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2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题3.1导数的概念及其运算(讲).doc


2017 年高考数学讲练测【新课标版】 【讲】 第三章 导数 第 01 节 导数的概念及其运算 【课前小测摸底细】 1.【选修 2-2P18T3 改编】已知函数 r (V ) ?
3

3V ,则 r '(4 3? ) =________. 4?

2.【2016 高考新课标Ⅲ文数】已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e? x?1 ? x ,则曲 线 y ? f ? x ? 在 (1, 2) 处的切线方程式_____________________________. 3. 【百强校】 2016 届江苏省苏州大学高考考前指导卷 1】 已知直线 x ? y ? b 是函数 y ? ax ? 的图象在点 P(1, m) 处的切线,则 a ? b ? m ? . ) D. x ? y ? 2 ? 0

2 x

4.【基础经典试题】曲线 y ? x3 ? 2 x 在 (1, ?1) 处的切线方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0

5.【2015· 高考全国卷Ⅱ】已知曲线 y=x+lnx 在点 ?1,1? (1,1)处的切线与曲线

y=ax2+(a+2) x+ 1相切,则 a=________.
【考点深度剖析】 本节中导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识,基础是导数运算.导 数的几何意义为高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题中前几问, 难度较低.归纳起来常见的命题探究角度有: (1)求切线方程问题. (2)确定切点坐标问题. (3)已知切线问题求参数. (4)切线的综合应用. 【经典例题精析】 考点 1 导数的运算 【2-1】求下列函数的导数.

?1? y ? ? 2x 2 ? 1? (3x ? 1)
x2 ? x ?1 x2 ? x ?1 ? 3 ? y ? 3x e x ? 2 x ? e

? 2? y ? ? 4? y ?

lnx x2 ?1
5

? 5 ? y ? ? 3 ? 2x ?
【课本回眸】

1. 基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 2.导数的运算法则 (1) [f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2) [f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3) ? 导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn
-1

f′(x)=cosx f′(x)=-sinx f′(x)=axlna f′(x)=ex f′(x)= f′(x)= 1 xln a 1 x

? f ( x) ? f '( x) ? g ( x) ? g '( x) ? f ( x) (g(x)≠0). '? ? g 2 ( x) ? g ( x) ?

【方法规律技巧】 求函数导数的一般原则如下: (1)遇到连乘积的形式,先展开化为多项式形式,再求导; (2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导; (3)遇到复杂分式,先将分式化简,再求导. 【新题变式探究】

【变式一】 【 【百强校】2016 届辽宁省实验中学分校高三上学期期中】已知函数 f ( x) 的导函 数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(e) ? ln x ,则 f ?(e) ? ( A. e B. ?1 C. ? e ?1 ) D. ? e

【变式二】 【 【百强校】2016 届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知函数

f ( x) ? a sin x ? bx3 ? 4(a, b ? R), f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,则
f (2014) ? f (?2014) ? f ?(2015) ? f ?(?2015) ? (
A.0 B.2014 C.2015 ) D.8

考点 3 导数的几何意义 【3-1】 【2016 年河南郑州高三二模】曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 3 在点 P 处的切线平行于直线

y ? 2 x ? 1 ,则 P 点的坐标为( )
A. (1,3) B. (?1,3) C. (1,3) 和 (?1,3) D. (1,?3)

【3-2】 【2016 年高考四川理数】设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= ?

?? ln x,0 ? x ? 1, 图象上点 ?ln x, x ? 1,

P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的 面积的取值范围是( )

(A)(0,1) (B)(0,2) (C)(0,+∞) (D)(1,+∞) 【3-3】已知曲线 y ?

1 3 4 x ? , 3 3

(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为 4 的曲线的切线方程.. 【课本回眸】 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬 时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 【方法规律技巧】 1.求函数 f ( x ) 图象上点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率 k ,

由 导 数 的 几 何 意 义 知 k ? f '( x0 ) , 故 当 f ' ( x0

存 在 时 , 切 线 方 程 为 )

y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) .
2. 可以利用导数求曲线的切线方程,由于函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数表示曲线在点

P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,因此,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程,可按
如下方式求得: 第一,求出函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,即曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的 斜率; 第二,在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程 y ? y0 ? f '( x0 )( x ? x0 ) ;如果 曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时, 由切线的定义可 知,切线的方程为 x ? x0 . 【新题变式探究】 【变式一】 【 【百强校】2016 届江西师大附中高三上学期期末】已知函数 y ? f ? x ? 的图象在 点 M 2, f ? 2? 处的切线方程是 y ? x ? 4 ,则 f ? 2 ? ? f ? ? 2 ? ?

?

?



【变式二】已知函数 f ( x) ? ln x ? x ,则函数 f ( x) 点 P(1, f (1) )的切线与两坐标轴围 成的三角形的面积为 三、易错试题常警惕 易错典例 1:已知曲线 y ? x ? 1 .
3

.

(1)求曲线在 x ? ?1 处的切线方程; (2)求曲线过点 (?1, 0) 的切线方程. 易错分析:易于因为审题不严或理解有误,将两道小题混淆,特别是第(2)小题独立出现 时. 温馨提醒:(1)对于曲线切线方程问题的求解,对函数的求导是一个关键点,因此求导公式, 求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.(2)对于已知的点,应首先认真审题,对于确定切线 的方程问题, 要注意区分“该曲线过点 P 的切线方程”与“该曲线在点 P 处的切线方程”的两种 情况,避免出错.从历年高考题看,“该曲线在点 P 处的切线方程”问题的考查较为普遍. 四、学科素养提升之思想方法篇

近似与精确、有限与无限——无限逼近的极限思想 1.由 f '( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) 可以知道,函数的导数是函数的瞬时变化率,函数的瞬 ?x

时变化率是平均变化率的极限,充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的 实质就是无限近似的量, 向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果, 这是极限的 实质与精髓,也是导数的思想及其内涵. 2.曲线的切线定义,充分体现了运动变化及无限逼近的思想: “两个不同的公共点→两公共 点无限接近→两公共点重合(切点)” ? “割线→切线”. (1)在求曲线的切线方程时,注意两个“说法” :求曲线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程,在点 P 处的切线,一定是以点 P 为切点,过点 P 的切线,不论点 P 在不在曲 线上,点 P 不一定是切点. 【典例】 【 【百强校】2016 届辽宁省沈阳二中高三第一次模拟】 f ( x) ?

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 己 3

知曲线存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数 a 的取值范围 为 .


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