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北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷


北京市西城区 2016 - 2017 学年度第二学期期末试卷

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2017.7

三 题号 分数 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? 2an ,那么 a4 ? ( (A) 24 (B) 18 ) (C) (??, ] )
开始

) (D) 12

(C) 16

1 2. 不等式 ≤2 的解集为( x
(A) [ , ??)

1 2

1 (B)(??,0) ? [ , ??) 2

1 2

(D) [2, ??)

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为( (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

S= 0,i =0 S >20
否 是

i=i+1
S ? S ? 2i

输出 i 结束

4. 设直线 l 经过两点 A(2,1), B(?1,3) ,则直线 l 下方的半平面(含直线 l )可以用不等式表示 为( ) (B) 2 x ? 3 y ? 7≤0 (D) 2 x ? 3 y ? 1≤0

(A) 2 x ? 3 y ? 7≥0 (C) 2 x ? 3 y ? 1 ≥0

第1页

共 10 页

5. 在区间 [ ?1,3] 上随机取一个实数 x,则 x 使不等式 | x | ≤2 成立的概率为( (A)



1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

3 4

6. 下表是某校 120 名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表,现用分层抽样的方法 从 [10,15) , [15, 20) , [20, 25) , [25,30) 四组中抽取 20 名学生了解其阅读内容,那么从 这四组中依次抽取的人数是( (A)2,5,8,5 (B)2,5,9,4 (C)4,10,4,2 (D)4,10,3,3 ) 分组 频数 12 30 频率 0.10

[10,15) [15, 20)
[20, 25) [25,30)
合计

a
0.40 0.25 1.00

m
n 120 )

7. 在 ?ABC 中,若 a ? 3 , c ? 2 , cos B ? ,则 ?ABC 的面积为(

1 3

(A)

3 3

(B)

2 3 3

(C)

2 6 3

(D)

4 6 3

8. 以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况.乙队记录中有一个 数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 m 表示.那么在 3 次比赛 中,乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是( (A) 3 5 (C) 7
10



甲队 8 3 2 7 8 9

乙队 0 3 m

(B) 4 5 (D) 9
10

9. 若关于 x 的不等式 2 x ? ( )

2 ≥a 对于一切 x ? (1, ??) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ?1

(A) (??, 4]

(B) [4, ??)

(C) (??,6]

(D) [6, ??)

10. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对边的边长分别为 a , b, c ,给出下列四个结论: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 以 , ,

1 1 1 为边长的三角形一定存在; a b c

以 a , b , c 为边长的三角形一定存在;
2 2 2 以 a , b , c 为边长的三角形一定存在;



a?b b?c c?a , , 为边长的三角形一定存在. 2 2 2
) (C)2
第2页 共 10 页

那么,正确结论的个数为( (A)0 (B)1

(D)3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 11. 函数 f ( x) ? 4 ? x2 的定义域是_______. 12. 在等差数列 {an } 中, a2 ? a4 ? 5 ,则 a3 ? _______. 13. 随机抽取某班 6 名学生, 测量他们的身高 (单位: cm) , 获得身高数据依次为: 162, 168, 170 , 171 , 179 , 182 ,那么此班学生平均身高大约为 为 . cm ;样本数据的方差

? y≤2 x, ? 14. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y≤1, 则 z ? x ? 3 y 的最大值是_______. ? y ? 1≥0, ?
15. 有 4 张卡片,上面分别写有 0,1,2,3. 若从这 4 张卡片中随机取出 2 张组成一个两位 数,则此数为偶数的概率是_______. 16. 在数列 {an } 中, a3 ? 12 , a11 ? ?5 ,且任意连续三项的和均为 11,则 a2017 ? _______; 设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则使得 Sn ≤ 100 成立的最大整数 n ? _______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 13 分) 在等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , a3 ? a5 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)如果 a2 , am , a2 m 成等比数列,求正整数 m 的值.

