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日照实验高中2016级高二上学期期末数学复习理科练习八


日照实验高中 2016 级高二上学期期末数学复习理科练习八
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确答案,将答案涂在答题卡上) 1.设 a , b , c ? R ,且 a ? b ,则 A. ac ? bc B.

1 1 ? a b

C. a ? b
2

2

D. a ? b
3

3

2.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? A.138 B.135 C.95 D.23
2 3.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a sin A sin B + b cos A ? 2a ,



b ? a
A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2

x2 y 2 4.若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a b 1 A.y=± 2x B. y ? ? 2 x C. y ? ? x 2

D. y ? ?

2 x 2
2 2

5.在 △ ABC 中, a , b, c 分别是角 A,B,C 的对边.若 a , b, c 成等比数列,且 a ? c =

ac ? bc ,则

b sin B 的值为 c
B.

A.

3 2

1 2

C.

3 3 ? ?

D.

5 3 ? ?

2 6.已知关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? b ? 0(a ? 0) 的解集是 ? x x ? ? , x ? R ? ,且 a ? b ,则

1 a

a 2 ? b2 的最小值是 a ?b
(A) 2 2 7.下列说法正确 的是 ..
x x A.命题“ ?x ? R , e ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e ? 0 ”

(B)2

(C)

2

(D)1

B.命题 “已知 x, y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题
2 C.“ x ? 2 x ? ax 在 x ??1, 2? 上恒成立” ? “ ( x 2 ? 2 x)min ? (ax)max 在 x ??1, 2? 上恒成立”

1

D.命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ? x ? ? ax ? 2x ?1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

x2 y2 ? 2 =1 (a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 2 a b A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3 ,则 p= 3 A.1 B. C.2 D.3 2
8.已知双曲线 9. 已知命题 p :函数 f ( x) ? x2 ? mx ? n 在 (0,1) 上有两个不同的零点; 命题 q : ?2 ? m ? 0,0 ? n ? 1 ,则 p 是 q 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等 于

1 3 2 C. D. 3 3 3 ? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 11.设关于 x, y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0, y0), 满足 x0-2y0 ?y ? m ? 0 ?
A. B. =2,求得 m 的取值范围是

2 3

2? 5? 1? ? ? ? C. ? ??, ? ? D. ? ??, ? ? 3? 3? 3? ? ? ? 2 2 12.已知 x,y 为正实数,且满足 2 x ? 8 y ? xy ? 2 ,则 x ? 2 y 的最大值是
A. ? ??,

? ?

4? ? 3?

B. ? ??, ?

A.

2 2 3

B.

2 3

C.

4 2 3

D.

4 3
A 5 n s i ?, B则

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中横线上)

c ?a 2 , n s i 13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 。 若b ? 则3
角 C ? _____.

? x ? 0, ? 14.记不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域为 D.若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则 a ?3 x ? y ? 4 ?
的取值范围是_______. 15.椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,若直线 a 2 b2

y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于
2

_________ 16.等差数列{an}的首项为 a,公差为 d,其前 n 项和为 Sn,则数列{Sn}为递增数列的充要条 件是________. 三、解答题(本题共 70 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17.在△ABC 中,a=3, b ? 2 6 ,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值;(2)求 c 的值.

18. 设 f ( x) ? [(m ? 1) x ? 1]( x ? 1) (1)若 m ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求 实数 m 的取值范围. 19. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,等比 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,已知 bn ? 0

(n ? N ? ), a1 ? b1 ? 1, a2 ? b3 ? a3 , S5 ? 5(T3 ? b2 ) .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求和:

b b1 b ? 2 ??? n . T1T2 T2T3 TnTn?1

20. 某工厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验 知道,该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x (件)之间大体满足关系:

? 1 (1 ? x ? c, x ? N ) ? 次品数 ? 96 ? x P?? (其中 c 为小于 96 的正常数) (注:次品率 P = ,如 2 生产量 ? ( x ? c, x ? N ) ? ?3
P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,约有一件为次品,其余为合格品)已知每生产一件合格品 A 可以盈利 A( A ? 0) 元,但每生产一件次品将亏损 元,故厂方希望定出合适的日产量. 2 (1)试将生产这种仪器每天的盈利额 T (元)表示为日产量 x (件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?

3

AB / / DC ,AA1 ? 1 , 21.如图, 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 侧棱 AA 1 ? 底面ABCD ,
AB ? 3k , AD ? 4k , BC ? 5k , DC ? 6k (k ? 0) .
(1)求证: CD ? 平面ADD1 A1; (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为

6 ,求 k 的值; 7

22. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 (1)求抛物线 D 的方程

x2 y 2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合 4 3

(2)已知动直线 l 过点 P ? 4, 0 ? ,交抛物线 D 于 A, B 两点,坐标原点 O 为 PQ 中点,求证
?AQP ? ?BQP ;

(3 ) 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在, 求出 m 的方程;如果 不存在,说明理由。

4

日照实验高中 2016 级高二上学期期末数学复习理科练习八答案
DCDBA ABCAA CD 11. 解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含 y=

1 x-1 上的点,只需要可行 2

1 1 x-1 下方, 也就是 m< ? m 2 2 2 2 ?1 ? ? -1,即 m ? ? .故选 C. 13. 14. ? , 4 ? 3 3 ?2 ?
域的边界点(-m, m)在 y= 15.【解析】由直线方程 y ? 3( x ? c) ? 直线与 x 轴的夹 角

?MF1 F2 ?

?
3



2? 3









F ( ? ?MF1F2 ? 2?MF2 F1 1 -c,0)
? ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ?

