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问酷网2014年浙江省杭州高级中学高考数学最后一卷(文科)


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2014 年浙江省杭州高级中学高考数学最后一卷 (文 科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|2 A. {x|0<x<1} B. {x|0<x≤1} <1}, B={x|x>1},则集合 A∩ ?UB 等于( C.{x|0<x<2} )

D.{x|x≤1}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合.

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分析: 解指数不等式求得 A,根据补集的定义求得?U B,从而利用两个集合的交集的定义求得 A∩ ?U B. 解答: 2 解:∵ 集合 A={x|2 <1}={x|x ﹣2x<0}={x|0<x<2},B={x|x>1}, ∴ ?UB={x|x≤1}, 则集合 A∩ ?U B={x|0<x≤1}, 故选:B. 点评: 本题主要考查指数不等式的解法,求集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.

2. (5 分)在复平面内,复数 A. 第一象限

对应的点位于(

) C.第三象限 D.第四象限

B. 第二象限

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 难度星级: 一星 专题: 分析: 计算题. 利用复数的除法将 的象限即可. 解答: 解: = = ﹣ i,

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化简为 a+bi(a ,b∈R)形式,则它在复平面内对应点为(a,b) ,判断点所在

它在复平面内对应点为( ,﹣ ) ,在第四象限. 故选 D. 本题考查复数的除法运算和复数与复平面内点的对应关系,属基本概念、基本运算的考查.
2 2

点评:

3. (5 分) (2012?东城区模拟)已知直线 l 过定点(﹣1,1) ,则“直线 l 的斜率为 0”是“直线 l 与圆 x +y =1 相切”的 ( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 难度星级: 五星

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专题: 计算题. 分析: 对充分性和必要性分别加以论证:当直线 l 过定点(﹣1,1 )且斜率为 0 时,方程为 y=1,易得原点到直线 l 的距离等于圆的半径,充分性成立;当直线 l 与圆 x2 +y2 =1 相切时,因为经过点(﹣1,1) ,所以直线 l 的 方程为:x=﹣1 或 y=1,即斜率为 0 或斜率不存在,所以必要性不成立.由此可得正确答案. 解答: 解:先看充分性 当直线 l 过定点(﹣1,1) ,且 l 的斜率为 0 时,直线 l 方程为 y=1, 此时圆 x2 +y2 =1 的圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d=1,恰好等于圆的半径 所以直线 l 与圆 x +y =1 相切,所以充分性成立; 再看必要性 ∵ 直线 l 过定点(﹣1,1) ,且与圆 x2 +y2 =1 相切 ∴ 圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d=1, 可得直线 l 的方程为:x=﹣1 或 y=1,即斜率为 0 或斜率不存在, 所以必要性不成立. 综上所述,得“直线 l 的斜率为 0”是“直线 l 与圆 x2 +y2 =1 相切”的充分不必要条件 故选 A 点评: 本题以坐标系中的直线与圆的位置关系为载体,考查了充分条件、必要条件的判断与应用,属于中档题. 4. (5 分)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( )
2 2

A. π+1

B. 4π+1

C.

π+

D.

4π+

考点: 由三视图求面积、体积.

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专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是圆柱与四棱锥的组合体,根据三视图判断圆柱的母线长与底面半径;判断三棱锥的高与底面三角 形的形状及相关几何量的数据,把数据代入圆柱与棱锥的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是圆柱与四棱锥的组合体, 其中圆柱的母线长为 1,底面直径为 2; 三棱锥的高为 1,底面为直角边长为 ∴ 几何体的体积 V=π×12 ×1+ × × 故选:C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键. × 的等腰直角三角形, ×1=π+ .

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5. (5 分) (2014?黄冈模拟)函数 y=x﹣ A. B.

的图象大致为( C.

) D.

考点: 函数的图象. 难度星级: 五星 专题: 计算题. 分析: 利用 y=x﹣x 解答:

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为奇函数可排除 C,D,再利用 x>1 时,y=x﹣x , )=﹣f(x) ,

>0 再排除一个,即可得答案.

