开法

拉普拉斯反变换
1 s ( s 2 ? 2 s ? 5)

例 3
解:
2

已知 F ( s ) ?

,求 f (t)。

s ? 2s ? 5 ? 0

解得

s1, 2 ? 1 ? j 2

? K1 K2 K2 F (s) ? ? ? s s ?1? j2 s ?1? j2

K1 ?

1 s 2 ? 2s ? 5

s ?0

?

1 5

1 K2 ? s( s ? 1 ? j 2 )

1 1 5 ?1 ? ? ? ? 90? ? tg 2 ? ? ? 153.4? s ?1? j 2 (1 ? j2 )? j4 4 5 20

?

?1 ? 5 t ? f (t ) ? ? ? 5 ? 10 e cos(2t ? 153.4?) ?? (t ) ? ?
33

留数法
m

拉普拉斯反变换
? ? Res j[ F ( s )e s t 在AB以右的极点] t ? 0
j ?1

1 ? ? j? st f (t ) ? F ( s ) e ds ? ? 2?j ? ? j?
j?
A

st Res [ F ( s ) e 在AB以左的极点] ? i i ?1

n

t ?0

j?
A

C

0
B

?0

?

C
0

?0
B

?

t<0封闭积分路线

t>0封闭积分路线

st 若sk为单极点,则留数为: Res k ? [( s ? sk ) F ( s )e ] S ? S k

1 ? d p ?1 p st? 若sk为p重极点,则留数为:Res k ? ? p ?1 ( s ? sk ) F ( s ) e ? ( p ? 1)! ? ds ? S ?Sk
F(s)为无理函数时积分用留数法,大多数情况部分分式展开法可以解决
34

留数法

拉普拉斯反变换
已知 F ( s ) ?

例 4

s?3 ,求 拉氏反变换 f (t)。 2 ( s ? 1) ( s ? 2)

解:留数法 F(s)的一阶极点 p1=-2,二阶极点 p2=-1。 故
st ( s ? 2 )F ( s )e Res(p1)= ?2 t ? e s ??2

d Res(p2) ? ( s ? 1 )2 F ( s )e s t s ??1 ds ? ?1 s ? 3 st ? st ?t ?t ?? e ? t e ? 2 t e ? e ? 2 ( s ? 2 ) s ? 2 ? ? s ??1

故有

?

f ( t ) ? ? 2 t e? t ? e?t ? e? 2 t ? ? ( t )
35

应用拉氏变换的性质求反变换
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 时域 f(t) a f1 (t)+b f2 (t) f (at) a>0 t0 >0

拉普拉斯反变换

拉普拉斯变换的性质
复频域 F(s) aF1 (s)+bF2 (s)
1 ?s? F? ? a ?a?

线性性 尺度性 时移性 频移性 时域微分 时域积分 复频域微分 复频域积分 时域卷积 复频域卷积 初值定理 终值定理

f (t-t0) ?(t-t0) f (t) e-a t
d f (t ) dt

e ? st0 F( s )

F(s+a) sF(s) -f (0-)
F( s ) s n d F( s ) ds n

?

t 0?

f ( ? )d?

(-1)n t n f( t)
f (t ) t

?

? s

F( s )ds

f1 (t)* f2 (t) f1 (t) f2 (t)
t ? 0?

F1 (s) F2(s) 1 F1( s ) ? F2 ( s ) 2? j
s ??

f ( 0? ) ? lim f ( t ) ? lim sF( s )
f ( ? ) ? lim f ( t ) ? lim sF( s )
t ?? s ?0

36

应用拉氏变换的性质求反变换

拉普拉斯反变换

s 例5 已知 F ( s ) ? ,求 拉氏反变换 f (t)。 2 ( s ? a)
解:

? te

?a t

1 ? ( s ? a) 2

应用时域微分性质:

e

?a t

?te

?a t

s ?a t (?a) ? ? te 2 ( s ? a)

?

?

t ?0

? f (t ) ? e ? a t (1 ? a t )? (t )
37

应用拉氏变换的性质求反变换

拉普拉斯反变换

例 6

1 ? e ? ( s ?1 ) 已知 F ( s ) ? ,求 拉氏反变换 f (t)。 ( s ? 1 )( 1 ? e ?2 s )
1 ? e? s 已知 ? ?( t )??( t ?1) s

? ( s ?1 ) 1 ? e 解:令 F1 ( s ) ? s?1

1 ? e ? ( s ?1 ) ?t F ( s ) ? ? [ ? ( t ) ? ? ( t ? 1 )] e ? f1 ( t ) 根据频移特性: 1 s?1

根据周期函数的拉普拉斯变换: F( s ) ?

