2.4 向量的数量积 数量积的定义 第 1 课时 1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点) 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的 几何问题．(难点) [基础· 初探] 教材整理 1 向量的数量积 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做向 量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 已知|a|＝3，|b|＝6，则 (1)若 a 与 b 夹角为 0° ，则 a· b＝________； (2)若 a 与 b 的夹角为 60° ，则 a· b＝________； (3)若 a 与 b 的夹角为 90° ，则 a· b＝________. 【解析】 (1)若 a∥b，则 a 与 b 的夹角为 0° ， ∴a· b＝|a||b|cos 0° ＝|a||b|＝18. 1 1 18 (2)a· b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×2＝ 2 ＝9. (3)a· b＝|a||b|cos 90° ＝3×6×0＝0. 【答案】 教材整理 2 (1)18 (2)9 (3)0 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． → → 1．定义：已知两个非零向量 a，b，如图 241 所示．作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 称为向量 a 与 b 的夹角． 图 241 2．范围：0° ≤θ≤180° . 3．当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180° 时，a 与 b 反向． 4．当 θ＝90° 时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 试指出图 242 中向量的夹角， → → 图①中向量OA与OB的夹角________； → → 图②中向量OA与OB的夹角________； → → 图③中向量OA与OB的夹角________； → → 图④中向量OA与OB的夹角________． 图 242 【答案】 教材整理 3 θ 0° 180° θ 向量的数量积的运算律及性质 阅读教材 P84 及 P85 链接完成下列问题． 1．向量数量积的运算律：已知向量 a，b，c 和实数 λ. 2 (1)a· b＝b· a； (2)(λa)· b＝a· (λb)＝λ(a· b)＝λa· b； (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c. 2．数量积的性质： (1)a· a＝|a|2 或|a|＝ a2； (2)|a· b|≤|a||b|； (3)a⊥b?a· b＝0. 3．数量积的几何意义： a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． 已知|a|＝3，|b|＝5，a 与 b 的夹角为 45° ，则 a 在 b 上的投影为________；b 与 a 上的投影为________． 【解析】 2 3 2 a 在 b 上的投影为|a|cos 45° ＝3× 2 ＝ 2 ； 2 5 2 b 在 a 上的投影为|b|cos 45° ＝5× 2 ＝ 2 . 【答案】 3 2 2 5 2 2 [质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型] 3 向量数量积的运算及几何意义 已知|a