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第10讲+平面几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编+Word版含解析

2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 10 讲:平面几何 ⌒的中点.过 1、 (2009 二试 1)如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧⌒ BC 、AC 点 C 作 PC ∥ MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; ⌒(不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , , ) ⑵在弧AB T B ,记 ?AQC , △QCB 的内心分别为 I1 , I 2 , 求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. P N I T A Q A C M N P C M I T P N C M I I2 B B I1 A B T Q 【解析】⑴连 NI , MI .由于 PC ∥ MN , P , C , M , N 共圆, 故 PCMN 是等腰梯形.因此 NP ? MC , PM ? NC . 连 AM , CI ,则 AM 与 CI 交于 I ,因为 ?MIC ? ?MAC ? ?ACI ? ?MCB ? ?BCI ? ?MCI ,所以 MC ? MI . 同理 NC ? NI . 于是 NP ? MI , PM ? NI . 故四边形 MPNI 为平行四边形.因此 S△PMT ? S△PNT (同底,等高) . 又 P , N , T , M 四点共圆,故 ?TNP ? ?PMT ? 180? ,由三角形面积公式 1 1 1 S△PMT ? PM ? MT sin ?PMT ? S△PNT ? PN ? NT sin ?PNT ? PN ? NT sin ?PMT 2 2 2 于是 PM ? MT ? PN ? NT . 又因 ?I1 NT ? ?QNT ? ?QMT ? ?I 2 MT ,有 ?I1 NT ∽ ?I 2 MT . 故 ?NTI1 ? ?MTI 2 ,从而 ?I1QI 2 ? ?NQM ? ?NTM ? ?I1TI 2 . 因此 Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. 2、 (2010 二试 1)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) ,D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共 圆. A O B EK D C P Q N M 2 2 2 2 2 同理 QK ? QO ? r ? KO ? r , ? ? ? 2 ? 所以 PO ? PK ? QO ? QK , 2 2 2 故 OK ⊥ PQ .由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是 AQ AP ? .① QN PM 由梅内劳斯(Menelaus)定理,得 NB DE AQ ? ? ? 1 ,② BD EA QN MC DE AP ? ? ? 1 .③ CD EA PM NB MC ND MD ? ? 由①,②,③可得 ,所以 ,故△DMN∽△DCB,于是 ?DMN ? ?DCB ,所以 BC∥MN, BD CD BD DC 故 OK⊥BC,即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆. 注 1:“ PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使得 2 PK ? KF ? AK ? KE ,④ 则 P,E,F,A 四点共圆,故 ?PFE ? ?PAE ? ?BCE , 从而 E,C,F,K 四点共圆,于是 PK ? PF ? PE ? PC ,⑤ ⑤-④,得 PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) . 注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似. A O F B EK D P C Q N M 3、 (2011 二试 1)如图, P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD的对角线 AC, BD 的中点.若 ?BPA? ?DPA,证 明: ?AQB ? ?CQB . 【解析】延长线段 DP 与圆交于另一点 E ,则 ?CPE ? ?DPA? ?BPA,又 P 是线段 AC 的中点,故 AB ? CE , 从而 ?CDP ? ?BDA. ? ? 又 ?ABD? ?PCD,所以△ ABD∽△ PCD,于是 从而有 AB ? CD ? 即 AB BQ . ? AC CD AB PC ,即 AB? CD ? PC? BD . ? BD CD 1 1 AC ? BD ? AC ? ( BD) ? AC ? BQ , 2 2 又 ?ABQ ? ?ACD ,所以△ABQ∽△ACD,所以 ?QAB ? ?DAC . 延长线段 AQ 与圆交于另一点 F ,则 ?CAB ? ?DAF ,故 BC ? DF . 又因为 Q 为 BD 的中点,所以 ?CQB ? ?DQF . 又 ?AQB ? ?DQF ,所以 ?AQB ? ?CQB . ? ? 4、 (2012 二试 1) 如图, 在锐角 ?ABC 中,AB ? AC , M , N 是 BC 边上不同的两点, 使得 ?BAM ? ?CAN . 设 ?ABC 和 ?AMN 的外心分别为 O1 , O2 ,求证: O1 , O2 , A 三点共线. A B M N C 是 ? O1 的切线.因此 ?B ? ?PAC , 因为 ?BAM ? ?CAN , 所以 ?AMP ? ?B ? ?BAM ? ?PAC ? ?CAN ? ?PAN 因而 AP 是 ? AMN 的外接圆 O2 的切线, 故 AP ? AO2 . 所以 O1 , O2 , A 三点共线. 5、 (2013 二试 1) (本题满分 40 分)如图, AB 是圆 ? 的一条弦, P 为弧 A

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