解:令 y=f(x)=x﹣x ∵ f(﹣x)=﹣x+ ∴ y=f(x)=x﹣x

=﹣(x﹣ 为奇函数,

∴ 其图象关于原点成中心对称,故可排除 C,D; 又 x=1 时,y=1﹣1=0, 当 x>1 时,不妨令 x=8,y=8﹣8 故选 A. 点评: 本题考查函数的图象,着重考查函数的奇偶性与单调性,考查识图能力,属于中档题. 6. (5 分) (2010?台州二模)如图,此程序框图 的输出结果为( ) =6>0,可排除 B,

A.

B.

C.

D.

考点: 循环结构. 专题: 计算题.

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分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是输出满足条件 S= + +… + + 的值.

解答: 解:根据题意,本程序框图为求和运算 第 1 次循环:S=0+ 第 2 次循环:S= 第 3 次循环:S= 第 4 次循环:S= 第 5 次循环:S= 此时,K>10 输出 S= (1﹣ )= + + + + + +… + +… + + K=3 K=5 K=7 K=9 K=11

故选 C. 点评: 本题主要考查程序框图,通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行,属于基础题. 7. (5 分) (2014?长春模拟)已知三条不重合的直线 m,n,l 和两个不重合的平面 α,β,下列命题正确的是( A. 若 m∥ n,n?α,则 m∥ α B. 若 α⊥ β,α∩ β=m,n⊥ m,则 n⊥ α C. 若 l⊥ n,m⊥ n,则 l∥ m D.若 l⊥ α ,m ⊥ β,且 l⊥ m,则 α⊥ β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 难度星级: 五星 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断.
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解答: 解:若 m∥ n,n?α, 则 m∥ α,或 m?α,或 A 不正确; 若 α⊥ β,α∩ β=m,n⊥ m, 则 n 与 α 相交或 n∥ α 或 n?α,故 B 不正确; 若 l⊥ n,m⊥ n,则 l 与 m 相交、平行或异面,故 C 不正确; 若 l⊥ α ,m ⊥ β,且 l⊥ m, 则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知 α⊥ β,故 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,是基础题,解题时要注意培养学生的空间思 维能力.

8. (5 分)已知双曲线



=1(a>b>0)过右焦点 F 的直线 l 交双曲线右支为 A、B 两点,且 A、B 两点到 l1 :

x= A.

距离之比为 3:1,且 l1 倾斜角是渐近线倾斜角的 2 倍,则该双曲线的离心率为( B. C. D.



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考点: 双曲线的简单性质. 分析: 首先根据直线 l 的倾斜角是渐近线的倾斜角的 2 倍,可求得直线 l 的斜率,进一步求得经过右焦点的直线方
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程为: y=

(x﹣c ) , 然后, 利用双曲线的第二定义, 任一点 M 到焦点与到相应准线的比值为离心率,

即 解答:

,然后把距离比转化为向量的关系进一步利用方程组求的结果.

解:双曲线



=1(a>b>0)过右焦点 F(c ,0)双曲线渐近线的斜率为 ,且直线 l 的倾斜角是渐近

线倾斜角的 2 倍,则直线 l 的斜率为



进一步求得直线 l 的方程为:y=

(x﹣c ) ,

设直线 l 与双曲线的交点为 A,根据双曲线的第二定义: |AF|=3|BF|,即

建立方程组:

解得:



,利用

求得:a 与 c 的关系:c=

a

根据 e= 求得答案为:e= = 故选:D 点评: 本题考察的知识点:直线方程的点斜式,双曲线的第二定义,向量的关系以及方程的运算问题.难度较大

9. (5 分)已知函数 f(x)=

,是偶函数,直线 y=t 与函数 y=f(x)的图象自左向右依次交 ) D.

于四个不同点 A, B,C,D.若 AB=BC,则实数 t 的值为( A. ﹣ B. ﹣ C.