F1( s ) 1 ? e ?2 s

? f ( t ) ? e ? t [ ? ( t ) ? ? ( t ? 1 )] ? e ?( t ? 2 ) [ ? ( t ? 2 ) ? ? ( t ? 3 )] ??
f (t )

1 e ?t
0
1 2
3

??
t
38

F F F F F F

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛区 常用函数的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换 线性系统的拉普拉斯变换分析法
39

线性系统的拉普拉斯变换分析法
用拉氏变换求解线性常系数微分方程,主要用到拉氏变换的微分 性质:
? 对于一阶导数: L[ y?( t )] ? sY ( s ) ? y( 0? ) ? 对于二阶导数:

L [ y??( t )] ? s[ sY ( s ) ? y( 0? )] ? y ?( 0? )
? 对于三阶导数:

? s 2Y ( s ) ? s y( 0? ) ? y ?( 0? )

L [ y???( t )] ? s[ s 2Y ( s ) ? s y( 0? ) ? y ?( 0? )] ? y ?( 0? ) ? s 3Y ( s ) ? s 2 y( 0? ) ? sy ?( 0? ) ? y ??( 0? )
40

线性系统的拉普拉斯变换分析法
例7:系统方程为 y??(t ) ? 5 y?(t ) ? 6 y (t ) ? 3 f (t ),其中 f (t ) ? e ? t ? (t ), y (0 ? ) ? 1, y?(0 ? ) ? ?1,求系统的响应。 解: L [ y??( t )] ? s 2Y ( s ) ? s y( 0? ) ? y ?( 0? ) ? s 2Y ( s ) ? s ? 1

L [ y?( t )] ? sY ( s ) ? y( 0? ) ? sY ( s ) ? 1
1 L [ f ( t )] ? s?1 对微分方程进行拉氏变换为:

1 s Y ( s ) ? s ? 1 ? 5sY ( s ) ? 5 ? 6Y ( s ) ? 3 s ?1 3 2 ( s ? 5 s ? 6 )Y ( s ) ? ?s?4 s?1
2
41

线性系统的拉普拉斯变换分析法
3 ?s?4 3 ? ( s ? 4)( s ? 1) s ? 1 ? Y (s) ? 2 ? s ? 5s ? 6 ( s ? 1)( s 2 ? 5s ? 6) K3 3 ? ( s ? 4)( s ? 1) K1 K2 ? ? ? ? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3) s ? 1 s ? 2 s ? 3
K1 ? 3 ? ( s ? 4 )( s ? 1 ) ( s ? 2 )( s ? 3 ) ? 3 2

S ??1

K2 ?

3 ? ( s ? 4 )( s ? 1 ) ( s ? 1 )( s ? 3 )

S ??2

? ?1

3 ? ( s ? 4 )( s ? 1 ) K3 ? ( s ? 1 )( s ? 2 )

1 ? S ??3 2

3 ?t 1 ?3 t ?2 t ? y (t ) ? e ? (t ) ? e ? (t ) ? e ? (t ) 2 2
42

线性系统的拉普拉斯变换分析法 ? 可以分别求出零输入响应和零状态响应
1 s Y ( s ) ? s ? 1 ? 5sY ( s ) ? 5 ? 6Y ( s ) ? 3 s ?1 3
2

( s 2 ? 5 s ? 6 )Y ( s ) ?

3 s?4 s ? 1 Y (s) ? 2 ? 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6
零状态响应 零输入响应

s?1

?s?4

系统激励

?

y (t ) ? y zs (t ) ? y zi (t )
43

零状态响应: 由0-状态响应值为为0,系统由激励产生的响应。 零输入响应 : 系统激励为零,由系统0-状态值产生的响应。

线性系统的拉普拉斯变换分析法

拉氏变换求微分方程的基本思想
时域激励 f(t)
拉氏变换

微分方程描述 解时域网络

时间响应 y(t)
拉氏反变换

拉氏变换激励 F(s)
?

代数方程描述 解复频域网络

拉氏变换响应 Y(s)

存在的问题
? 高阶电路的微分方程不易列出; ? 电路中不可能只有一个电源,电路中存在多个电源 怎么办? ? 与以前所学知识无法联系,不能统一起来。
44

线性系统的拉普拉斯变换分析法

电路元件的S域模型
? 电阻元件
u (t ) ? R i (t ) ? U ( s ) ? R I ( s )
i (t )
?

