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2016-2017学年高中数学苏教版必修4学案:2.4.1 数量积的定义 Word版含解析


2.4 向量的数量积 数量积的定义 第 1 课时 1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念.(易错点) 2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.(重点) 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的 几何问题.(难点) [基础· 初探] 教材整理 1 向量的数量积 阅读教材 P83 的有关内容,完成下列问题. 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角是 θ,我们把数量|a||b|cos θ 叫做向 量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 已知|a|=3,|b|=6,则 (1)若 a 与 b 夹角为 0° ,则 a· b=________; (2)若 a 与 b 的夹角为 60° ,则 a· b=________; (3)若 a 与 b 的夹角为 90° ,则 a· b=________. 【解析】 (1)若 a∥b,则 a 与 b 的夹角为 0° , ∴a· b=|a||b|cos 0° =|a||b|=18. 1 1 18 (2)a· b=|a||b|cos 60° =3×6×2= 2 =9. (3)a· b=|a||b|cos 90° =3×6×0=0. 【答案】 教材整理 2 (1)18 (2)9 (3)0 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容,完成下列问题. → → 1.定义:已知两个非零向量 a,b,如图 241 所示.作OA=a,OB=b,则 ∠AOB 称为向量 a 与 b 的夹角. 图 241 2.范围:0° ≤θ≤180° . 3.当 θ=0° 时,a 与 b 同向;当 θ=180° 时,a 与 b 反向. 4.当 θ=90° 时,则称向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 试指出图 242 中向量的夹角, → → 图①中向量OA与OB的夹角________; → → 图②中向量OA与OB的夹角________; → → 图③中向量OA与OB的夹角________; → → 图④中向量OA与OB的夹角________. 图 242 【答案】 教材整理 3 θ 0° 180° θ 向量的数量积的运算律及性质 阅读教材 P84 及 P85 链接完成下列问题. 1.向量数量积的运算律:已知向量 a,b,c 和实数 λ. 2 (1)a· b=b· a; (2)(λa)· b=a· (λb)=λ(a· b)=λa· b; (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 2.数量积的性质: (1)a· a=|a|2 或|a|= a2; (2)|a· b|≤|a||b|; (3)a⊥b?a· b=0. 3.数量积的几何意义: a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 已知|a|=3,|b|=5,a 与 b 的夹角为 45° ,则 a 在 b 上的投影为________;b 与 a 上的投影为________. 【解析】 2 3 2 a 在 b 上的投影为|a|cos 45° =3× 2 = 2 ; 2 5 2 b 在 a 上的投影为|b|cos 45° =5× 2 = 2 . 【答案】 3 2 2 5 2 2 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 3 向量数量积的运算及几何意义 已知|a

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