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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式


第十八讲

两角和与差及二倍角公式

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) π 7π 4 1.已知 cos?α-6?+sinα= 3,则 sin?α+ 6 ?的值是( ? ? ? ? 5 2 3 A.- 5 4 C.- 5 π 4 解析:∵cos?α-6?+sinα= 3 ? ? 5 ∴ 3 3 4 4 1 3 cosα+ sinα= 3, 3? cosα+ sinα?= 3, 2 2 5 2 ?2 ? 5 2 3 B. 5 4 D. 5 )

π π 4 4 3?sin?6+α??= 3,∴sin?6+α?= , ? ? ?? 5 ? ? 5 7 π 4 ∴sin?α+6π?=-sin?6+α?=- . ? ? ? ? 5 答案:C π 5 π 3 2.已知 cos?6-α?= ,则 cos?6π+α?-sin2?α-6?的值是( ? ? 3 ? ? ? ? 2+ 3 A. 3 2+ 3 B.- 3 )

2- 3 -2+ 3 C. D. 3 3 5 π 解析:∵cos?6π+α?=cos?π-?6-α?? ? ? ? ? ?? π 3 =-cos?6-α?=- . ? ? 3 π π 1 2 而 sin2?α-6?=1-cos2?α-6?=1- = , ? ? ? ? 3 3 所以原式=- 答案:B 3.若 sinα= π π A.- B. 4 4 π π C.± D. 4 3 5 10 ,sinβ= ,且 α、β 为锐角,则 α+β 的值为( 5 10 ) 2+ 3 3 2 - =- . 3 3 3

解析:解法一:依题意有 cosα= cosβ= 1-? 10?2 3 10 = , 10 10 ? ?

1-?

5?2 2 5 = , 5 5? ?

2 5 3 10 5 10 2 ∴cos(α+β)= × - × = >0. 5 10 5 10 2 π ∵α,β 都是锐角,∴0<α+β<π,∴α+β= . 4 解法二:∵α,β 都是锐角,且 sinα= sinβ= 10 2 < , 10 2 5 2 < , 5 2

π π ∴0<α,β< ,0<α+β< , 4 2 ∴cosα= 1-? 1-? 5?2 2 5 = , 5 ?5?

cosβ=

10?2 3 10 = , 10 ? 10 ?

sin(α+β)= π ∴α+β= . 4 答案:B

5 3 10 10 2 5 2 × + × = . 5 10 10 5 2

4 5 4.在△ABC 中,若 cosA= ,cosB= ,则 cosC 的值是( 5 13 16 A. 65 16 56 C. 或 65 65 56 B. 65 16 D.- 65

)

4 5 π π 解析:在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,cosA= >0,cosB= >0,得 0<A< ,0<B< ,从而 sinA 5 13 2 2 3 12 = ,sinB= , 5 13 所以 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =sinA· sinB-cosA· cosB 3 12 4 5 16 = × - × = ,故选 A. 5 13 5 13 65 答案:A

5.若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ 的值等于( A.0 B.± 3 C.0 或 3 D.0 或± 3

)

1 解析:由 cos2θ+cosθ=0 得 2cos2θ-1+cosθ=0,所以 cosθ=-1 或 .当 cosθ=-1 时,有 sinθ=0; 2 1 3 当 cosθ= 时,有 sinθ=± .于是 sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 或 3或- 3. 2 2 答案:D 评析:本题主要考查三角函数的基本运算,同角三角函数关系式以及倍角公式.解题关键是熟练掌握 公式,并注意不能出现丢解错误. 6.(2011· 海口质检)在△ABC 中,已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析:sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=sin[(A-B)+B]=sinA≥1,又 sinA≤1,∴sinA=1,A=90° , 故△ABC 为直角三角形. 答案:A 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7. 2cos10° -sin20° 的值是________. sin70° )

2cos(30° -20° )-sin20° 解析:原式= sin70° = = 2(cos30°cos20° · +sin30°sin20° · )-sin20° sin70° 3cos20° = 3. cos20°