R

I (s) R
?

u (t )
时域模型

?

U (s)
复频域模型

?

45

线性系统的拉普拉斯变换分析法

电路元件的S域模型
? 电感元件
d i (t ) u (t ) ? L ? U ( s ) ? L s I ( s ) ? L i (0 ? ) dt
i (t )
?
L
L i( 0? )

I (s)

sL





u (t )

?

?

U (s)

?

?

U (s)
sL

?

I (s)
i( 0? ) s
46

线性系统的拉普拉斯变换分析法

电路元件的S域模型
? 电容元件
d u (t ) i (t ) ? C ? I ( s ) ? C s U ( s ) ? C u (0 ? ) dt
?
i (t )
?
C

U (s)

?

u (t )

?

I (s)

1 sC

C u( 0? )

I (s)
?

1 sC

u( 0? ) s
? ?

U (s)

?
47

线性系统的拉普拉斯变换分析法
RLC串联电路的S域模型
R
?

L
?
?

R

sL -

L i( 0? )



u (t )
?

i (t )

C

?

uC ( t )

U (s)
?

I (s)

? ?

1 sC

uc ( 0? ) s

设初始值为

i( 0 ) ? I 0 ,uC ( 0 ) ? U 0

零状态响应

零输入响应

U0 U0 U ( s ) ? LI 0 ? LI 0 ? U ( s ) s ? s I (s) ? ? 1 1 1 R ? sL ? R ? sL ? R ? sL ? sC sC sC

1 其中: Z( s ) ? R ? sL ? sC

称复频域阻抗或运算阻抗

? S 域网络的电源分为激励源和初始电源。初始电源单独作用产生 零输入响应;激励源单独作用产生零状态响应。
48

线性系统的拉普拉斯变换分析法
直流电路 I U R U=R I ?U =0, ?I =0 正弦稳态电路 复频域电路 I ( s) U(s)
1 j? C Z( s ) ? R ? sL ? 1 sC

? I
? U
Z ? R ? j? L ?

? ? Z? U I
? ? 0, ? ? I ?0 ?U

U(s)=Z(s)I(s) ?U(s) =0, ?I(s) =0

? 由于引入拉氏变换,和复频域阻抗 Z(s),正弦稳态分析中的所用 的分析方法和定理,完全适用于复频域分析。 ? 由于初始条件化为信号源,由初始值引起的响应即零输入响应, 由等效信号源(等效激励源)单独作用引起的零状态响应。
49

线性系统的拉普拉斯变换分析法 用拉氏变换分析动态电路的步骤:
? 将网络中电源的时间函数进行拉氏变换; – 常用的拉氏变换有:常数A?A/s, e-at?(t)?1/(s+a) ? 画出S域电路图(特别注意初值电源); – 电感、电容分别用其S域模型代替; – 检查初值电源的方向和数值; – 电源用其象函数(拉氏变换)代替; – 电路变量用其象函数代替:i(t)?I(s), u(t)?U(s) ? 运用直流电路的方法求解象函数; ? 反变换求原函数。
50

线性系统的拉普拉斯变换分析法

例 9
K

如图所示电路中,开关K闭合已久,在 t=0时K断开, 试求电容电压uC(t)。
?

?
4V

?
2?

1
?

1H
4?

2V

? 2 s?
2s

?

?

0.5F

? uC ( t ) ?

2?

s

?

4?

? 2 s?

UC ( s )
?

S域模型

解:电路初始值为

iL(0-)=1A, uC(0-)=2V, 画复频域模型

53

线性系统的拉普拉斯变换分析法
复频域模型如图所示。用节点法:
U( s ) ? 1 U( s ) 4 / s ? U( s ) ? ? s?4 2 2/ s 1 4 s ? ? ? U (s) ? 4 ? s s 2 1 1 1 ? ? s 2 s?4 2 4 s ? 14 6 2 ? 2 ? ? s ? 5s ? 6 s ? 2 s ? 3
U C (s) ? U (s) ? 2 6 2 2 ? ? ? s s?2 s?3 s
?2 t

U( s )
? ?

1
2?

? 2 s?
2s ? 2 s?

s
4?

?

UC ( s )
?