考点: 函数的图象. 专题: 计算题;函数的性质及应用.
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分析: 由 f(x)是偶函数可得 x>0 时恒有 f(﹣x)=f(x) ,根据该恒等式即可求得 a,b,c 的值,从而得到 f(x) , 令 t=f(x) ,可解得 A,B,C 三点的横坐标,根据 AB=BC 可列关于 t 的方程,解出即可.
2 2 解答: 解:因为 f(x)是偶函数,所以 x>0 时恒有 f(﹣x)=f(x) ,即 x ﹣bx+c=ax ﹣2x﹣1, 所以(a﹣1)x2 +(b﹣2)x﹣c ﹣1=0,

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所以

,解得 a=1,b=2,c=﹣1,

所以 f(x)=
2 2

, , , ,解得 t=﹣ ,

由 t=x +2x﹣1,即 x +2x﹣1﹣t=0,解得 x=﹣1± 故 x A = ﹣ 1﹣ ,xB=﹣1+ , 2 2 由 t=x ﹣2x﹣1,即 x ﹣2x﹣1﹣t=0,解得 x=1± 故 xC=1﹣ , =2﹣2 因为 AB=BC,所以 xB﹣xA=xC﹣xB,即 2 故选:B.

点评: 本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质,考查学生的计算能力,属中档题. 10. (5 分)若函数 f(x)在给定区间 M 上存在正数 t,使得对于任意的 x∈M,有 x+t∈M,且 f(x+t)≥f(x) ,则 称 f(x)为 M 上 t 级类增函数,则下列命题中正确的是( A. 函数 f(x)= +x 是(1,+∞)上的 1 级类增函数 )

B. 函数 f(x)=|log2 (x﹣1)|是(1,+∞)上的 1 级类增函数 C. 若函数 f(x)=sinx+ax 为[ ,+∞)上的 级类增函数,则实数 a 的最小值为 D. 若函数 f(x)=x2 ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为[2,+∞) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 在 A 中,f(x+1)﹣f(x)=
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+x+1﹣ ﹣x=

﹣ +1≥0 在(1,+∞)上不成立;

在 B 中,f(x+1)﹣f(x)=|log2 x|﹣|log2 (x﹣1)|≥0 在(1,+∞)上不恒成立; 在 C 中,函数 f(x)=sinx+ax 为[
2

,+∞)上的

级类增函数,故

cosx+

a≥ sinx,运用参数分离,

求出最大值,只要 a 不小于最大值即可; 在 D 中,由 f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,能导出实数 t 的取值范围为[1,+∞) . 解答: 解:∵ f(x)= +x, ∴ f(x+1)﹣f(x)= = +x+1﹣ ﹣x

﹣ +1≥0 在(1,+∞)上不成立,故 A 不正确;

∵ f(x)=|log2 (x﹣1)|, ∴ f(x+1)﹣f(x)=|log2 x|﹣|log2 (x﹣1)|≥0 在(1,+∞)上不恒成立,故 B 不正确; ∵ 函数 f(x)=sinx+ax 为[ ∴ sin(x+ )+a(x+ ,+∞)上的 级类增函数,

)≥sinx+ax,

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∴ sinxcos ∴ cosx+ 而 sin(x﹣ +cosxsin +ax+ a≥sinx+ax, cosx=sin(x﹣ ) ,

a≥ sinx, )≤1,即 a

a≥ sinx﹣ ,

∴ 实数 a 的最小值为
2

,故 C 正确;

∵ f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数, ∴ (x+t)2 ﹣3(x+t)≥x2 ﹣3x, ∴ 2tx+t ﹣3t≥0, t≥3﹣2x,由于 x∈[1,+∞) ,则 3﹣2x≤1,故 t≥1,故 D 错. 故选 C. 点评: 本题考查命题的真假判断,考查新定义,同时考查函数的性质及应用,是中档题.解题时要认真审题,仔 细解答,注意合理地进行等价转化. 二、填空题: (本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)从大小相同,标号分别为 1,2,3 ,4,6 的五个球中任取三个,则这三个球标号的乘积是 4 的倍数的概 率为 .
2

