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matlab曲线拟合人口增长模型及其数量预测


实验目的
[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程; [2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题; [3] 应用 matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能,设计 matlab 程序来求解 其中的数学模型; [4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力; 通过完成该实验,学习和实践由简单到复杂,逐步求精的建模思想,学习如何建立反映 人口增长规律的数学模型,学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时,如何调整初值,变换函 数和数据使优化迭代过程收敛。

应用实验(或综合实验)
一、实验内容
从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示: 表综2.1
年 份 人口(×10 ) 年 份 人口(×10 ) 年 份 人口(×10 )
6 6 6

1790 3.9 1860 31.4 1930 123.2

1800 5.3 1870 38.6 1940 131.7

1810 7.2 1880 50.2 1950 150.7

1820 9.6 1890 62.9 1960 179.3

1830 12.9 1900 76.0 1970 204.0

1840 17.1 1910 92.0 1980 226.5

1850 23.2 1920 106.5

用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,根据检验结果进一步讨论马尔 萨斯人口模型的改进,并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。

二、问题分析
1:Malthus 模型的基本假设是: 人口的增长率为常数,记为 r。 记时刻t的人口为x(t) , (即 x(t)为模型的状态变量)且初始时刻的人口为x0,于是得到如下微分方程:

? dx ? ? rx ? dt ? ? x ( 0) ? x 0
2:阻滞增长模型(或 Logistic 模型) 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,人 口增长到一定数量后, 增长率会下降, 假设人口的增长率为 x 的减函数, 如设 r(x)=r(1-x/xm), 其中 r 为固有增长率(x 很小时),xm 为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量) ,于是得 到如下微分方程:

x ? dx ? ? rx(1 ? ) xm ? dt ? x(0) ? x 0 ?

三、数学模型的建立与求解
根据 Malthus 模型的基本假设,和 Logistic 模型,我们可以分别求得微分方程的 解析解,

y1=x0*exp(r*x); y2= xm/(1+x0*exp(-r*x))
对于 1790—1980 年间美国每隔 10 年的人口记录, 分别用 matlab 工具箱中非线性拟合函数 的命令作一般的最小二乘曲线拟合,可利用已有程序 lsqcurvefit 进行拟合,检验结果进一步 讨论模型的改进,预测美国 2010 年的人口数量。

四、实验结果及分析
对于 Malthus 模型 作一般的最小二乘曲线拟合,可利用已有程序 lsqcurvefit 得到拟合函数为 y=(3.54e-011)*exp(0.0149*x), 当 x=2010 时,预测的人口为 359.4916
fitted curve 25

20

15 y 10

5

0 178

180

182

184

186

188 x

190

192

194

196

198

由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,人口增长到一定数量后,增长率会下 降 , 运 用 Logistic 模 型 对 微 分 方 程 的 解 进 行 拟 合 , 得 到 y2= 360.4/(1+53.11 *exp(-0.02342*(x-1790))) 到 2010 年时,预计人口数量为 y2 = 275.6894, 作图可以看出两条曲线拟合程度较高相比基本模型,改进模型更接近实际。

250

200

150

y
100 50 0 1780

1800

1820

1840

1860

1880 x

1900

1920

1940

1960

1980

五、附录(程序等)
Malthus 模型 1、 编写拟合函数的文件fitful2.m function y=fitful2(a,x)
y=a(1).*exp(a(2).*x);

2、 运行的脚本文件
clc,clear a0=[50,0.02]; xdata=[1790:10:1980]; ydata=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 204.0 226.5]; 123.2 131.7 150.7 179.3

[a,resnorm,residual,flag,output]=lsqcurvefit('fitful2',a0,xdata,ydata ) xi=[1790:10:1980]; yi=fitful2(a,xdata) plot(xdata,ydata,'r-o',xi,yi,'b-+') xlabel('x'),ylabel('y=f(x)');

Logistic 模型
程序: x=[1790:10:1980]'; y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 204.0 226.5]'; 123.2 131.7 150.7 179.3 st_ = [500 30 0.2 ]; ft_ = fittype('a/(1+b*exp(-k*(x-1790)))',... 'dependent',{'y'},'independent',{'x'},... 'coefficients',{'a', 'b','k'}); cf_ = fit(x,y,ft_,'Startpoint',st_) plot(cf_,'fit',0.95);hold on,plot(x,y,'*')


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