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重庆市梁平实验中学高中数学 3.1.1两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4


3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标 掌握用向量方法建立两 角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及其功 能,为建立其它和(差)公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式; 2. 教学难点:探索过程的组织和 适当引导,这里不仅有学习积极性 的问题,还有探索过程 必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等. 三、 教学设想: (一)导入:问题 1:

cos 45? ?
我们在初中时就知道
? cos1 ? 5

2 3 cos30? ? 2 , 2 ,由此我们能否 得到
? ?

c ? o s? ?4 5 ?? ?3 0

? 大家可以猜想,是不是等于 cos 45 ? cos30 呢?

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的! 下面我们就一起探讨两角差的余弦 公式

cos ?? ? ? ? ? ?

(二)探讨过程: 在第一章三角函数的学习当中我们知道,在 设角 ? 的终边与单位圆的交点为 于角 ? 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 ? 的余弦线来表示。 思考 1:怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来.) 思考 2:我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,两角差余弦公式我们能否用 向量的知识来证明? (1)结合图形,明确应该选择哪几个 向量,它们是怎样表示的? (2)怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 两角差的余弦公式: cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? (三)例题讲解 例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75 、 cos15 的值. 解:分析:把 75 、 15 构造成两个特殊角的和、差.
? ? ? ?

P1 , cos? 等

cos 75? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? ?
cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? ?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:

1

cos15? ? cos ? 60? ? 45? ?

,要学会灵活运用.

sin ? ?
例 2、已知

4 ? ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? 5 , ? ? ? 13 是第三象限角,求 cos ?? ? ? ? 的值. ?2 ? 5,
2

3 ? 4? ?? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? sin ? ? 4 5 ?5? ? 2 ?, 5 由此得 解:因为 12 ? 5? 5 sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? , ? 13 ? 13 ? 13 是第三象限角,所以 又因为
2

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ? 所以
点评:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题.

?? ? ? ? ,? )
思考:本题中没有

?2

,呢?

(四)练习:1.不查表计算下列各式的值:

( 1 ) cos 80? cos 20? ? sin 80? sin 20?

1 3 (2) cos15? ? sin 15? 2 2
1) cos 80? cos 20? ? sin 80? sin 20? 解:(

? cos( 80? ? 20?) ? cos 60 ? ?

1 2

2.教材 P127 面 1、2、3、4 题 (五)小结:两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过程,熟知 由此衍变的两角和的余弦公式 .在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题,学会 灵活运用. (1)牢记公式

C(? ?? ) ? C ? C ? S ? S.

(2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系. (六)作业: 《习案》作业二十九

2


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