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2-5 信号流图与梅森公式


2-5

信号流图及梅森公式

是表示复杂系统的又一种图示方法。 是表示复杂系统的又一种图示方法。 重点: 重点: 1)根据系统的结构框图可画出信号流图 2)根据信号流图求系统的传递函数

1

x5

一、信号流图的几个定义
x1

f

x3 输入节点(或源节点): 输入节点(或源节点): d 只有输出支路的节点, 只有输出支路的节点,如x1、 e x 5。 输出节点(或阱节点):只有输入支路的节点,如 ):只有输入支路的节点 输出节点(或阱节点):只有输入支路的节点 如x4。 混合节点:既有输出支路,又有输入支路的节点 又有输入支路的节点,如 混合节点:既有输出支路 又有输入支路的节点 如:x2、 x 3。 两个节点之间的增益叫传输。 传 输:两个节点之间的增益叫传输。如:x1→x2 之间的增益为a,则传输也为a。 之间的增益为 ,则传输也为 。 前向通路:信号由输入节点到输出节点传递时, 前向通路:信号由输入节点到输出节点传递时,每个 节点只通过一次的通路称为前向通路。 节点只通过一次的通路称为前向通路。如 x1→x2→x3→x4 。 2

a

x2

b

c

x4

x5

f

前向通路总增益: 前向通路总增益:前向通路 上各支路增益的乘积 ,如: x1→x2→x3→x4总增益 总增益abc。 。

x1

a

x2

b
x3

c

x4

d

e

回 路:通路的起点就是通路的终点,并且与其它节 通路的起点就是通路的终点, 通路的起点就是通路的终点 相交不多于一次的闭合通路叫回路。 点 相交不多于一次的闭合通路叫回路。 回路增益:回路中,所有支路增益的乘积。图中有两 回路中,所有支路增益的乘积。 回路中 个回路,一个是x 其回路增益为be, 个回路,一个是 2→x3→x2,其回路增益为 , 路是x 又叫自回路,其增益为d。 另一个回 路是 2→x2,又叫自回路,其增益为 。 不接触回路:指相互间没有公共节点的回路。图中无。 指相互间没有公共节点的回路。图中无。 指相互间没有公共节点的回路
3

二、信流图的性质 1、每一个节点表示一个变量。 、每一个节点表示一个变量。 2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关 、 支路上的箭头方向表示信号的流向。 系。支路上的箭头方向表示信号的流向。 3、混合节点可以通过增加一个增益为 的支路变 、混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变 成为输出节点,且两节点的变量相同 且两节点的变量相同。 成为输出节点 且两节点的变量相同。 三、信号流图的绘制 1、根据方框图绘制 、
4

序号

方块图

信号流程图

1

R (s)

G (s)

C (s)

R (s)

G (s) C (s)

R (s) +
2

E (s) G (s)

C (s)

R (s)

1

E (s)

G (s)

C (s)

_

H (s)

? H (s)

N (s)

N (s)
C (s)
1

R (s) +
3

E (s)
_

G1 ( s )

+

+
G2 (s)

R (s)

1 E ( s ) G1 ( s )

G2 (s) C ( s )

H (s)

? H (s) N (s)

R (s)
4

+

E (s)

_

G (s)

+

+

N (s)
C (s) R (s)

1

E (s)

G (s)

1

1 C (s)

C (s)
H (s)

? H (s)
+ +

R1 ( s )

G11(s)

C1 (s )
R1 ( s )

G11 (s)

C1(s)

5

G

21(s)

G12 (s) G12 (s) R2 (s) G
22

R2 (s)

G G

21(s)

C
22

2

(s)

+
(s)

+

C

2

(s)

(s)

5

2、根据线性代数方程组绘制。 、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下: 设一组线性方程式如下:
x1 x2 x3 x4 x5 x1 ax1 dx2 bx2 cx3 x5
x5

ex3 fx5

信流图的表示形式
x1

f

a

x2

b
x3

c

x4

d

e

6

四、梅逊 (Mason)公式 公式
梅森公式的一般式为: 梅森公式的一般式为:
n

G (s) =

∑P ?
K =1 K

K

?
7

梅森公式参数解释: 梅森公式参数解释:
G(s):待求的总传递函数; G(s):待求的总传递函数; Δ称为特征式, 称为特征式, Δ=1且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+… 从输入端到输出端第k Pk:从输入端到输出端第k条前向通路的总 增益; 增益; 将与第k Δk:在Δ中,将与第k条前向通路相接触的 回路所在项除去后所余下的部分,称余子式; 回路所在项除去后所余下的部分,称余子式;
8

所有各回路的“回路传递函数”之和; ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和; 两两互不接触的回路, ΣLiLj:两两互不接触的回路,其“回路传递 函数”乘积之和; 函数”乘积之和; 所有三个互不接触的回路, ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路,其“回 路传递函数”乘积之和; 路传递函数”乘积之和; n:前向通道数; 前向通道数;
9

注意事项: 注意事项:
“回路传递函数”是指反馈回路的前 回路传递函数” 向通路和反馈回路的传递函数的乘积, 向通路和反馈回路的传递函数的乘积, 并且包含代表反馈极性的正 负号。 并且包含代表反馈极性的正、负号。

10

举例说明(梅森公式) 举例说明(梅森公式)
例1:试求如图所示系统的传递函数 :试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)

H4 R(s) G1
-

G2 H2

G3

-

G4 H3

G5

G6

C(s)

H1

11

求解步骤之一(例1) 求解步骤之一(
找出前向通路数n 找出前向通路数
H4 R(s) G1
-

G2 H2

G3

-

G4 H3

G5

G6

C(s)

H1

12

求解步骤之一(例1) 求解步骤之一(
H4 R(s)
-

G1

-

G2 H2

G3

-

G4 H3

G5

G6

C(s)

