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抛物线焦点弦最小值的5种求法

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A B 2 | | p. m i n= 思路 2  为避免讨论可以在直线方程的设法上做 p 文章 . 如果把直线设成 x=m y+ 形式则直线包含斜 2
率不存在的情况 .

p , 抛物 线 的 焦 点 F ( , 直线 A 0) B 的方程 2
◇  河北   王海蕊

   在 关 于 抛 物 线 焦 点 弦 教 学 目 标 的 确 立 上 有 如 下 )知识目标 : 要求 : 掌握抛物线焦点弦的要领及性质 , 1 能写出命题与 逆 命 题 , 并 判 断 其 真 假; 2)能 力 目 标 : 学会用解析法及几何法解 决 问 题 , 养成独立分析问题 )情感目标 : 与解决问题的能力 ; 学会欣赏教学动静 3 结合的美 , 学会合作 .教 学 重 点 则 放 在 依 据 焦 点 弦 的 特征研究焦 点 弦 的 定 值 、 定 量 问 题, 培养学生对问题 研究的兴趣及研究能力 ,下面引例说明焦点弦最小值 的几种求法 . 引例   求抛物线 y2 =2 的焦点弦的最 x( p>0) p 小值 .

p 为: x=m y+ . 2 ,B ( ,由 方 程 组 设 A ( x1 , x2 , y1 ) y2 ) p 烄 x=m y+ , 2 消x 得: 烅
2 x, y =2 p 烆 2 2 y -2 pm y-p =0, 2 m, y1 + y2 =2 y1 y2 =-p , p 2 2 ( A B 1+m2·槡 2 m) +4 1+m2 ) . | |= 槡 p p =2 p( 当 m =0 时 , A B 2 | | p. m i n= 思路 3  由定义 A B A F B F | |=| |+| |=x1 +x2 +p, 再利用均值不等式

1 思路 1  利 用 弦 长 公 式| A B|= 1+ 2 | y1 - k y2|求解 ;

A B = x x x x 2 | | p≥槡 p= p. 1+ 2+ 1 2 + 2 , ( 斜率存在时 抛物线y = 的焦点弦 2 x p> 0) p p 2 与抛物线 y 所在直线方程为 y= k( x- ) = 2 消y 得: 2 x 联立, p 2 2 k x 2 2 2 k x - k + 2) x+ = 0. p( 4
, , 设弦两端坐标为 A ( 则x x B( x x y y 1, 1) 2, 2) 1 2=



注意 : 要分直线斜率存在与不存在 2 种情况分类 讨论 .

p 设抛物线的焦点 F( , 0) . 2 p ( , 设A 1)当 A B 斜率 存 在 时 , B∶ x- ) y =k( 2 p 烄 , k( x- ) y2 y= 2 解方程组烅 得 x= ,整理得 2 p 2 x, y =2 p 烆 k 2 k y - y- p=0, 2 2 p 2 p 2 , 由根与系数的关系 : y1 + y2 = y1 y2 =-p , k 1 2 p 2 1 2 A B 1+ 2 ) . | |= 1+ 2 · ( ) +4 p =2 p( k k k 因为 k2 无最大值 , 所以| A B |无最小值 .

p p p , , , 当A 易求 A( , 则 B 斜率不存在时, B( , - p) p) 4 2 2
2 2 p p 综上所证, 由抛物线定义 x x . x x . 1 2= 1 2= 4 4



A B = A F + B F = A A ′ + B B ′ = | | | | | | | | | | p p x + x = x x p. 1+ 2+ 1+ 2+ 2 2
因为x 所以x x x 2槡 x x p, 1, 2 均大于 0, 1+ 2≥ 1 2 =





p 所以 当且仅当x 时取 A B = x x 2 x | | p≥ p, 1+ 2+ 1= 2= 2
2 等号. 所以抛物线 y 的焦点弦的最小值 =2 x( p p >0)

p ( 把 x= 代 入 抛 物 线 2)当 A B 斜率不存 在 时 , 2 2 , 得 x y =2 p y=±p. p p , ,所以| 所以 A ( , B( , -p) A B |=2 p) p. 2 2 1 1 因为 2 >0, 所以 2 所以 1+ 2 ) >2 p( p, k k
1 8