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;概率与统计. 公式计算. 解答: 解:从五个球中任取三个共有

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分析: 分别求得从五个球中任取三个的取法种数与三个球标号的乘积是 4 的倍数的取法种数,代入古典概型概率 =10 种取法,

其中三个球标号的乘积是 4 的倍数的取法有三种情况, 第一种情况,取 4,1,3; 第二种情况,取 2,4,6,中的两个,再取 1,3 中的一个,有 第三种情况,取 2,4,6; ∴ 三个球标号的乘积是 4 的倍数的取法有 1+6+1=8 种情况, 故三个球标号的乘积是 4 的倍数的概率为 故答案为: . 点评: 本题考查了古典概型的概率计算及排列组合的应用,利用分类计数原理求得三个球标号的乘积是 4 的倍数 的取法种数是解题的关键. = . × =6 种情况;

12. (4 分)设向量 , , ,满足 + + = , ( ﹣ )⊥ , ⊥ ,若| |=1,则| |+| |+| |= 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;复数求模. 专题: 平面向量及应用.

2+



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分析: 由题意, ( ﹣ )⊥ , ⊥ ,| |=1,结合平面向量数量积的运算性质,求出| |的值,用 、 表示出 ,从 而求出| |+| |+| |的大小. 解答: 解:∵ 向量 , , 满足 + + = , ∴ =﹣( + ) ; 又∵ ( ﹣ )⊥ , ∴ ( ﹣ )? =( ﹣ )?[﹣( + )]=﹣( ∵ | |=1,∴ | |=1; 又∵ ⊥ ,∴ ? =0; ∴ | |=|﹣( + )|=| + |= ∴ | |+| |+| |=1+1+ =2+ . = = ; ﹣ )=0;

故答案为:2+ . 点评: 本题考查了求向量的模长以及平面向量数量积的应用问题,解题时应根据题意,结合平面向量的数量积的 运算性质,求出答案来,是基础题.

13. (4 分)实数对(x,y)满足不等式组

,则目标函数 z=kx﹣y 当且仅当 x=3,y=1 时取最大值,

则 k 的取值范围是 (﹣ ,1)



考点: 简单线性规划. 难度星级: 一星

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专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部.将目标函数 z=kx﹣y 对应的直线进行平移, 当且仅当 l 经过点 C(3,1)时目标函数 z 达到最大值,由此观察直线斜率的范围结合斜率计算公式,即可 得到 l 斜率 k 的取值范围. 解答: 解:作出不等式组 ,表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(1,2) , B(4,2) ,C(3,1) 设 z=F(x,y)=kx﹣y,将直线 l:y=kx 进行平移, 可得直线在 y 轴上的截距为﹣z,因此直线在 y 轴上截距最小时目标函数 z 达到最大值 ∵ 当且仅当 l 经过点 C(3,1)时,目标函数 z 达到最大值 ∴ 直线 l 的斜率应介于直线 AC 斜率与直线 BC 斜率之间,
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∵ kAC= =﹣ ,kBC= =1

∴ k 的取值范围是(﹣ ,1) 故答案为: (﹣ ,1) .

点评: 本题给出二元一次不等式组,讨论目标函数 z=kx﹣y 的最大值有唯一最优解的问题,着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 14. (4 分)已知四面体 P﹣ABC 的外接球心 O 在 AB 上,且 PO⊥ 平面 ABC,2AC=AB,若四面体 P﹣ ABC 的体积 为 ,则该球的体积为 36π .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.
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分析: 设该球的半径为 R,则 AB=2R,2AC=AB=2R,故 AC=R,由于 AB 是球的直径,所以△ABC 在大圆所在平 面内且有 AC⊥ BC,由此能求出球的体积. 解答: 解:设该球的半径为 R,则 AB=2R,2AC=AB=2R, 所以 AC=R, 由于 AB 是球的直径, 所以△ ABC 在大圆所在平面内且有 AC ⊥ BC, 在 Rt△ ABC 中,由勾股定理,得: BC2 =AB2 ﹣ AC2 =3R2 , 所以 Rt△ ABC 面积 S= × BC× AC= R2 , ,

