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【步步高】2012届高考数学二轮复习 专题一 第5讲导数及其应用


第 5 讲 导数及其应用
(推荐时间:60 分钟) 一、填空题 1 4 1.如果曲线 y = x - x 在点 P 处的切线垂直于直线 y =- x ,那么点 P 的坐标为 3 ____________.
2

2.(原创题)已知全集 I =R ,若函数 f(x)= x -3x +2,集合 M ={x|f(x)≤0}, N = R {x|f′(x)<0},则 M∩(?IN)=__________. 3.(2011·辽宁改编)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 R

f(x)>2x+4 的解集为________.
2

4.已知曲线 C:y=2x ,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要实现不被曲线

C 挡住,则实数 a 的取值范围是____________.
2

5.设 P 为曲线 C:y=x -x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是[-1,3], 则点 P 纵坐标的取值范围是__________. 1 2 6.已知函数 f(x)= mx +ln x -2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为 2 ________. 7.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)·g(x)<f(x)g′(x),f(x) ?f(n)? f(1) f(-1) 5 x ?(n=1,2,…10)中,任意 =a ·g(x),(a>0,且 a≠1), + = ,在有穷数列? g(1) g(-1) 2 ?g(n)? 15 取正整数 k(1≤k≤10),则前 k 项和大于 的概率是______. 16 1 2 8.已知函数 f(x)=- x +4x -3ln x 在[t , t +1]上不单调,则 t 的取值范围是 2 ____________. 1-x 9.已知函数 f(x)= +ln x,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数 a 的取

ax
值范围为________.
3 2

10. 已知函数 f(x)=mx +nx 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行, 若

f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是__________. 2x 11.函数 f(x)=2mcos +1 的导函数的最大值等于 1,则实数 m 的值为________.
2
x

12.(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=e (x>0)的图象上的 动点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是______. 二、解答题 13. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元, 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万

用心

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专心

-1-

1 ?10.8-30x (0<x≤10), ? 元,且 R(x)=? 108 1 000 ? x - 3x (x>10). ?
2 2

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利 润=年销售收入-年总成本)
4 2

14.若 f(x)=ax +bx +c 得图象过点 P(0,1),且在 x=1 处的切线方程为 x-y-2=0, 求函数 y=f(x)的解析式.
3 2

15.函数 f(x)=x +ax +bx+c,过曲线 y=f(x)上的点 P(1,f(1))的切线方程为 y=3x +1. (1)若 y=f(x)在 x=-2 时有极值,求 f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值; (3)若函数 y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围. 答 案 3 1.(1,0) 2.[ ,2] 3.(-1,+∞) 2

?3 ? 4.(-∞,10) 5.? ,3? ?4 ?
3 6.[1,+∞) 7. 5 8.0<t<1 或 2<t<3 9.[1,+∞) 1? 1? 10.[-2,-1] 11.±1 12. ?e+ ? 2? e? 13.解 (1)当 0<x≤10 时,

x3 W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- -10;
30 1 000 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x. 3x

x ?8.1x-30-10 (0<x≤10), ? ∴W=? 1 000 ?98- 3x -2.7x (x>10). ?
3

(2)①当 0<x<10 时,

x2
由 W′=8.1- =0, 10 得 x=9,且当 x∈(0,9)时,W′>0; 当 x∈(9,10)时,W′<0, 1 3 ∴当 x=9 时,W 取最大值,且 Wmax=8.1×9- ·9 -10=38.6. 30
-2-

用心

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②当 x>10 时,W=98-?

?1 000+2.7x?≤98-2 ? ? 3x ?

1 000 ·2.7x=38, 3x

1 000 100 100 =2.7x,即 x= 时,W=38,故当 x= 时,W 取最大值 38. 当且仅当 9 9 3x 综合①②知当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元,故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品 牌服装的生产中所获年利润最大. 14.解 因为 f(x)图象过点 P(0,1),
4 2

所以 c=1,即 f(x)=ax +bx +1,
3

则 f′(x)=4ax +2bx, 所以 k=f′(1)=4a+2b=1. ①

由 f(x)在 x=1 的切线方程为 x-y-2=0 得切点为 M(1,-1),将 M(1,-1)代入 f(x)
4 2

=ax +bx +1, 得 a+b+1=-1. 5 9 5 4 9 2 由①②解得 a= ,b=- ,所以 f(x)= x - x +1. 2 2 2 2 ②

3

2

2

15.解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c 求导数得 f′(x)=3x +2ax+b. 过 y=f(x)上点 P(1,f(1))的切线方程为 y-f(1)=f′(1)(x-1), 即 y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1). 而过 y=f(x)上点 P(1,f(1))的切线方程为 y=3x+1.
?3+2a+b=3, ? 故? ? ?-a+c-2=1, ?2a+b=0, ① ? 即? ? ② ?c-a=3.

∵y=f(x)在 x=-2 时有极值, 故 f′(-2)=0. ∴-4a+b=-12. ③ 由①②③联立解得 a=2,b=-4,c=5,
3 2

∴f(x)=x +2x -4x+5.
2

(2)f′(x)=3x +4x-4=(3x-2)(x+2), 2 令 f′(x)=0,解得 x= 或 x=-2. 3 列下表:

x f′(x) f(x)

-3

(-3,-2) +,

-2 0 极大值

2 (-2, ) 3 -

2 3 0 极小值

2 ( ,1) 3 +

1

8

4

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-3-

2 95 ∴f(x)的极大值为 f(-2)=13,极小值为 f( )= . 3 27 又∵f(-3)=8,f(1)=4, ∴f(x)在[-3,1]上的最大值为 13. (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增.
2

又 f′(x)=3x +2ax+b.由(1)知 2a+b=0.
2

∴f′(x)=3x -bx+b. 依题意在[-2,1]上恒有 f′(x)≥0,
2

即 3x -bx+b≥0 在[-2,1]上恒成立,

b
当 x= ≥1 时,即 b≥6 时,[f′(x)]min=f′(1)=3-b+b>0,∴b≥6 时符合要求. 6

b
当 x= ≤-2 时,即 b≤-12 时, 6 [f′(x)]min=f′(-2)=12+2b+b≥0,∴b 不存在. 2 b 12b-b 当-2< <1 即-12<b<6 时,[f′(x)]min= ≥0,∴0≤b<6, 6 12 综上所述 b≥0.

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专心

-4-


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