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2017届河北省石家庄市第二中学高三上学期联考第三期(期中)考试数学(理)试题(图片版)_图文



1第



2第



3第



4第

石家庄市第二中学 2017 届高三第三次联考第三期 理科数学参考答案
1-5 DBCAD 6-10 DBCAD 11-12 AB

5 16 ②③④ cos C cos A ? cos B ? 17(1)因为 sin C sin A ? sin B
13 -10 14 4 15 所以 cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos A ? sin C cos B 即 cos C sin A ? sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin B 得 sin( A ? C ) ? sin(C ? B) ……………………………3 分 所以 A ? C ? C ? B或A ? C ? ? ? (C ? B) 不可能 即 2C ? A ? B 得 C ? (2)因为 c ? 2 , 所以 cos C ?

?
3

.
……………………………5 分

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? 4 1 ? ? 2ab 2ab 2 2 2 a ? b ? 4 ? ab .
……………………………………………………8 分

2ab ? 4 ? ab,? ab ? 4 (当且仅当 a ? b ? 2 取等号)

S?ABC ?

1 1 3 ab sin C ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

……………………10 分

18.解析(1)由 an?1 ? 3an ? 2, n ? 2 可得 an?1 ?1 ? 3(an ?1), n ? 2 ,

当n ? 2时, ?an ?1?是首项为2,q=3的等比数列,
an ? 2 ? 3
n ?2

…………………………………………4 分

? 1, n ? 2

则 an ? ?

7, n ? 1, n?2 ?2 ? 3 ? 1, n ? 2. ?

………………………………………………5 分

(2)由 b1 ? 3, bn ? 可得 cnbn ? ?

3, ? n?2 ?(n ? 2) ? 3 , n ? 2

? 1, n ? 1, an ? 1 n ? 2 ? 3 , n ? 2 及 cn ? ? 2 ?n ? 2, n ? 2. n ?1
………………………………………………7 分

Tn ? 3 ? 0 ? 30 ?1? 31 ? 2 ? 32 ? ?? (n ? 3)3n?3 ? (n ? 2)3n?2 . ①
3Tn ? 32 ? 0 ? 31 ?1? 32 ? 2 ? 33 ? ?? (n ? 3)3n?2 ? (n ? 2)3n?1





-②:
5第

?2Tn ? ?6 ? 0 ? 31 ? 32 ? ?? 3n?2 ? (n ? 2)3n?1
………………………………………………10 分

?2Tn ? ?6 ?

3(1 ? 3 ) ? (n ? 2)3n?1 1? 3 2n ? 5 n ?1 15 Tn ? ( )3 ? 4 4

n?2

……………………………………………12 分

G ,连接 DG .在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 ACC1 A1 是平行 19. (1)证明:连接 AC1 交 AC 1 于点
四边形, ∴ AG ? GC1 . ∵ AD ? DB , ∴ BC1 ∥平面 A 1DC . 点,连接 AE , AF , EF 则 ∴ DG ∥ BC1 . ………………………2 分 ∵ DG ? 平面 A 1 DC , BC1 ? 平面 A 1 DC , …………………………5 分 (2)几何体 ABB1C1C 为四棱锥, E , F 分别为 BC , B1C1 的中

? 10 ? ? 1 ?2 3 3 2 2 , AF ? AB1 ? B1F ? ? AE ? ? ? ……… ? 2 ? ? ?? 2 2 ? ? ?2?
…………7 分 又因为 ?AEF中AE ? AF ? EF
2 2 2

2

? AE ? AF

? BC ? BB1,BB1∥EF,∴BC⊥EF, 又BC ? AE , AE ? EF ? E ,∴BC⊥平面AEF 又BC ? 平面BB1C1C

平面AEF ? 平面BB1C1C …………………………………………10 分 AE ? AF 3 ? 过 A点作AH ? 平面BB1C1C ,则 AH ? EF 4 1 3 3 …………………………………12 分 VABB1C1C ? 3 ? 1? ? 3 4 4
20(Ⅰ)证明:由已知,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 因为 DA ? AF , DA ? AE , AE ? AF ? A
D C

DA ? 面ABE ,所以平面 ABCD ? 平面 ABE ,…………2 分
又 CB ? AB ,所以 CB ? AE ………3 分 又点 B 在面 AEC 的射影在线段 EC 上,设为 H ,则 AE ? BH 所以 AE ? 面BCE ,又 BE ? 面BCE ,所以 AE ? EB ……………4 分 (Ⅱ) 以 A 为原点, 垂直于平面 ABCD 的直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,
F A E

H B G

AD 为 z 轴,如图所示建立空间直角坐标系 A ? xyz ,
由已知


D

z

C

AF AE 3 ?? ? , 假设存在 ? , 使二面角 B ? AC ? E 的余弦值为 . BG BE 3
6第
F A E

H B G

y

x

设 E (a, b,0) ,则 AE ? (a, b,0) , AC ? (0, 2, 2) 法一:设平面 AEC 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,

??? ?

