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7-1 数列的概念与简单表示法_图文

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考纲要求

考情分析

本部分内容在高考中主要考查 利用an和Sn的关系求通项an,或 1.了解数列的概念 者利用递推数列构造等差或等 和几种简单的表示 比数列求通项an,若只涉及通 方法(列表、图象、 项公式,则以选择、填空题为 通项公式). 主,较为简单,若涉及递推公 2.了解数列是自 式常为解答题,属较难题目. 变量为正整数的一 预测:2013年仍应重点关注前n 类函数. 项和Sn与an之间的相互转化, 难度有可能会适当的降低.
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(对应学生用书 P109)
1.数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列,数列中的 每一个数叫做这个数列的 项 列的第 1 项(通常也叫做
首项

排在第一位的数称为这个数 ).

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问题探究 1:数列可以看成一个以 n 为自变量的函数, 则其定义域是什么? 提示:其定义域为正整数集 N*或其有限子集{1,2,?, n}.

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2.数列的分类 分类原则 项数 项与项间 的大小关系 其他 标准 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列

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满足条件 项数 有限 项数 无限 an+1 > an 其中 an+1 < an n∈N* an+1=an 从第2项起,有些项 大于它的前一项,有 些项小于它的前一项

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3.数列的表示法 (1)数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,…,an,….

图象法 、 通项公式法 列表法 、 (2)数列的表示法分别为 、
.

递推公式法.
4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个

式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

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问题探究2:数列的通项公式惟一吗?是否每个数列都 有通项公式?

提示:不惟一,如数列-1,1,-1,1,?的通项公式可
?-1 ? n 以为an=(-1) 或an= ? ?1 ?

?n为奇数? ?n为偶数?

,有的数列没有

通项公式.

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5.数列的递推公式 若一个数列首项确定,其余各项用an与an-1的关系式表 示(如an=2an-1+1,n>1),则这个关系式就称为数列的递推 公式.

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(对应学生用书P109)

1.观察法就是观察数列的特征,找出各项共同的规律, 横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与项数n的关系 “,从而确定数列的通项公式.

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2.利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特 征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.

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根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公 式: (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,? 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,? 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (4) ,1, , ,? 2 10 17 (5)0,1,0,1,?
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【解】 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 表示,其各 项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的 绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). (2)将数列变形为 8 8 8 9(1-0.1),9(1-0.01),9(1-0.001),?, 8 1 ∴an= (1- n). 9 10

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(3)各项的分母分别为21,22,23,24,?易看出第2,3,4项的分 2-3 子分别比分母少3.因此把第1项变为- 2 ,原数列可化为 21-3 22-3 23-3 24-3 - 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?, 2 2 2 2 2n-3 ∴an=(-1)n· n . 2

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3 5 7 9 (4)将数列统一为 , , , ,?对于分子 2 5 10 17 3,5,7,9,?,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn= 2n+1,对于分母2,5,10,17,?联想到数列1,4,9,16,?即数 列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1 2n+1 因此可得它的一个通项公式为an= 2 . n +1
?0 ? (5)an=? ?1 ?

?n为奇数? ?n为偶数?

1+?-1?n 1+cosnπ 或an= 或an= . 2 2
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根据数列的前n项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳 得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号 变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.

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写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,? 1 3 7 15 31 (2)2,4,8,16,32,? 2 10 17 26 37 (3)3,-1, 7 ,- 9 ,11 ,-13,? (4)3,33,333,3 333,?

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解:(1)因为各项是从 4 开始的偶数, 所以 an=2n+2. (2) 由 于 每 一 项 分 子 比 分 母 少 1 , 而 分 母 可 写 为 21,22,23,24,25 ,?,故所求数列的一个通项公式可写为 an = 2n-1 . 2n

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(3)由于带有正负号,故数列可以用(-1)n 后去掉负号,观察可得. 5 将第二项-1 写成-5.

+1

来调整,而

分母可化为 3,5,7,9,11,13,??为正奇数, 而分子可化为 12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1, ?故 n2+1 其一个通项公式可写为 an=(-1)n+1· . 2n+1

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9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3 3 3 3 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?, 1 n 所以 an= (10 -1). 3

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由 Sn 求 an 时, 要分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论, 然后验 证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函 数的形式表示为:
?S1 ? an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1? . ?n≥2?

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求下列条件下数列的通项公式 an. 已知数列{an}前 n 项和为 Sn, (1)Sn=2·n-2; 5 (2)若 S1=1,Sn+1=3Sn+2.
【解】 (1)当 n=1 时, a1=S1=2×5-2=8. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2·n-2-2·n-1+2 5 5 =8·n 1. 5 ∴当 n=1 时也适合 an,故 an=8·n-1. 5
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(2)由 S1=1,Sn+1=3Sn+2 得 Sn=3Sn-1+2(n≥2) 两式相减得 an+1=3an(n≥2) ∴{an}是以 a2 为首项,以 3 为公比的等比数列 ∴an=a2·n-2(n≥2) 3 又 a2+a1=3a1+2 ∴a2=4 ∴an=4·n 2(n≥2) 3


当 n=1 时,不适合 an,故数列{an}的通项公式为:
?1 ? an=? n-2 ?4· ? 3

?n=1? ?n≥2?

