2.4 向量的数量积 数量积的定义 第 1 课时 1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点) 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的 几何问题．(难点) [基础· 初探] 教材整理 1 向量的数量积 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做向 量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 已知|a|＝3，|b|＝6，则 (1)若 a 与 b 夹角为 0° ，则 a· b＝________； (2)若 a 与 b 的夹角为 60° ，则 a· b＝________； (3)若 a 与 b 的夹角为 90° ，则 a· b＝________. 【解析】 (1)若 a∥b，则 a 与 b 的夹角为 0° ， ∴a· b＝|a||b|cos 0° ＝|a||b|＝18. 1 1 18 (2)a· b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×2＝ 2 ＝9. (3)a· b＝|a||b|cos 90° ＝3×6×0＝0. 【答案】 教材整理 2 (1)18 (2)9 (3)0 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． → → 1．定义：已知两个非零向量 a，b，如图 241 所示．作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 称为向量 a 与 b 的夹角． 图 241 2．范围：0° ≤θ≤180° . 3．当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180° 时，a 与 b 反向． 4．当 θ＝90° 时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 试指出图 242 中向量的夹角， → → 图①中向量OA与OB的夹角________； → → 图②中向量OA与OB的夹角________； → → 图③中向量OA与OB的夹角________； → → 图④中向量OA与OB的夹角________． 图 242 【答案】 教材整理 3 θ 0° 180° θ 向量的数量积的运算律及性质 阅读教材 P84 及 P85 链接完成下列问题． 1．向量数量积的运算律：已知向量 a，b，c 和实数 λ. 2 (1)a· b＝b· a； (2)(λa)· b＝a· (λb)＝λ(a· b)＝λa· b； (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c. 2．数量积的性质： (1)a· a＝|a|2 或|a|＝ a2； (2)|a· b|≤|a||b|； (3)a⊥b?a· b＝0. 3．数量积的几何意义： a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． 已知|a|＝3，|b|＝5，a 与 b 的夹角为 45° ，则 a 在 b 上的投影为________；b 与 a 上的投影为________． 【解析】 2 3 2 a 在 b 上的投影为|a|cos 45° ＝3× 2 ＝ 2 ； 2 5 2 b 在 a 上的投影为|b|cos 45° ＝5× 2 ＝ 2 . 【答案】 3 2 2 5 2 2 [质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型] 3 向量数量积的运算及几何意义 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120° ，求： (1)a· b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)· (a＋3b)． 【精彩点拨】 【自主解答】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)． ? 1? (1)a· b＝|a||b|cos 120° ＝2×3×?－2?＝－3. ? ? (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a· b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120° －3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34. 1．求平面向量数量积的步骤：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；②分别求|a| 和|b|；③求数量积，即 a· b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时，a 与 b 之间用实心圆 点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行 化简． [再练一题] 1．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： → → → → (1)AB· AC；(2)AB· BC； → → (3)BC· AC. 【解】 → → (1)∵AB与AC的夹角为 60° ， → → → → 1 1 ∴AB· AC＝|AB||AC|cos 60° ＝1×1×2＝2. → → (2)∵AB与BC的夹角为 120° ， → → → → ∴AB· BC＝|AB||BC|cos 120° 4 1 ? 1? ＝1×1×?－2?＝－2. ? ? → → (3)∵BC与AC的夹角为 60° ， → → → → 1 1 ∴BC· AC＝|BC||AC|cos 60° ＝1×1×2＝2. 求向量的模 → → 已知向量OA＝a，OB＝b，∠AOB＝60° ，且 |a|＝|b|＝4.求 |a＋b|，|a －b|，|3a＋b|. 【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a|＝ a· a转化为数量积的运算 求解． 【自主解答】 1 ∵a· b＝|a|· |b|cos∠AOB＝4×4×2＝8， ∴|a＋b|＝ ?a＋b?2＝ a2＋2a· b＋b2 ＝ 16＋16＋16＝4 3， |a－b|＝ ?a－b?2＝ a2－2a· b＋b2 ＝ 16－16＋16＝4， |3a＋b|＝ ?3a＋b?2＝ 9a2＋6a· b＋b2 ＝ 9×16＋48＋1