? uC ( t ) ? ( ?2 ? 6e

? 2e

?3 t

)? ( t )
54

线性系统的拉普拉斯变换分析法

课堂练习题
求例9中的电压uC(t)的零输入响 应uCzi(t)和零状态响应uCzs(t)
2?

?

1

?

? 2 s?
2s ? 2 s?

s
4?

?

U( s ) ? 1 U( s ) 2 / s ? U( s ) ? ? 零输入响应 s?4 2 2/ s

UC ( s )
?

1 2 s ? s? ? 2s ? 6 2 4 s ? 2 U Czi ( s ) ? 1 1 s ? 2 ? s ? 5s ? 6 s ? 2 2 ? s?4 ? 2

? uCzi (t ) ? 2e ?2t ? (t ) V
零状态响应

U( s ) U( s ) 2 / s ? U( s ) ? ? s?4 2 2/ s

?2( s ? 6 ) ?2 4 ?2 U Czs ( s ) ? ? ? ? s( s ? 2 )( s ? 3 ) s s ? 2 s ? 3
? uCzs (t ) ? (?2 ? 4e ?2t ? 2e ?3t )? (t ) V
55

线性系统的拉普拉斯变换分析法
通过系统函数或者传递函数H(s)求零状态响应
H(s) =
Yzs(s) 零状态响应的拉氏变换 = F(s) 输入的拉氏变换

求零状态响应 yzs (t)步骤

(1)求激励 f (t) 的象函数 F (s) = ? {f (t)}。
(2)找出在 s 域中联系零状态响应 与输入激励的运算形式的 系统函数 H(s)。 (3)求零状态响应 yzs (t) 的象函数 Y(s) = F(s)H(s)。 (4)求 yzs (t) = ? -1{Y(s)}= ? -1{F(s)H(s)}

56

线性系统的拉普拉斯变换分析法
求 H(s) 的常用方法: (1)由零状态下系统的微分方程经过 LT 求得 例10:已知
d 2 y (t ) dt 2 ?3 dy (t ) dx(t ) ? 2 y (t ) ? 2 ? 3x(t ) ,求该系统的 dt dt

H(s)。

解:对上式取零状态下的LT ,得
s2Yzs(s) + 3sYzs(s) + 2Yzs(s) = 2sX(s) + 3X(s) Yzs(s)(s2 +3s + 2) =X(s)(2s+3)
Yzs(s) X(s)

2s+3 = 2 s +3s + 2 =
2s+3 s2 +3s + 2

?

H(s) =

Yzs(s) X(s)

(2)由系统的单位冲激响应经过 LT 求得,即 ? {h(t)}= H(s)。
57

线性系统的拉普拉斯变换分析法
(3)对具体网络,可由零状态下的 s 域等效电路应用电路分析方法求得。

例11:求 H(s)。
C1
1

sC1

+
e(t)
E(s)
C2

1 解:令 R1 sC1 Z1 ( s ) ? ? 1 1 ? R1C1s R1 ? sC1 R1 ?
+ R2
1

R1

rzs(t) Rzs(s)
sC2

1 1 ? R2C2 s Z 2 ( s) ? R2 ? ? sC2 sC2
1 ? R2C2 s sC2 R1 1 ? R2C2 s ? 1 ? R1C1s sC2

-

Z2( s ) E( s ) Rzs ( s ) Z1( s ) ? Z 2 ( s ) Z2( s ) H( s ) ? ? ? ? E( s ) E( s ) Z1( s ) ? Z 2 ( s ) ? ( 1 ? R1C1s )( 1 ? R2C2 s ) R1 R2C1C2 s 2 ? ( R1C1 ? R2C2 ? R1C2 )s ? 1

-

58

线性系统的拉普拉斯变换分析法
例12
1 ?3 t H( s ) ? , f ( t ) ? e ? ( t ), 求y ZS ( t ) f(t) 已知 2 s ? 3s ? 2
H(s) yZS(t)

解:

1)求F ( s ) : F( s ) ? L{ f ( t )}?
H ( s) ? 2)

1 1 ? , s ? ?1,?2 系统极点 2 s ? 3s ? 2 (s ? 1)(s ? 2) 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? Y ( s ) ? H( s )F( s ) 3)ZS ( s ? 1)(s ? 2)(s ? 3) 2 s ? 1 s ? 2 2 s ? 3 1 ?t ?1 y ( t ) ? L {Y ( s )} ? (e ? 2e ? 2t ? e ?3t )? (t ) 4)ZS ZS 2
1 ?t (e ? 2e ? 2t )? (t ) 2

1 , s ? ?3 源极点 s?3

——自由分量 ——强迫分量
59

1 ? 3t e ? (t ) 2

1 ?t (e ? 2e ? 2t ? e ?3t )? (t ) ——均为瞬态分量 2

线性系统的拉普拉斯变换分析法
例13.试求图示电路的冲激响应u1( t )。
2? L 2H

R1

SL

?
is (t )
u1 ( t )
?