又 PO⊥ 平面 ABC,且 PO=R,四面体 P﹣ABC 的体积为 所以 VP ﹣ABC= ×R× 所以 R=3, 所以:球的体积 V 球= ×πR3 =36π. R2 = ,

故答案为:36π. 点评: 本题考查四面体的外接球的体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问 题. 15. (4 分)若各项为正数的数列{an }的前 n 项和为 Sn ,且数列{Sn }为等比数列,则称数列{an }为“和等比数列”.若 {an }为和等比数列,且 a1 =1,a6=2a5 ,则 an = .
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考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件先求出

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,再由 n≥2 时,an =Sn ﹣Sn ﹣1 =2n

﹣1

﹣2n 2 =2n 2 ,n=1 时,2n 2 = ≠a1 ,求出
﹣ ﹣ ﹣

an =



解答: 解:设{Sn }的公比为 q,S1 =a1 =1, , a5 =S5 ﹣S4 =q ﹣q , ∵ a6 =2a5 ,∴ q5 ﹣q4 =2(q4 ﹣q3 ) , 解得 q=2 或 q=1(舍) , ∴ ,
﹣ ﹣ ﹣


3

4

∴ n≥2 时,an =Sn ﹣Sn ﹣1 =2n 1 ﹣2n 2 =2n 2 , n=1 时,2
n ﹣2

= ≠a1 ,

∴ an =



故答案为: 点评:



本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,解题的关键是推导出



16. (4 分) (2011?南京一模)若直角坐标平面内两点 P、Q 满足条件:① P、Q 都在函数 f(x)的图象上;② P、Q 关 于原点对称, 则对称点 (P, Q) 是函数 f(x) 的一个“友好点对” (点对 (P, Q) 与 (Q, P) 看作同一个“友好点对”) . 已

知函数

则 f(x)的“友好点对”有

2

个.

考点: 奇偶函数图象的对称性. 难度星级: 二星

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专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据题意:“友好点对”,可知,欲求 f(x)的“友好点对”,只须作出函数 y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于 原点对称的图象,看它与函数 y= (x≥0)交点个数即可.

解答: 解:根据题意:“友好点对”,可知, 只须作出函数 y=2x +4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象, 看它与函数 y= 如图,
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2

(x≥0)交点个数即可.

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观察图象可得:它们的交点个数是:2. 即 f(x)的“友好点对”有:2 个. 故答案为:2.

点评: 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性,以及数形结合的思想,解答的关键在于对“友好点对”的正确理解, 合理地利用图象法解决.

17. (4 分) (2010?安徽模拟)已知函数 f(x)=msinx+ncosx,且 mn≠0)给出下列命题: ① 是偶函数; 对称;

是它的最大值, (其中 m、n 为常数且

② 函数 f(x)的图象关于点 ③

是函数 f(x)的最小值; 的交点按横坐标从小到大依次记为 P1 ,P2 ,P3 ,P4 ,…,则|P2 P4 |=π

④ 记函数 f(x)的图象在 y 轴右侧与直线 ⑤ .

其中真命题的是 ① ② ③ ⑤ (写出所有正确命题的编号) 考点: 三角函数的最值;正弦函数的奇偶性;正弦函数的对称性. 难度星级: 一星 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得 f(x)= 正确. 对于② ,由于当 x= 对于③ ,由于 时,f(x)=0,故② 正确. =﹣ ,是 函数 f(x)的最小值,故③ 正确. sin(x+ ) ,对于① ,由于 = cosx,是偶函数,故①

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对于④ ,由题意可得,|P2 P4 |等于一个周期 2π,故 ④ 不正确. 对于⑤ ,由 tan?=tan(2kπ+ )= =1,可得⑤ 正确.

