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用二分法求方程的近似解PPT课件_图文

请你思考 从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点 发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般 至少需要检查接点的个数为 个。 上海A B C D E F G H I J K L M N O旧金山 问题2 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房 到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这上一 条10km长的线路,如何迅速查出故障所在? 方法分析: 算一算:要把故障可能发生的范围缩小到 50~100m左右,即一两根电线杆附近, 要检查多少次? 7次 定义:每次取中点,将区间一分为二,再经比较, 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法, 也叫对分法,常用于: 查找线路电线、水管、气管等管道线路故障 实验设计、资料查询; 是方程求根的常用方法! 提出问题: 1.能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0(不用公式解) (3) x3+3x-1=0 2.能否求出它们的近似解? 3.什么方法? y 4 y=4-x 4 y=2x 1 0 12 x 4.能否找到其它的方法,使解更精确? 探究解法 ( 1 )不解方程,如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解(精确到0.1)? 方法:引出借助函数 f(x)= x2-2x-1 的图 象,能够缩小根所在的区间,并根据 f(2)<0,f(3)>0 ,可得出根所在区间为 y (2,3). y=x2-2x-1 指出:用配方法求得方 程的解,但此法不能运 用于解另外两个方程。 x -1 0 1 2 3 方法探究 如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . (精确到0.1) 2 2 + - + 2.5 3 3 f(2)<0,f(3)>0 f(2)<0,f(2.5)>0 f(2.25)<0,f(2.5)>0 2<x1<3 2<x1<2.5 2.25<x1<2.5 2.375<x1<2.5 2.375<x1<2.4375 + 2.5 3 3 3 2 2 2 2.25 - + 2.375 2.5 f(2.375)<0,f(2.5)>0 f(2.375)<0,f(2.4375)>0 - + 2.375 2.475 (2)能否简述上述求方程近似解的过程? (3)二分法(bisection method):象上面这种求方程 近似解的方法称为二分法,它是求一元方程近似解的常用 方法。 定义如下: 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过 不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的 两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做 二分法(bisection) 自行探究 利用计算器,求方程 lgx=3 - x的近似解.(精确到0.1) 解:画出y=lg x及y=3 -x的图象,观察图象得,方程lgx=3 - x 有唯一解,记为x,且这个解在区间(2,3)内。 设 f (x)=lgx+x -3 根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值 符号 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0 ( 2, 3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) f(2)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(2.75)>0 f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.5 2.75 2.625 2.5625 (2.5625,2.625) f(2.5625)<0,f(2.625)>0 因为2.5625,2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的 近似解为x1≈2.6 . 例题处理 ? 求函数 3)内的零点. 在区间(2, ? 列表: 解答方式 f(a) f(b) 负 正 负 正 负 正 负 正 负 正 负 正 负 正 负 正 f(x1 ) -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 (a,b) 中点x1 (2 , 3) 2.5 (2.5,3) 2.75 (2.5,2.75) 2.625 (2.5,2.625) 2.5625 (2.5,2.5625) 2.53125 (2.53125,2.5625) 2.546875 (2.53125,2.546875) 2.5390625 (2.53125,2.5390625) 归纳总结 用二分法求方程 f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤: 1、寻找解所在区间 (1)图象法 先画出y= f(x)图象,观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围; 或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标的 范围。 (2)函数法 把方程均转换为 f(x)=0的形式,再利用函数y=f(x)的有关性质 (如单调性)来判断解所在的区间。 2、不断二分解所在的区间 若 (1)若 ,由 由 , ,则 ,则 , 则 (2)若 (3)若 对(1)、(2)两种情形再继续二分解所在的区间. 3、根据精确度得出近似解 当 ,且m, n根据精确度得到的近似值均为同 一个值P时,则x1≈P ,即求得近似解。 练习: 求方程x3+3x-1=0的一个近似解。(精确到0.1) 画y=x3+3x-1的图象比较困难, 变形为x3=1-3x,画两个函数的图象如何? 解:令f(x)=x3+3x-1, 有f(0)<0,f(1)>0,则方程的解在 0,1之间。 根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符 号 f(0.5)>0 f(0.25)<0 f(0.375)>0 f(0.3125)<0 ( 0, 1) (0,0.5) (0.25,0.5) (0.25,0.375) (0.25,0.3125) f(0)<0,f(1)>0 f(0)<0,f(0.5)>0 f(0.25)<0,f(0.5)

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