H1

前向通路数: = 前向通路数:n=1

P1 = G1G2G3G4G5G6

13

求解步骤之二( 求解步骤之二(例1)
确定系统中的反馈回路数
H4 R(s) G1
-

G2 H2

G3

-

G4 H3

G5

G6

C(s)

H1

14

1.寻找反馈回路之一 1.寻找反馈回路之一
H4 R(s)
-

G1

-

G2 H2

G3

-

G4 H3

G5

G6

C(s)

H1 反馈回路1 反馈回路1: L1 = -G1G2G3G4G5G6H1

1

15

1.寻找反馈回路之二 1.寻找反馈回路之二
反馈回路2 : 反馈回路2 L 2 = - G 2G 3 H 2 R(s)
-

H4 G3 H2
2

G1

-

G2

-

G4 H3

G5

G6

C(s)

1

H1

16

1.寻找反馈回路之三 1.寻找反馈回路之三
H4 R(s)
-

反馈回路3 反馈回路3: L3 = - G4G5H3 G4 H3 G5
3 1

G1

-

G2 H2

G3
2

-

G6

C(s)

H1
17

1.寻找反馈回路之四 1.寻找反馈回路之四
反馈回路4 反馈回路4 : L 4 = - G 3 G 4H 4 H4 R(s)
-

G1

-

G2 H2

-

4
-

G3
2

G4 H3

G5
3

G6

C(s)

1

H1
18

1 .求 ?

利用梅森公式求传递函数(1) 利用梅森公式求传递函数(1)
4 i =1

? = 1 ? ∑ Li + ∑ Li L j ? ∑ Li L j Lk + ?
4

∑L
i =1

i

= L1 + L2 + L3 + L4
= L2 L3 = ( ?G2G3 H 2 )( ?G4G5 H 3 ) = G2G3G4G5 H 2 H 3
19

= ?G1G2G3G4G5G6 H 1 ? G2G3 H 2 ? G4G5 H 3 ? G3G4 H 4
i j

∑LL
i j

∑ L L L 不存在
k

利用梅森公式求传递函数(1) 利用梅森公式求传递函数(1)

? =1? ∑Li + ∑Li Lj ? ∑Li Lj Lk +?
i=1

4

=1+G1G2G3G4G5G6H1 +G2G3H2 +G4G5H3 +G3G4H4 +G2G3G4G5H2H3
20

利用梅森公式求传递函数(2) 利用梅森公式求传递函数(2)

2 . 求 Pk , ?k
P1 = G1G2G3G4G5G6

?1 = ?
21

求余子式? 求余子式?1
H4 R(s)
-

G1
-

4
-

G2 H2

G3
2

G4 H3

G5
3

G6

C(s)

1

H1

将第一条前向通道从图上除掉后的图,再用特 征式 ? 的求法,计算 ?1
22

求余式?1 求余式?

将第一条前向通道从图上除掉后的图

图中不再有回路,故?1=1

23

利用梅逊公式, 例2 利用梅逊公式,求:C(s)/R(s) ( ) ( )
G7

G6
R(s)

G1

+ -

G2

G3

+

+

G4
-

G5

+

+ C ( s)

H1
H2

解:画出该系统的信号流程图
G6
R ( s ) G1
G2 G3

G7 G4 ? H1 ?H 2
24

G5

1 C (s)

该系统中有四个独立的回路:
L1 = -G4H1 L3 = -G6G4G5H2 L2 = -G2G7H2 L4 = -G2G3G4G5H2

互不接触的回路有一个L1 L2。所以,特征式
?=1-(L1 + L2 + L3 + L4)+ L1 L2

该系统的前向通道有三个:
P1= G1G2G3G4G5 P2= G1L6G4G5 P3= G1G2G7 ?1=1 ?2=1 ?3=1-L1
25

因此,系统的闭环系统传递函数 因此,系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为 为
C(s) 1 = G = (p1Δ + p2Δ + p3Δ) 1 2 3 R(s) Δ G1G2G3G4G5 + G1G6G4G3 + G1G2G7 (1+ G4H1 ) = 1+ G4H1 + G2G7H2 + G6G4G5H2 + G2G3G4G5H2 + G4H1G2G7H2

26

例3:画出信流图,并利用梅逊公式求取它 : 的传递函数C(s) / R(s)。
R (s)

A

1 R1

B

1 C1 s

D

1 R2

E

1 C2 s

C (s)

信流图:
R( s)

1

A

1 R1

1 C1s

?1
C
1

D

1 R2

1 C2 s

1

C ( s)

B ?1

E
?1
27

注意: 注意:图中C位于比较点的前面,为了引出C处的信 号要用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。 题目中单独回路有L1、L2和L3,互不接触回路有L1L2, 即:
L1 = ?1 R 1 C1 s L2 = ?1 R 2 C 2s L3 = ?1 R 2 C1s L1 L 2 = 1 R 1C1sR 2 C 2 s ? = 1 ? (L1 + L 2 + L 3 ) + L1 L 2 = 1+ 1 1 1 1 + + + R 1 C 1s R 2 C 2 s R 2 C 1 s R 1 C 1 R 2 C 2 s P1 = ?1 R 1 R 2 C1C 2 s 2 ?1 = 1

前向通路只有一条,即 所以

P? C(s) 1 =G= 1 1 = R(s) ? R 1 R 2 C1 C 2 s 2 + R 1 C1s + R 1 C 2 s + 1

28

练习
1 R(s) f a

e g b c h d C(s)

四个单独回路,两个回路互不接触 四个单独回路,

前向通路两条
abcd + ed (1–bg) C(s) = – af – bg – ch– ehgf afch R(s) 1 +

29

作业:
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)

30


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