R1
1F

?
2?

C

R2

I s ( s)

U1 (s)
?

1 CS

R2

S1、 2

1 Y ( s ) U1 ( s ) S ?1 CS 解:H( s ) ? ? ? R1 ? ? 2? 1 1 F ( s ) Is ( s ) LS ? R2 ? S2 ? S ? CS 2 1 1 k1 k2 S ?1 S ?1 1 ?? ? j o H( s ) ? 2 ? ? k ? ? ? ? ? 45 1 2 2 S ? S1 S ? S2 D ?( s ) S ? S 2 S ? 1 S ? S 2 ( LS ? R2 )
1 1

冲激响应 h( t ) ? L?1 [ H( s )] ? 2? ( t ) ? e

1 ? t 2

1 cos( t ? 45o ) t ? 0 2
60

线性系统的拉普拉斯变换分析法
例14 已知某系统当激励 f1(t)=?(t)时,全响应为y1(t)=?(t)+e-t?(t) ;
当激励 f2 (t)=?(t)时, 全响应为 y2(t)=3e-t?(t)。 (1)求系统的冲激响应h(t)与零输入响应yzi(t); 解:当 f1(t)=?(t)时: Y1 ( s ) ? H ( s ) ? Yzi ( s ) 即
1 当 f2 (t)=?(t)时: Y2 ( s ) ? H ( s ) ? Yzi ( s ) s 3 1 (2) ? H ( s ) ? Yzi ( s ) 即 s?1 s s 2 , Yzi ( s ) ? (1)、(2)式联立解得: H ( s ) ? s ?1 s ?1 故系统的冲激响应: h( t ) ? ? ( t ) ? e ? t ? ( t )
1 1? ? H ( s ) ? Yzi ( s ) s?1
(1)

故系统的零输入响应:

yzi ( t ) ? 2e ? t ? ( t )

61

线性系统的拉普拉斯变换分析法
(2)求当激励为如图所示的 f (t)时的全响应y(t)。
f (t )

解:先求 f(t)的拉氏变换:

1
0

f ( t ) ? t( ? ( t ) ? ? ( t ? 1 )) ? t? ( t ) ? ( t ? 1 )? ( t ? 1 ) ? ? ( t ? 1 )
1
t

1 1 ?s 1 ?s F (s) ? 2 ? 2 e ? e s s s

s ? 1 1 ?s 1 ?s ? 1 1 ?s ?s Yzs ( s ) ? H ( s )F ( s ) ? ? 2 e ? e ?? (1? e )? e ? 2 s ?1? s s s s?1 ? s( s ? 1 ) 1 1 1 ?s 1 1 ?s 1 ?s ?s ? (1? e )? (1? e )? e ? ? e ? s s?1 s?1 s s s?1

故零状态响应

yzs ( t ) ? ? ( t ) ? ? ( t ? 1 ) ? e ? t ? ( t )

?t y( t ) ? y ( t ) ? y ( t ) ? ? ( t ) ? ? ( t ? 1 ) ? e ?( t ) 全响应 zs zi
62

课堂练习题
考虑下列系统:
?t

f(t )

h(t ) ? 2e ?t ? (t ) ? ? (t )

y( t )

(1)令 f ( t ) ? e ? ( t ),用拉普拉斯变换求出响应y(t), 并用时域的卷积检验结果。
H( s ) ? 2 1? s ?1 ? s?1 s?1

1? s 1 1? s Y( s ) ? ? ? s ? 1 s ? 1 ( s ? 1 )2
?t ?t

y( t ) ? [ ? e ? 2te ] ? ( t )
(2)令 f ( t ) ? ? ( t ),用拉普拉斯变换求出响应y(t), 并用时域的卷积检验结果。
1? s 1 1? s Y( s ) ? ? ? s ? 1 s s( s ? 1 )

y( t ) ? ( 1 ? 2e )? ( t )
?t
63

? end


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