第3页

共 10 页

18. (本小题满分 13 分) 北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水,从我做起”,小明在他所在学 校的 2000 名同学中,随机调查了 40 名同学家庭中一年的月均用水量 (单位:吨) ,并将月 均用水量分为 6 组: [2, 4) , [4,6) , [6,8) , [8,10) , [10,12) , [12,14] 加以统计,得到如图 所示的频率分布直方图. (Ⅰ)给出图中实数 a 的值; (Ⅱ) 根据样本数据, 估计小明所在学校 2000 名同学家庭中,月均用水量低于 8 吨的约 有多少户; (Ⅲ)在月均用水量大于或等于 10 吨的样本数据中,小明决定随机抽取 2 名同学家庭 进行访谈,求这 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于 [10,12) 组的概率.
频率 组距

0.225

0.100 0.075 a 0.025 2 4 6 8 10 12 14 月均用水量 / 吨

19. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? 2 , cos C ? ? . (Ⅰ)如果 b ? 3 ,求 c 的值; (Ⅱ)如果 c ? 2 6 ,求 sin B 的值.

1 4

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n ,其中 n ? N* . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2an ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若对于任意正整数 n ,都有
1 1 1 + +? + ≤? ,求实数 ? 的最小值. a1a2 a2 a3 an an ?1

第4页

共 10 页

21. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? b ,其中 a , b ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 , b ? ?4 时,求函数 f ( x) 的零点; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 的图象在直线 y ? x ? 2 的上方,证明: b ? 2 ; (Ⅲ)当 b ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 .

22. (本小题满分 14 分)

? an 当an 为偶数, ? , 在无穷数列 {an } 中, a1 ? p 是正整数,且满足 an ?1 ? ? 2 ? a ? 5, 当a 为奇数. n ? n
(Ⅰ)当 a3 ? 9 时,给出 p 的值; (结论不要求证明) (Ⅱ)设 p ? 7 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求 S150 ; (Ⅲ)如果存在 m ? N* ,使得 am ? 1 ,求出符合条件的 p 的所有值.

北京市西城区 2016-2017 学年度第二学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准
2017.7 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1. A 6. A 2. B 7. C 3. B 8. D 4. B 9. C 5. D 10. C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

第5页

共 10 页

11. [?2, 2] ; 14.

12.

7 ; 3

5 ; 2 5 15. ; 9

13. 172,45; 16. 4,29.

注:一题两空的题目,第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设等差数列 {an } 的公差为 d , 则 a3 ? a5 ? 2a1 ? 6d ? 16 , 又因为 a1 ? 2 , 解得 d ? 2 . 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n . (Ⅱ)解:因为 a2 , am , a2 m 成等比数列,
2 所以 am ? a2 ? a2m ,

?????????3 分

?????????5 分 ?????????7 分

?????????10 分

即 (2m)2 ? 4 ? 4m , m ? N? , 解得 m ? 4 . ?????????13 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为各组的频率之和为 1,所以月均用水量在区间 [10,12) 的频率为

1 ? (0.025 ? 2 ? 0.075 ? 0.100 ? 0.225) ? 2 ? 0.1 ,
所以,图中实数 a ? 0.1 ? 2 ? 0.050 . (Ⅱ)解:由图可知, 样本数据中月均用水量低于 8 吨的频率为 ?????????3 分

(0.025 ? 0.075 ? 0.225) ? 2 ? 0.65 ,

?????????5 分

所 以 小 明 所 在 学 校 2000 名 同 学 家 庭 中 , 月 均 用 水 量 低 于 8 吨 的 约 有
0.65 ? 2000 ? 1300 (户).

???