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解答: 解:由于函数 f(x)=msinx+ncosx= ∴ +?=2kπ+ ∴ f(x)= 对于① ,由于 对于② ,由于当 x= 对于③ ,由于 确. 对于④ ,函数 f(x)的图象即把函数 y= 一个周期 2π,故 ④ 不正确. 对于⑤ ,由 tan?= =1,可得⑤ 正确. 故答案为:① ② ③ ⑤ . 点评: 本题考查两角和正弦公式,正弦函数的最值,对称性,奇偶性,函数图象的变换,得到 f(x)= sin(x+ ) ,是解题的关键,属于基础题. sinx 的图象向左平移 个单位得到的,故|P2 P4 |等于 ,k∈z,∴ ?=2kπ+ sin(x+2kπ+ = sin(x+?) ,且 ,∴ tan?= =1. )= sin(x+ + sin(x+ )= ) . cosx,是偶函数,故① 正确. 对称,故② 正确. ,是 函数 f(x)的最小值,故 ③ 正 是它的最大值,

时,f(x)=0,故函数 f(x)的图象关于点 = sin(﹣ )= ﹣

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)设△ ABC 中的内角 A、 B、C 所对的边长分别 a、b、c ,且 cosB= ,b=2 (1)当 a= 时,求角 A 的度数 (2)设 AC 边的中线为 BM,求 BM 长度的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值.

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分析: (1)由 cosB 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值,再由 a,b 的值,利用正弦定理求出 sinA 的值,即可确定出 A 的度数; (2)设 BM=m,∠ AMB=α,在三角形 ABM 与三角形 BCM 中,分别利用余弦定理列出关系式,根据邻补 角定义及诱导公式变形,消去 α 得到关系式,再利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式求出 BM 的 最大值. 解答: 解: (1)∵ cosB= >0, ∴ sinB= ∵ A< B,∴ A=30°; (2)设 BM=m,∠ AMB=α, 由余弦定理得:c 2 =m2 +1﹣2m×cos α;a2 =m2 +1+mcos α, 整理得:2m =a +c ﹣2, ∵ b2 =a2 +c2 ﹣2accosB,
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2 2 2

= > =sinA,

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∴ a +c ﹣ ac=4,即 2ac= (a +c ﹣4) , ∵ 2ac ≤a2 +c 2 , ∴ (a2 +c2 ﹣4)≤a2 +c2 , 整理得:a2 +c2 ≤20,即 2m2 =a2 +c 2 ﹣2≤18, 解得:0<m≤3, 则 BM 的最大值为 3.
2 2 2 2

点评: 此题考查了余弦定理,基本不等式的运用,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题 的关键. 19. (14 分)已知函数 f(x)= (1)求数列{an }的通项公式; (2)设 bn =(﹣1) an an ﹣1 ,求{bn }的前 n 向和 Tn (3)当 n 为偶数时,Tn ≤m﹣3n 恒成立,求实数 m 的最小值. 考点: 数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由函数 f(x)= ,得 an+1=f( )=
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,数列{an }满足 a1 =1,an+1=f(

) ,n∈N

*

n ﹣1

,n∈N* ,由此能求出数列{an}的通项公式. ,所以 .

(2)当 n 为偶数时,设 n=2k,T2k =a1 a2 ﹣a2 a3 +…+a2k ﹣1 a2k ﹣a2k a2k+1=﹣ .当 n 为奇数时,Tn =T n ﹣1 +bn =Tn ﹣1 +an an+1 =

(3)n 为偶数时,﹣ 解答: 解: (1)∵ 函数 f(x)= ∴ an+1 =f( )= ,

恒成立,所以

,由此能求出 m 的范围.

,n∈N* ,

∴ {an }是以 1 为首项, 为公差的等差数列, ∴
n ﹣1

=



(2)bn =(﹣1) an an ﹣1 ,{bn }的前 n 向和 T n . 当 n 为偶数时,设 n=2k, T 2k =a1 a2 ﹣a2 a3 +…+a2k ﹣1 a2k ﹣a2k a2k+1 =a2 (a1 ﹣a3 )+…+a2k (a2k ﹣1 ﹣a2k+1 )
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= =﹣ ∴ , .