答案: 3 π π π 12 cos2α 8.已知 cos?4-α?= ,α∈?0,4?则 (α∈?0,4?)=________. ? ? 13 ? ? ? ? π sin?4+α? ? ? cos2α-sin2α cos2α 解析:∵ = π 2 sin?4+α? ? ? 2 (sinα+cosα) = (cosα-sinα)(cosα+sinα) 2 (sinα+cosα) 2

π = 2(cosα-sinα)=2sin?4-α?. ? ? π π π 又 α∈?0,4?,则 -α∈?0,4?. ? ? ? ? 4 π π 12 5 由 cos?4-α?= ,则 sin?4-α?= . ? ? 13 ? ? 13 10 ∴原式= . 13 10 答案: 13 9.(1+ 3tan10° cos40° )· =________. 解析:(1+ 3tan10° )cos40° ?1+ =

?

3sin10° ?cos40° cos10° ?

= = =

3sin10° +cos10° · cos40° cos10° 2sin(10° +30° ) · cos40° cos10° 2sin40° cos40° sin80° = =1. cos10° cos10°

答案:1 10.已知 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则角 α=________. 解析:依题意有 cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ, 即 cosα(cosβ+sinβ)=sinα(sinβ+cosβ). ∵α、β 均为锐角 ∴sinβ+cosβ≠0,必有 cosα=sinα π ∴α= . 4 π 答案: 4 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边分别与单位圆相 交于 A、B 两点.已知 A、B 的横坐标分别为 2 2 5 , . 10 5

(1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值. 解:由已知得 cosα= ∴sinα= 1-cos2α= 1 ∴tanα=7,tanβ= . 2 1 7+ 2 tanα+tanβ (1)tan(α+β)= = =-3. 1 1-tanα· tanβ 1-7× 2 1 2× 2 2tanβ 4 (2)∵tan2β= = , 2 = 1?2 3 1-tan β 1-?2? ? 4 7+ 3 tanα+tan2β ∴tan(α+2β)= = =-1. 4 1-tanα· tan2β 1-7× 3 3π 3π ∵α、β 为锐角,∴0<α+2β< ,∴α+2β= . 2 4 1 13 π 12.已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< . 7 14 2 (1)求 tan2α 的值; (2)求 β 的值. 分析:由已知可求 sinα,进而可求 tanα,tan2α;由角的关系入手,利用角的变换 β=α-(α-β)可求得 cosβ. 1 π 解:(1)由 cosα= ,0<α< , 7 2 2 2 5 ,cosβ= .∵α,β 为锐角, 10 5 7 2 5 ,sinβ= 1-cos2β= . 10 5

得 sinα= 1-cos2α=

1 4 3 1-?7?2= . ? ? 7

sinα 4 3 7 ∴tanα= = × =4 3. cosα 7 1 2×4 3 2tanα 8 3 于是 tan2α= 2 = 2=- 47 . 1-tan α 1-(4 3) π π (2)由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 13 又∵cos(α-β)= , 14 ∴sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π 所以 β= . 3 π 3π π 3 3 5 13.已知 0<β< <α< π,cos?4-α?= ,sin? 4 +β?= ,求 sin(α+β)的值. ? ? 5 ? ? 13 4 4 π 3π 解:∵ <α< , 4 4 3π π π π ∴- <-α<- ,- < -α<0. 4 4 2 4 π π 3 4 又∵cos?4-α?= ,∴sin?4-α?=- . ? ? 5 ? ? 5 π 3π 3π 又∵0<β< ,∴ < +β<π. 4 4 4 3π 5 又∵sin? 4 +β?= , ? ? 13 3π 12 ∴cos? 4 +β?=- , ? ? 13 π ∴sin(α+β)=-cos?2+(α+β)? ? ? 3π π =-cos?? 4 +β?-?4-α?? ?? ? ? ?? 3π π 3π π =-cos? 4 +β?cos?4-α?-sin? 4 +β?sin?4-α? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 14

12 3 5 4 =-?-13?× - ×?-5? ? ? 5 13 ? ? = 36 20 56 + = . 65 65 65

评析:三角函数的给值求值问题 解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公 式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的配角技巧 α 1 1 π π ?π ? α=2· ;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α=2[(α+β)+(α-β)];β=2[(α+β)-(α-β)];4+α=2- 4-α . 2 ? ?


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