??????7 分 (Ⅲ)解:设“这 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于 [10,12) 组”为事件 A, 由图可知, 样本数据中月均用水量在 [10,12) 的户数为 0.050 ? 2 ? 40 ? 4 .记这四名同学家 庭分别为 a, b, c, d , 月均用水量在 [12,14] 的户数为 0.025 ? 2 ? 40 ? 2 .记这两名同学家庭分别为 e, f ,
第6页 共 10 页

则选取的同学家庭的所有可能结果为: (a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),

(b, e),(b, f ),(c, d ),(c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ), 共 15 种,

?????????9 分

事件 A 的可能结果为: (a, e),(a, f ),(b, e),(b, f ), (c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ), 共 8 种, ?????????11 分 所以 P( A) ?

8 . 15

?????????13 分

19.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , 得 c2 ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 16 , 解得 c ? 4 . ?????????5 分 ?????????3 分

1 4

(Ⅱ)解: (方法一)由 cos C ? ? , C ? (0, π) ,得 sin C ? 1 ? cos 2 C ?

1 4

15 . 4

??7 分

由正弦定理

a c a sin C 10 . ? ,得 sin A ? ? sin A sin C c 8

????????10 分

2 所以 cos A ? 1 ? sin A ?

3 6 . 8

因为 A ? B ? C ? π , 所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?????????12 分 ?????????13 分

?

10 1 3 6 15 10 ? (? ) ? ? ? . 8 4 8 4 4

(方法二)由 cos C ? ? , C ? (0, π) ,得 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , 得 24 ? 4 ? b2 ? 2 ? 2 ? b ? (? ) , 解得 b ? 4 ,或 b ? ?5 (舍). 由正弦定理

1 4

15 . ????7 分 4

1 4

?????????10 分 ?????????13 分

b c b sin C 10 . ? ,得 sin B ? ? sin B sin C c 4

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3 ; ?????????1 分

第7页

共 10 页

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 5 , 因为 a1 ? ?3 符合上式, 所以 an ? 2n ? 5 (n ? N* ) . (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,得 bn ? 22 n?5 ? 1 . 所以 Tn ? b1 ? b 2 ?? ? bn

?????????3 分

?????????4 分 ?????????5 分

? (2?3 ? 1) ? (2?1 ? 1) ? ? ? (22n?5 ? 1) ? (2?3 ? 2?1 ? ? ? 22n?5 ) ? n
2?3 (1 ? 4n ) ?n 1? 4 1 ? (4n ? 1) ? n . 24 ?
(Ⅲ)解: ?????????6 分

?????????9 分

1 1 1 1 1 1 1 + +? + ? ?1? ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1 3 1? 3 3 ? 5 (2n ? 5)(2n ? 3)

2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 2 3 3 5 2n ? 5 2n ? 3 1 1 , ?????????11 分 ?? ? 6 4n ? 6
当 n ? 1 时,

1 1 1 (注:此时 ?0) = , a1a2 3 4n ? 6

由题意,得 ?≥ ; 当 n≥2 时, 因为 所以

1 3

?????????12 分

1 ?0, 4n ? 6
1 1 1 1 + +? + ?? . a1a2 a2 a3 an an ?1 6 1 1 1 + +? + ≤? , a1a2 a2 a3 an an ?1

因为对于任意正整数 n ,都有 所以 ? 的最小值为 .

1 3

?????????13 分

21.(本小题满分 14 分)
2 (Ⅰ)解:由 f ( x) ? x ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?4 ,或 x ? 1 .

所以函数 f ( x) 有零点 ?4 和 1 .
第8页 共 10 页

?????????3 分

(Ⅱ)解: (方法 1)因为 f ( x) 的图象在直线 y ? x ? 2 的上方, 所以 ax2 ? (2a ? 1) x ? b ? x ? 2 对 x ? R 恒成立. 即 ax 2 ? 2ax ? b ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立. 所以当 x ? 0 时上式也成立,代入得 b ? 2 . (方法 2)因为 f ( x) 的图象在直线 y ? x ? 2 的上方, 所以 ax2 ? (2a ? 1) x ? b ? x ? 2 对 x ? R 恒成立. 即 ax 2 ? 2ax ? b ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立. 当 a ? 0 时,显然 b ? 2 . 当 a ? 0 时, 由题意,得 a ? 0 ,且 ? ? (2a) 2 ? 4a(b ? 2) ? 0 , 则 4a(b ? 2) ? 4a 2 ? 0 , 所以 4a(b ? 2) ? 0 ,即 b ? 2 . 综上,b ? 2 . ?????????8 分 ????9 分 ?????????6 分 ?????????5 分 ?????????5 分 ?????????8 分

2 (Ⅲ)解:由题意,得不等式 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0 ,即 (ax ? 1)( x ? 2) ? 0 .