当 n 为奇数时,Tn =T n ﹣1 +bn =Tn ﹣1 +an an+1 = .

∴ Tn=



(3)∵ 当 n 为偶数时,Tn ≤m﹣3n 恒成立, 即 n 为偶数时,﹣ 恒成立,



,∴ ﹣ (n ﹣

2

n)=﹣

+

≤m ,

∵ n∈N ,∴ 当 n=6 时, ∴ m≥6.

*



点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认 真审题,注意配方法的合理运用. 20. (15 分)如图,在三棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠ BAD=60°,△ PAD 是等边三角形,PQ 是∠ APD 线的角平分线,点 M 是线段 PC 的一个靠近点 P 的一个三分点,平面 PAD⊥ 平面 ABCD. (1)求证:PA∥ 平面 MQB (2)求 PB 与平面 PAD 所成角大小 (3)求二面角 M﹣BQ﹣C 的大小.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 分析: (1)先利用比例关系证明出 PA∥ ME,进而根据线面平行的判定定理证明出 PA∥ 平面 MGB.
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(2)先利用线面垂直的判定定理证明出 BQ⊥ 平面 PAD,找到 PB 与平面 PAD 所成角的平面角,进而判断 出△ PQB 为等腰直角三角形,求得∠ BPQ. (3)做 EF∥ AD,连结 ME,先证明出∠ MEF 为二面角 M﹣ BQ﹣C 的平面角,进而利用平行比例关系求得 PA=AD=PD,求得∠ MEF.
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解答: (1)证明:连接 AC 交 QB 与 E, ∵ AQ∥ BC,且 ∴ = , ∵ M 是线段 PC 的一个靠近点 P 的一个三分点, ∴ = , ∴ PA∥ ME, ∵ PA?平面 MGB,ME?平面 MGB, ∴ PA∥ 平面 MGB. (2)连接 BD, ∵ AD=AB,∠ BAD=60°, ∴ AB=BD, ∵ △ PAD 是等边三角形,PQ 是∠ APD 线的角平分线, ∴ AQ=QD, ∴ QB⊥ AD, ∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD, ∴ BQ⊥ 平面 PAD, ∴ ∠ BPQ 为所求角, ∵ △ PAD,△ABD 均为正三角形,且边长相等, ∴ PQ=QB, 又∵ PQ⊥ QB, ∴ ∠ BPQ=45°. = ,

(3)∵ QB⊥ 平面 PAD,PA?平面 PAD, ∴ QB⊥ PA, ∵ PA∥ EM, ∴ QB⊥ ME, 做 EF∥ AD,连结 ME,则 EF⊥ QB, ∴ ∠ MEF 为二面角 M﹣ BQ﹣C 的平面角, ∵ ME∥ PA,EF∥ AD,M 为三等分点, ∴ F 也是 CD 的一个三等分点, ∴ ME= PA,EF= AD, MF= PD, ∵ PA=AD=PD, ∴ EM=EF=MF,即∠ MEF=60°. 点评: 本题主要考查了直线与平面平行的判定定理,直线与平面所成角的计算,面面成角的计算.在涉及二面角 问题上,找到或作出二面角的平面角是关键.
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21. (15 分)已知函数 f(x)= x3 ﹣

x2 +bx+a(a,b∈R) ,其导函数 f′ (x)的图象过原点.

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在 x=3 处的切线方程; (2)若存在 x<0,使得 f′ (x)=﹣9,求 a 的最大值; (3)当 a>﹣1 时,确定函数 f(x)的零点个数. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断.