??? ?

?

??? ? ? ? b ? ? ?ax ? by ? 0 ? AE ? n ? 0 ? x ? ? y, 则 ? ???? ? ? ,即 ? ,解得 ? a ……………………5 分 ?2 y ? 2 z ? 0 ? ? ? AC ? n ? 0 ? z ? ? y. ? 令 y ? a ,得 n ? (?b, a, ?a) 是平面 EAC 的一个法向量. ?? 又平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) , ?? ? ?? ? b m?n 3 ? 由 cos m, n ? ?? ? ? ,化简得 a 2 ? b 2 ①………7 分 2 2 3 m?n 2a ? b
又因为 AE ? 平面 BCE ,所以 AE ? BE , 所以 AE ? BE ? 0 ,即 a 2 ? b(b ? 2) ? 0 ②, 联立①②,解得 b ? 0 (舍) , b ? 1.
2 2 由 AE ? a ? b , BE ?

??? ? ??? ?

…………………9 分

a 2 ? (b ? 2) 2 ,所以 AE ? BE .

所以当 ? ? 1 时,二面角 B ? AC ? E 的余弦值为

3 . …………………12 分 3
D C

法二:如图,作 EM ? AB 于 M , EN ? AC 于 N ,连接 MN , 则 ?MNE 为二面角 B ? AC ? E 的平面角,

3 ………………7 分 得 tan ?MNE ? 2 3 2? 2 AF AE ?? ? 由 ,可得 AE ? , BE ? , ……………9 分 BG BE 1 ? ?2 1 ? ?2 由cos ?MNE ?
2? 2? 2? , ME ? ,……………11 分 ? MN ? 2 2 1 ? ?2 1? ? 1? ? ME 2 所以 tan?MNE ? ? ? 2 ? ? ? 1 . ……………12 分 MN ?
于是得到 AM ?
2 2

N

H M B G

F

A E

21 解: (1)若一切线垂直 x 轴,则另一条切线垂直于 y 轴,这样的 P( x0 , y0 ) 点有 4 个,它们的坐标 分别为 ? 3, ?1 , 若两切线都不垂直坐标轴,设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 联 立

?

?

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3



2 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3 ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 ……………………3 分 ? ? 2 2 2 y ? kx0 ? ? 1? (3k 2 ? 1) ? 0 依题意, ? ? 0,即(6k)( y0 ? kx0 ) ? 12 ? ?? 0 ? 2 2 2 ( x0 ? 3)k ? 2x0 y0k ? y0 ?1 ? 0

? k1k2 ? ?1,?


y0 2 ? 1 ? ?1 ,即 x02 ? y02 ? 4 2 x 0 ?3
7第

……………………6 分

? ? 3, ?1 在x02 ? y02 ? 4上
? P点的轨迹方程为x2 ? y 2 ? 4
(2)若过 Q 点的直线斜率不存在,则直线为 x ? ……………………7 分

?

?

2 ,交 x2 ? y 2 ? 4 于 C

?

2, 2 , D

? ?

2, ? 2 则

?

CD ? 2 2
符合题意; ………………………………………………………8 分 若过 Q 点的直线斜率存在,设直线方程为 l : y ? 2 ? k x ? 2 ,圆 x2 ? y 2 ? 4 圆心 ? 0, 0 ? 到 l 的 距离为 d ?

? 2 ?k ? 2 1? k
2

?

? ? k ?1

?

?

2
2

1? k

? 2 …………………………………………………………9 分

? k ? 1?

2

? 1+k 2
…………………………………………………………11 分 ………………………………………………………12 分

k ? 0 ,所以直线方程为 y ? 2 ,
综上 l 的方程为: y ? 2, x ? 2 .

22.解析: (Ⅰ)因 f ( x) ? F ( x) ? a( x ?1) ? e x (ax ?1) , f ?( x) ? e x (ax ? a ?1) . 所以,当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,即 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递减;…………………………… 1分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 的解为 ? x | x ? ? 1? , 即 f ( x) 在 ( ? 1, ?? ) 上单调递增,在 ( ??, 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 的解为 ? x | x ? ? 1? , 即 f ( x) 在 ( ??, ? 1) 上单调递增, 在( 分

? ?

