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立体几何初步(空间点、线、面的位置关系)


立体几何初步(空间点、线、面的位置关系)
一、平面 ⑴ 平面的概念: (描述性) ⑵平面的表示:通常用希腊字母 ? 、β 、 ? 表示,如平面 ? (通常写在一个锐角内) ; 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 AC ⑶点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作 A ? l; 点 A 不在直线 l 上,记作 A ? l 二、几个公理 公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内, 或者平面经过直线) 符号语言: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论: ⑴一条直线和直线外一点确定一平面; ⑵两条相交直线确定一平面; ⑶两条平行直线确定一平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 巩固练习 1、下列命题正确的个数为 ( ) ①梯形可以确定一个平面; ②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 B.1 C.2 D.3 2、如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是 ( ) 直线与平面的关系:直线 l 在平面 ? 内,记作 l ? ? ;直线 l 不在平面 ? 内,记作 l ? ? 。

3、已知空间四边形 ABCD(如图 2-1 所示),E、F 分别是 AB、AD 的中点,G、H 分别是 BC、CD 上的点, 1 1 且 CG= BC,CH= DC.求证: 3 3 ⑴E、F、G、H 四点共面; ⑵三直线 FH、EG、AC 共点.

图 2-1

1

空间点、线、面的位置关系

4、如图 2-2 所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为 CC1,AA1 的中点,画出平面 BED1F 与 平面 ABCD 的交线.

图 2-2 5、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中(如图 2-3) ,E、F 分别为 D1C1、C1B1 的中点,AC∩BD=P, A1C1∩EF=Q.求证: ⑴D、B、F、E 四点共面; ⑵若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P、Q、R 三点共线.

图 2-3 三、空间直线与直线之间的位置关系 ⑴空间两条直线的位置关系 ①平行直线:在同一平面内没有公共点 ②相交直线:有且只有一个公共点 ③异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线(既不平行,又不相交) ⑵异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直 线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。 两条异面直线所成角的范围是(0°,90°], 若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 ⑶等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等(或互补) 。 巩固练习 1、已知 a、b 是异面直线,直线 c∥直线 a,那么 c 与 b ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 2、 如图 7-3-4, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M, N 分别是 BC1, CD1 的中点, 则下列判断错误的是( ) A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行 3、在图 3-1 中,G、N、M、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直 线的图形有_____ ___.(填上所有正确答案的序号)

图 3-1 4、如图 3-2 是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的 中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直.
2

图 3-2

空间点、线、面的位置关系

以上四个命题中,正确命题的序号是______

__.

5、设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ⑤若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是____ ____(只填序号). 6、如图 3-3 所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 MN 与 AC 所成的角为 60° . 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论序号都填上). 图 3-3 7、如图 3-4,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的 角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

8、已知 l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1⊥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 图 3-4 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 9、以下四个命题中①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10、已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c,那么直线 c 一定 ( A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 四、空间直线与平面之间的位置关系 1、直线在面内:直线上的所有点都在平面内 2、直线在面外 ⑴线面平行:直线与平面没有公共点 ⑵线面相交:直线与平面有且只有一个公共点 巩固练习 1、若直线 a 不平行于平面 α,则下列结论成立的是 ( ) A.α 内的所有直线都与直线 a 异面 B.α 内可能存在与 a 平行的直线 C.α 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 α 没有公共点
3

)

空间点、线、面的位置关系

五、平面与平面之间的位置关系: 1、平行:两平面没有公共点; ? ∥β 2、相交:有一条公共直线。 ? ∩β =b 六、空间中的平行问题 1、直线与平面平行 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 巩固练习 1、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关系是________. 2、如图 6-1,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90° ,AB=AC= 2,AA′=1,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. ⑴证明:MN∥平面 A′ACC′; ⑵求三棱锥 A′-MNC 的体积.

图 6-1

3、如图 6-2,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一 点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. 求证:AP∥GH.

图 6-2

4、如图图 6-3 所示,平面 EFGH 分别平行于 CD、AB,E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上,且 CD=a,AB=b,CD⊥ AB. ⑴求证:EFGH 是矩形; ⑵设 DE=m,EB=n,求矩形 EFGH 的面积.

图 6-3
4 空间点、线、面的位置关系

5、如图 6-4 所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD. ⑴判断截面的形状; ⑵试问截面在什么位置时其截面面积最大.

图 6-4

2、平面与平面平行 两个平面平行的判定定理 ⑴如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , ⑵如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , ⑶垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 ⑴如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) ⑵如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) 巩固练习 1、已知三条直线 a,b,c 和平面 β,则下列推论中正确的是( ) A.若 a∥b,b?β,则 a∥β B.a∥β,b∥β,则 a∥b C.若 a?β,b∥β,a,b 共面,则 a∥b D.a⊥c,b⊥c,则 a∥b 2、设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n; ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 1 3、在三棱锥 P—ABC 中,点 D 在 PA 上,且 PD= DA,过点 D 作平行于底面 ABC 的平面,交 PB,PC 于 2 点 E,F,若△ABC 的面积为 9,则△DEF 的面积是( ) A.1 B.2 9 C.4 D. 4 4、给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

5

空间点、线、面的位置关系

5、如图 6-4,已知 α∥β,异面直线 AB、CD 和平面 α、β 分别交于 A、B、C、D 四点,E、F、G、H 分 别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:⑴E、F、G、H 共面; ⑵平面 EFGH∥平面 α.

图 6-4

6、已知 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作 平面交平面 BDM 于 GH,求证:AP∥GH、

7、如图 6-5 所示,三棱柱 ABC—A1B1C1,D 是 BC 上一点,且 A1B∥平面 AC1D,D1 是 B1C1 的中点. 求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D.

图 6-5 8、 如图 6-6 所示, 四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, 在侧面 PBC 内, 6 有 BE⊥PC 于 E,且 BE= a,试在 AB 上找一点 F,使 EF∥平面 PAD. 3

图 6-6

6

空间点、线、面的位置关系

七、空间中的垂直问题 1、线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形) 是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 2、垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 巩固练习 1、已知直线 a,b 和平面 α,且 a⊥b,a⊥α,则 b 与 α 的位置关系为 ( ) A.b?α B.b∥α C.b?α 或 b∥α D.b 与 α 相交 2、设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面 ( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 3、边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则 AC 的长为 ( ) 2 3 A. 2a B. a C. a D.a 2 2 4、给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 5、如图 7-1,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= ,则下列结 2 论中错误的是( ) A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等

图 7-1

6、如图 7-2,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点 (点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:⑴平面 ADE⊥平面 BCC1B1; ⑵直线 A1F∥平面 ADE.

图 7- 2

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空间点、线、面的位置关系


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