为2 p. 以上3 种解法是利用斜率求弦长的最小值, 下面 2 种方法是利用倾斜角求弦长的最小值. 思路 4  设 弦 所 在 直 线 的 倾 斜 角 为 θ, 方程为

p , 这个方程中也包含斜率不存 c o s i n x- ) θ=s θ( y 2
在的情况 , 再利 用 公 式| A B|=| A F|+| B F|=x1 +

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x2 +p 求弦长的最小值 . 设焦点弦所在直线的倾斜角为θ, 则直线 A B p , 的方程为y 设焦点弦 c o s i nθ( x- ) θ=s 2 , 端点 A ( x1 , B( x2 , . y1 ) y2 ) p 烄 , c o s i n x- ) θ=s θ( y 2 由方程组烅 消y 得: 2 x, y =2 p 烆 p2 2 2 2 2 · s i n x2 - 2 c o s s i n x+ s i n 0, θ θ+ θ) θ= p( 4 2 2 p( 2 c o s s i n θ+ θ) 所以 x1 + x2 = . 2 s i n θ 所以 A B = A F + B F = x1 + x2 + | | | | | | p=
2 2 p( 2 c o s s i n 2 p θ+ θ) + p= 2 . 2 s i n s i n θ θ

◇  湖北   肖菊姣

1  定积分性质 性质 1  若   在[ 上 是 减 函 数, x) 1, + ∞) y=f( 且 f( 则 x) >0,
n n+ 1






k=1

k)≥ ∑f(



x) d x,∑f( k)≤ f(
k=2 n

x) d x. f( ∫


k)表 示 边 长 为 1,高 为     证 明   如 图 1,∑f(
k=1

π 2 所以当s 即θ= 时, 取最小值 2 i n 1, A B θ= | | p. 2 思 路 5   利 用 直 线 倾 斜 角 表 示 焦 半 径 |A F B F |和| |. 如 下 图 所 示 ,设 直 线 的 倾 斜 角 为 θ, 在R 如图 : 过 A、 t F G 中, B 分 别 作 AA ′、 △A 垂足分别为 A 分别过 A 、 B B ′与直线 A ′ B ′垂直 , ′、 B ′, 、 , 、 B 作A GB E 与x 轴垂直 垂足分别为 G E .

根据定积分的定义 , 其 k)的 n 个小矩形面积之和 , f( 面 积 不 小 于
n+ 1 n

x) d x. ∫ f(


n+ 1




x) d x, 即 f(

k=1

k) ∑f(





如图 2,

k=2

表示边长为1, 高为f( 的n- k) k) ∑f(
n n

根据定积分的定义 , 其面积 不 大 1 个小矩形面积之和 , 于 f( x) d x ,即





k=2

k)≤ ∑f(

x) d x. f( ∫


在R t A F G 中, Δ

图 1            图 2

A F AA ′ A F c o s | |=| |=p+| | θ, p 所以| A F . |= 1-c o s θ 在R t E F 中, △B B F B B ′ B F c o s | |=| |=p-| | θ, p 所以| B F . |= 1+c o s θ A B A F B F | |=| |+| |= p p 2 p + = 2 . 1-c o s o s i nθ θ 1+c θ s 2 当s i n A B 2 θ=1 时 , | | p. m i n= 这就是我对抛 物 线 焦 点 弦 最 小 值 的 2 种 考 虑 角
度, 5 种解法 . ( 作者单位 : 河北乐亭新寨高级中学 )

性质 2  若 y=f( 在[ 上是增函数 , 且 x) 1, +∞ ) 则 x) >0, f(
n k=1

k)≤ ∑f(

n+ 1






   性质 2 的证明同性质1. 性质 3  若 y=f( 在[ 上是凹函数 , 且 x) 1, +∞ ) ( ) , 则 f x >0 ) f( k) k +1 +f( > 2 k=1




, f( x) f( ∑ k)≥
k=2

x) d x. f( ∫




x) d x. ∫ f(


n+ 1

图3

   证明   如图 3, 1 9


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