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专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)先确定函数解析式,求出切点的坐标,再求出函数的导数后代入求出 f′ (3) ,即为所求的切线斜率, 再代入点斜式进行整理即可; (2)存在 x<0,使得 f′ (x)=x2 ﹣(a+1)x=﹣9,可得 a+1=x+ ,即可求 a 的最大值; (3)当 a>﹣1 时,分类讨论,确定函数的极大值与极小值,即可确定函数 f(x)的零点个数. 解答: 解: (1)∵ f(x)= x3 ﹣ x2 +bx+a,

∴ f′ (x)=x2 ﹣(a+1)x+b, ∵ 导函数 f′ (x)的图象过原点, ∴ f′ (0)=0, ∴ b=0, a=1 时,f′ (x)=x ﹣2x, ∴ f′ (3)=3, ∵ f(3)=1, ∴ 切线方程为 3x﹣y﹣8=0; (2)存在 x<0,使得 f′ (x)=x ﹣(a+1)x=﹣9, ∴ a+1=x+ , ∵ x<0,∴ x+ ≤﹣6, ∴ a≤﹣7, ∴ a 的最大值为﹣7; (3)f′ (x)=x2 ﹣(a+1)x=x[x﹣(a+1)]. ﹣1<a<0 时,f(0)=a<0,f(a+1)<0,∴ 零点 1 个; a=0 时,f(a+1)<0,f( )=0,f(3)>0,零点两个; a>0 时,f(0)=a>0,f(a+1)<0,零点三个. 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查根的存在性及根的个数判断,考查分类讨论的数学思想, 难度中等. 22. (14 分)已知 A, B,C,D 是曲线 y=x2 上的四点,且 A,D 关于曲线的对称轴对称,直线 BC 与曲线在点 D 处的切线平行 (1)证明:直线 AC 与直线 AB 的倾斜角互补 (2)设 D 到直线 AB, AC 的距离分别为 d1 ,d2 ,若 d1 +d2 = 的方程. |AD|,且△ABC 的面积为 3,求点 A 坐标及直线 BC
2 2

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考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率.

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专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: (1) 设B (x1 , y1 ) , C (x2 , y2 ) ,A ( a, a ) , D(﹣a, a ) . 利用导数的几何意义和斜率计算公式可得 x1 +x2 = ﹣2a.同理 kAC=x1 +a,kAB=x2 +a,即可证明 kAC+kAB=0. (2)由于直线 AC 与直线 AB 的倾斜角互补,且 AD∥ x 轴,可得 AD 平分∠ CAB.于是 d1 =d2. |AB|= S△ABC= = .∠ DAC=45°.设 kAC=1,则 kAB=﹣1.得到△ ABC 为直角三角形.进而得到 ,|AC|= ,再利用三角形的面积计算公式 ,即可解得 a 的值.

2 2 解答: 证明: (1)设 B(x1 ,y1 ) ,C(x2 ,y2 ) ,A(a,a ) ,D(﹣a,a ) .

∵ y=x2 ,∴ y′ =2x.∴

=﹣2a.



=

=x1 +x2 .

∴ x1 +x2 =﹣2a. 同理 kAC=x1+a,kAB=x2 +a, ∴ kAC+kAB=x1 +x2 +2a=0. ∴ 直线 AC 与直线 AB 的倾斜角互补. (2)解:∵ 直线 AC 与直线 AB 的倾斜角互补,且 AD∥ x 轴, ∴ AD 平分∠ CAB. ∴ d1 =d2 . ∴ ∴ ∠ DAC=45°. 设 kAC=1,则 kAB=﹣1. ∴ △ ABC 为直角三角形. ∵ x1 +a=﹣1,x2 +a=1. ∴ |AB|= ∴ S△ABC= 解得 a=1 或﹣1. 当 a=﹣1 时,A(﹣1,1) ,直线 BC 的方程为 y=2x. 当 a=1 时,A(1,1) ,直线 BC 的方程为 y=﹣2x.
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,|AC|= =

, ,

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点评: 本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、斜率计算公式、导数的几何意义、角平分线的性质、直角三角 形的边角关系、三角形的面积计算公式、直线的方程等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算 能力,考查了数形结合的能力,属于难题.

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