当 a ? 0 时,不等式化简为 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?2 ;

?????????10 分

当 a ? 0 时,解方程 (ax ? 1)( x ? 2) ? 0 ,得根 x1 ? ?2 , x2 ? ?

1 . a

所以,当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? ?2 ,或 x ? ? ; ?????????11 分 当0? a ? 当a ?

1 a

1 1 时,不等式的解为: ? ? x ? ?2 ; 2 a

?????????12 分 ?????????13 分 ?????????14 分

1 时,不等式的解集为 ? ; 2 1 1 当 a ? 时,不等式的解为: ?2 ? x ? ? . 2 a 1 a

综上,当 a ? 0 时,不等式的解集为 {x | x ? ?2 ,或 x ? ? } ;当 a ? 0 时,不等式的解

1 1 1 时,不等式的解集为 {x | ? ? x ? ?2} ;当 a ? 时,不等式 a 2 2 1 1 的解集为 ? ;当 a ? 时,不等式的解集为 {x | ?2 ? x ? ? } . a 2
集为 {x | x ? ?2} ;当 0 ? a ? 22.(本小题满分 14 分)
第9页 共 10 页

(Ⅰ)解: p ? 36 ,或 13. (Ⅱ)解:由题意, a1 ? 7 ,

?????????3 分

代入,得 a2 ? 12 , a3 ? 6 , a4 ? 3 , a5 ? 8 , a6 ? 4 , a7 ? 2 , a8 ? 1 , a9 ? 6 , ? 所以数列 {an } 中的项,从第三项起每隔 6 项重复一次(注: a3 ? a9 ) , ???5 分 故 S150 ? a1 ? a2 ? 24(a3 ? a4 ? ? ? a8 ) ? a3 ? a4 ? a5 ? a6

? 7 ? 12 ? 24(6 ? 3 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1) ? 6 ? 3 ? 8 ? 4
? 616 .

?????????8 分

(Ⅲ)解:由数列 {an } 的定义,知 an ? N* . 设 t 为数列 {an } 中最小的数,即 t ? min{ ai i ? N* } , 又因为当 an 为偶数时, an ?1 ? 所以 t 必为奇数. 设 ak ? t ,则 ak ?1 ? t ? 5 , ak ? 2 ? 所以 t≤

an , 2
?????????9 分

t ?5 , 2

t ?5 ,解得 t≤5 . 2
?????????10 分

所以 t ?{1,3,5} . 如果 ak ? t ? 3 ,

那么由数列 {an } 的定义,得 ak ?1 ? 8 , ak ?2 ? 4 , ak ?3 ? 2 , ak ?4 ? 1 , 这显然与 t ? 3 为 {an } 中最小的数矛盾, 所以 t ? 3 . 如果 ak ? t ? 5 , 当 k ? 1 时, p ? 5 ; 当 k≥2 时,由数列 {an } 的定义,得 ak ?1 能被 5 整除,?,得 a1 ? p 被 5 整除; 所以当且仅当 a1 ? p ? 5r (r ? N* ) 时,t ? 5 . 这与题意不符. 所以当 a1 ? 5r (r ? N* ) 时,数列 {an } 中最小的数 t ? 1 , 即符合条件的 p 值的集合是 {r | r ? N* ,且 r 不能被 5 整除}. ???????14 分
第 10 页 共 10 页

?????????12 分

?????????13 分


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