?
3

即 F1M ? F2 M

?在RT ?F1MF2中, F1F2 ? 2c, F1M ? c, F2 M ? 3c ? 由 椭 圆 的 第 一 定 义 可 得
c 2 2a ? c ? 3c ? ? ? 3 ?1 a 1? 3
16. 本题考查数列问题中充要条件的判断.由 Sn+1>Sn(n∈N*)?(n+1)a+ n?n+1? d>na+ 2

n?n-1? d(n∈N*)?dn+a>0(n∈N*)?d≥0 且 d+a>0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件 2 是 d≥0 且 d+a>0. 答案:d≥0 且 d+a>0

17.解:(1)因为 a=3, b ? 2 6 ,∠B=2∠A,

3 2 6 2sinAcos A 2 6 6 .所以 .故 cos A= . ? ? sin A sin 2 A sinA 3 3 3 6 2 (2)由(1)知,cos A= ,所以 sin A= 1 ? cos A ? .又因为∠B=2∠A, 3 3 1 2 2 2 所以 cos B=2cos2A-1= .所以 sin B= 1 ? cos B ? . 3 3 a sin C 5 3 在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 所以 c= =5. sin A 9
所以在△ABC 中,由正弦定理得

5

19. 解: (Ⅰ)由 a 2 ? b3 ? a 3 ,得 b3 ? a3 ? a2 ,得 q 2 ? d .① 又 S 5 ? 5a 3 ? 5(T3 ? b2 ) ,所以 a 3 ? T3 ? b2 ,即 1 ? 2d ? 1 ? 2q ? q 2 .② 由①②得 q 2 ? 2q ? 0 ,解得 q ? 2 , d ? 4 .所以 a n ? 4n ? 3 , bn ? 2 n?1 . (Ⅱ)因为 所以
?

………6 分

bn bn ?1 T ? Tn 1 1 1 ? ? n?1 ? ( ? ), Tn Tn ?1 qTn Tn ?1 qTn Tn ?1 2 Tn Tn ? 1

bn b1 b 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) ? 2 ??? 2 T1 T2 T2 T3 Tn Tn ? 1 T1T2 T2 T3 Tn Tn ? 1

1 1 1 1 1 ( ? ) ? (1 ? ). n ?1 2 T1 Tn ?1 2 2 ?1 20.

………12 分

6

Q AB / / DE , AB ? DE ? 3k ? 四 边 形 ABED 为 平 行 四 边 形 ? BE / / AD 且 BE ? AD ? 4k 在 VBCE 中 ,
21.解: (Ⅰ)取 CD 中点 E ,连接 BE
2 2 E ? CE ? B 2C Q B E? 4 k , C? E 3 ,k ? B C? 5 Bk

??BEC ? 90? ,即 BE ? CD ,又 Q BE / / AD ,所以 CD ? AD Q AA1 ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ? AA1 ? CD ,又 AA1 I AD ? A ,? CD ? 平面 ADD1 A1
(Ⅱ)以 D 为原点, DA, DC, DD1 的方向为 x, y , z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系 A(4k , 0, 0) , C (0, 6k , 0) , B1 (4k ,3k ,1) , A1 (4k ,0,1) 所 以 A C? (? 4 k , 6k , 0 ,) AB1 ? (0,3k,1) , AA 1 C的 法 向 量 1 ? (0,0,1) 设 平 面 A B

uu u r uuu r uuur

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r ? ? AC ? n ? 0 ??4kx ? 6ky ? 0 n ? ( x, y, z,则由 ) 得? 取 y ? 2 ,得 n ? (3, 2, ?6k ) r ? uuu 3ky ? z ? 0 ? AB ? n ? 0 ? ? 1
7

uuu r uuu r AA1 , n 设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos? AA1 , n? |? uuu r | AA1 | ? | n |
? 6k 36k 2 ? 13 ? 6 ,解得 k ? 1 .故所求 k 的值为 1 7

22. 【解析】 (1)抛物线的焦点为 ?1, 0 ? ,? p ? 2 。所以抛物线的方程为 y 2 ? 4 x (2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由于 O 为 PQ 中点,则 Q 点坐标为(-4,0) 当 l 垂直于 x 轴时,由抛物线的对称性知 ?AQP ? ?BQP 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l : y ? k ? x ? 4 ?

? 4 ? 2k 2 ? 1? ? y ? k x ? 4 ? ? ? ?x ? x ? ? k 2 x 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1? x ? 16k 2 ? 0 ? ? 1 2 由? k2 2 y ? 4 x ? ? x x ? 16 ? ? 1 2
? k AQ ? k ? x1 ? 4 ? k ? x2 ? 4 ? y1 y2 ? , k BQ ? ? x1 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x2 ? 4

? k AQ ? k BQ ?

k ? 2 x1 x2 ? 32 ? k ? 2 ?16 ? 32 ? ? ?0 ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ? ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ?

∴ ?AQP ? ?BQP

x1 ? 4 y1 ? ,过 M 作直线 x=a 的垂线,垂 (3) 设存在直线 m: x ? a 满足题意,则圆心 M ? , ? ? 2? ? 2
足为 E。设直线 m 与圆的一个交点为 G,则 EG ? MG ? ME .即
2 2 2

EG ? MG ? ME
2

2

2

2

? x ? 4? ? 1
4
2

2

? y12

? x ?4 ? ?? 1 ? a? ? 2 ?

2

? x ? 4 ? ? ? x1 ? 4? ? a x ? 4 ? a 2 ? x ? 4 x ? a x ? 4 ? a 2 ? a ? 3 x ? 4a ? a 2 1 ? y12 ? 1 ?1 ? ?1 ? ? ? 1 1 1 4 4
当 a=3 时, EG ? 3, 此时直线 m 被以 AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值 2 3 。因此存在 直线 m:x=3 满足题意。
2

8


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