.
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转化思想是数学中最基本、最常用的一种解题策略,数 列中的转化更是层出不穷. 若已知 Sn 可转化为 an 从而更方便 对数列的研究.

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(2011 年江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm =Sn+m 且 a1=1.那么 a10= A.1 C.10 B.9 D.55 ( )

解析:∵a1=1,∴S1=a1=1. 在 Sm+n=Sm+Sn 中, 令 m=1 得 Sn+1=Sn+S1=Sn+1, ∴an=Sn+1-Sn=1,∴a10=1. 答案:A
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由a1和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利 用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等. 1.构造等比数列,已知首项a1,如果递推关系为an+1= qan+b(n∈N*)时,求数列{an}的通项公式的关键是将an+1= qan+b转化为an+1+a=q(an+a)的形式,其中a的值可由待定 系数法确定, b 即qan+b=an+1=qan+(q-1)a?a= (q≠1).(此种 q-1 方法称为待定系数法)
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2.已知a1且an-an-1= f(n)(n≥2),可以用“累加 法”,得(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a3-a2)+(a2-a1)= f(n)+ f(n-1)+?+ f(3)+ f(2),

即an=a1+ f(2)+ f(3)+?+ f(n-1)+ f(n). an 3.已知a1且 = f(n)(n≥2),可以用“累乘法”, an-1 an an-1 a3 a2 得 · · ?· · = a2 a1 an-1 an-2 f(n)· f(n-1)· ?· f(3)· f(2),即an

=a1· f(2)· f(3)· ?· f(n-1)· f(n).

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(2012年大纲全国)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn n+2 = 3 an. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式.

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【思路启迪】 第(2)问,当 n>1 时,由 an=Sn-Sn-1, n+1 可得 an= an-1,分别令 n=1,2,?,n,把这 n 个式子利 n-1 用累乘法求解,或由 an=Sn-Sn-1,解得关于 an 与 an-1 的关 an n+1 系式 = ,利用构造法,把这 n 个式子利用累乘法求 an-1 n-1 解.

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【解】

n+2 2+2 (1)由 a1=1 与 Sn= 3 an,可得 S2= 3 a2=

a1+a2?a2=3a1=3, 3+2 2 S3= 3 a3=a1+a2+a3?3a3=a1+a2=4?a3=6,故所 求 a2,a3 的值分别为 3,6.

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(2)法一:由题设,知a1=1,当n>1时,有an=Sn-Sn-1 n+2 n+1 n+1 = 3 an- 3 an-1,整理得an= a - ,于是 n-1 n 1 a1=1, 3 a2= a1, 1 4 a3= a2, 2 ?

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n a n -1 = an-2, n-2 n+1 an = a n -1 . n-1

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n?n+1? 将以上n个等式两边分别相乘,整理得an= . 2 显然n=1时,上式也成立. n2+n 综上,{an}的通项公式为an= (n∈N*). 2

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n+2 法二:当n≥2时,Sn= a ,① 3 n n+1 S n -1 = a ,② 3 n-1 n+2 n+1 由①-②,可得Sn-Sn-1= a- a , 3 n 3 n-1 n+2 n+1 n-1 n+1 an 即an= a- a ? a= a ? = 3 n 3 n -1 3 n 3 n-1 an-1 n+1 . n-1

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an-1 n+1 an a2 n 3 故有an= × ×?× ×a1= × ×?× 1 a1 an-1 an-2 n-1 n-2 n2+n ×1= 2 . 12+1 n2+n 而 =1=a1,所以{an}的通项公式为an= (n∈ 2 2 N*).

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对形如an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的)递推式求通项公 an 式,常用累乘法,巧妙求出 与n的关系式,则分别将n= a1 1,2,3,?,n-1代入上式,便会得到n-1个等式,最后添 加关于a1的等式,把这n个等式的左右两边分别相乘,约去 相同的项,就会直接得到该数列的通项公式.

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n+1 本例中,就是当n>1时,由an=Sn-Sn-1,得到an= n-1 an-1的关系式,分别令n=1,2,?,n,然后利用累乘法求 解.对于累加法的求解,是利用递推关系an+1=an+f(n),需 先将递推公式化成an+1-an=f(n),然后分别把n= 1,2,3,?,n-1代入上式,便会得到n-1个等式,最后添 加关于a1的等式,这n个等式相加之后,就会直接得到该数 列的通项公式.

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根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= a (n≥2); n n-1 (3)已知数列{an}满足an+1=an+3n+2,且a1=2,求an.

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解:(1)∵an+1=3an+2, ∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3, an+1 ∴数列{an+1}为等比数列, 公比 q=3,又 a1+1=2, ∴an+1=2·n-1,∴an=2·n-1-1. 3 3

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n-1 (2)∵an= a (n≥2), n n-1 n-2 ∴an-1= a-, n-1 n 2 ? 1 a2= a1. 2 以上(n-1)个式子相乘得 n-1 a1 1 12 an=a1··· 2 3 ?· n = n =n.