1 a

? ?

1 a

1 ? 1) 上单调递减; …………………………3 a

? ?

1 a

? ?

1 a

1 ? 1, ?? ) 上单调递减. …………………………5 a

(Ⅱ) 方法一: 若有多于两个整数 xi (i ? 1,2,?, n) ,使得 F ( xi ) ? 0 成立,则 a xe ? x ? 1 ? e 有两个
x x

?

?

以上整数解.

x x x 因为 y ? x e ?1 ? 1 ,当 x ? 0 时, e ? 1 ? 0 , x e ?1 ? 1 ? 0 ;

?

?

x 当 x ? 0 时, e ? 1 ? 0 , x e x ?1 ? 1 ? 0 ,…………………………………………………………7 分

?

?

?

?

所以, a ? 设 g ( x) ?

ex 有两个以上整数解. xe x ? x ? 1

ex e x (2 ? x ? e x ) ? g ( x ) ? ,则 , xe x ? x ? 1 ( xex ? x ? 1) 2
x x

令 h?x ? ? 2 ? x ? e ,则 h??x? ? ?1 ? e ? 0 ,

又 h?0? ? 1 ? 0, h ?1? ? 1 ? e ? 0 ,所以 ?x0 ? ?0,1? ,使得 h?x0 ? ? 0 ,

? g ?x ? 在 ?- ?, x0 ? 为增函数, 在 ?x0 ,??? 为减函数,

…………………………………………10 分



8第

ex 1 e2 a ? g ( ? 1) ? , 或 a ? g (2) ? 有两个以上整数解的充要条件是 ?a ? xe x ? x ? 1 2e ? 1 2e2 ? 1
e2 . …………………………………………12 分 2e 2 ? 1 方法二: F ( x) ? e x (ax ?1) ? a( x ?1) ? 0 ? ex (ax ?1) ? a( x ?1)
解得 a ? 设 g ( x) ? a( x ? 1) ,问题转化为 f ( xi ) ? g ( xi ) ,有三个或三个以上整数 xi 的解 (i ? 1, 2,3,? n, n ? 3) 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?e x , g( x) ? 0 ,此时 f ( x) ? g ( x) 的解集为 R,此情况成立;…………………7 分 当 a ? 0 时, f (0) ? ?1 ? g (0) ? ?a , f (1) ? e(a ? 1) ? g (1) ? 0 , f (2) ? e2 (2a ?1) ? g (2) ? a . 可见 f ( x) ? g ( x) 的解集不仅仅两个整数解,此情况成立; …………………8 分 当 a ? 0 时, 由(Ⅰ)可知 f ( x ) 的极值点为

1 ?1, a
1? a a

又 f (0) ? ?1 , g(1) ? 0 , f ( ? 1) ? e

1 a

1 (?a) ,而且, f ( x) 仅有一个零点 . a

1? a 1 1 ? 1 ,即 a ? 1 时,由(Ⅰ)知 f ( x) 的单调性,以及 f ( ? 1) ? e a (?a) ? 0 , a a 有 f ( x) 与 g ( x) 的草图如下: 1 因 ?1 ? ? 1 ? 0 , a ] f ( x) 单 调 递 减 , g ( x) 单 调 递 增 , 所 以 所 以 在 (? ?, ?1上 a ?1 f ( xm ) i? f? ( 1? ) ? . n e g ( x)max ? g (?1) ? ?2a ,所以在 (??, ?1] 上 f ( x) ? g ( x) 恒成立.

若0 ?

又 f (0) ? ?1 ? g (0) ? ?a ,在 x ? [1, ??) 上,又 a ? 1 ,所以, e x ? 1 , ax ? 1 ? 0 , 所以 f ( x) ? ex (ax ?1) ? ax ? 1 ? a( x ? 1) ? a ? 1 ? a( x ? 1) ? g ( x) 所以在 a ? 1 时,在 R 上没有使得 f ( x) ? g ( x) 的整数解存在;

1 ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x) 与 g ( x) 的草图如下: a 因为 f (0) ? ?1 ? ?a ? g (0) , f (1) ? e(a ? 1) ? 0 ? g (1) ,


f (?1) ? g(?1)或f (2) ? g (2) 成立即可,解得 0 ? a ?
综上所述: a ?

e2 . 2e2 ? 1

e2 2e 2 ? 1

…………………12 分



9第


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