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(3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =(3n-1)+(3n-4)+?+5+2 2+3n-1 n?3n+1? = ×n= (n≥2). 2 2 1 当n=1时,a1= ×(3×1+1)=2符合公式, 2 3 2 n ∴an=2n +2.

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1.因为数列可以看作是一类特殊的函数,因而数列也具 备一般函数应具备的性质. 2.求数列的最大(小)项,一般可以先研究数列的单调
?a ≥a - ? n n 1 性,可以用 ? ?an≥an+1 ? ?a ≤a - ? n n 1 或? ?an≤an+1 ?

,也可以转化为函数最

值问题或利用数形结合. 3.求数列中的某一项,若此项的项数较大可考虑周期 性.
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已知数列{an}. (1)若an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n为何值时,an有最小值?并求出最小值. (2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>an成立.求 实数k的取值范围.

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【思路启迪】 (1)求使an<0的n值;从二次函数看an的 最小值.(2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作相应 的解析式f(n)=n2+kn+4.f(n)在N*上单调递增,但自变量不 连续.从二次函数的对称轴研究单调性.

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【解】 (1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4. ∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为a2,a3. 52 9 5 ②∵an=n -5n+4=(n-2) -4的对称轴方程为n=2.
2

又n∈N*,∴n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. (2)由an+1>an知该数列是一个递增数列,又因为通项公
式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n k 3 ∈N ,所以-2<2,即得k>-3.
*

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(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正 整数集N*上的二次函数,因此可以利用二次函数的对称轴 来研究其单调性,得到实数k的取值范围,使问题得到解 决. (2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二 次函数对称轴位置的选取. (3)易错分析:本题易错答为k>-2.原因是忽略了数列作 为函数的特殊性,即自变量是正整数.
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an 已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值 n 为________.

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解析:由an+1-an=2n得,a2-a1=2,a3-a2=4,a4- a3=6,?,an-an-1=2(n-1)(n≥2),将这n-1个式子累加 2+?2n-2? 得an-a1=2+4+6+?+(2n-2)= ×(n-1)=n2 2 -n. ∴an=a1+n2-n=n2-n+33(n≥2), a1=33也适合上式,∴an=n2-n+33.
2 an n -n+33 33 ∴ = =n+ -1, n n n an 21 由函数单调性可知当n=6时, 有最小值 2 . n 21 答案: 2

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(对应学生用书P111)
易错点 忽视公式的使用条件致误

若数列{an}满足a1+3a2+3 a3+?+3 N*),则an=________.

2

n-1

n+1 an= 3 (n∈

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【错解】
2

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∵a1+3a2+3 a3+?+3
n-2

n-1

n+1 an = 3

① ②

∴a1+3a2+?+3 ①-②,得3
n-1

n an-1=3

1 1 an= ,an= n, 3 3

1 ∴该数列的通项公式为an= n. 3

【错因分析】 本题的错误原因是忽视了a1+3a2+? +3
n-2

n an-1= 中n≥2,使得计算过程中出现了考虑不全面的 3

错误.
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2 【正确解答】 当 n=1 时,a1= ; 3 当 n≥2 时, a1+3a2+?+3 a1+3a2+?+3 ①-②,得 3
n-1

n+1 an= 3 n an-1= 3

① ②

n-2

n -1

1 1 an= ,an= n, 3 3

?2 ?3,n=1 2 ∵a1=3不适合上式,∴an=? ? 1n,n≥2 ?3
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在利用 Sn 求 an 时, 一定要验证 n=1 与 n≥2 时能否统一 到一个式子中.另外在根据数列的前几项写数列的通项公式 时,要注意有些数列的通项公式并不是惟一的.

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已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+b, n}的通项公式. 求{a

解析:a1=S1=3+b. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·n-1. 3 当 b=-1 时,a1 适合此式,此时 an=2·n 3 当 b≠-1 时,a1 不适合此式,此时
?3+b ?n=1? ? an=? n-1 . ?2· ?n≥2? ? 3 ?3+b?n=1? ? 答案:an=? n-1 ?2· ?n≥2? ? 3
-1

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1.用归纳法据前几项写出数列的一个通项公式,体现 了由特殊到一般的思维方法,需要我们有一定的数学观察能 力和分析能力,并熟知一些常见的数列的通项公式,如:数 列{n2},{2n},{(-1)n},{2n},{2n-1}. 2.对于符号(数字、字母、运算符号、关系符号)、图形、 文字所表示的数学问题,要有目的的观察并得出结论,是学 习数学应重视的能力,应多进行对比,分析,从整体到局部 多角度进行观察,观察的结果要求要准确、完整、深刻.
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3.求数列的通项公式是本节的重点,主要掌握以下求 法: (1)由数列的前几项归纳出一个通项公式,关键是善于观 察. (2)数列{an}的前 n 项和 Sn 与数列{an}的通项公式 an 的关 系,要注意验证能否统一到一个式子中. (3)an+1=Pan+q 这种形式通常化为 an+1+λ=P(an+λ)由 待定系数法求出“λ”,再化为等比数列. (4)累加或累乘.
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