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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:2.2.1 条件概率]

选修 2-3

第二章

2.2

2.2.1

一、选择题 1 2 11.已知 P(B|A)= ,P(A)= ,则 P(AB)等于( 3 5 5 A. 6 2 C. 15 [答案] C 1 2 2 [解析] P(AB)=P(B|A)· P(A)= × = ,故答案选 C. 3 5 15 2.在 10 个形状大小均相同的球中有 6 个红球和 4 个白球,不放回地依次摸出 2 个球, 在第 1 次摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为( 3 A. 5 1 C. 10 [答案] D 6 3 [解析] 设第一次摸到的是红球为事件 A, 则 P(A)= = , 设第二次摸得红球为事件 B, 10 5 则 P(AB)= 6×5 1 = ,故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为 P(B|A)= 10×9 3 2 B. 5 5 D. 9 ) 9 B. 10 D. 1 15 )

P?AB? 5 = ,选 D. P?A? 9 3.抛掷红、黄两颗骰子,当红色骰子的点数为 4 或 6 时,两颗骰子的点数之积大于 20 的概率是( 1 A. 4 1 C. 2 [答案] B [解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有 6×6=36 个基本事件,其中红色骰子的点数为 4 或 6 的有 12 个基本事件,两颗骰子点数之积包含 4×6,6×4,6×5,6×6 共 4 个基本事件. 4 36 1 所以其概率为 = . 12 3 36 4.一个盒子里有 20 个大小形状相同的小球,其中 5 个红的,5 个黄的,10 个绿的,从 ) 1 B. 3 3 D. 5

盒子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是( 5 A. 6 2 C. 3 [答案] C 3 B. 4 1 D. 3

)

[解析] 在已知取出的小球不是红球的条件下,问题相当于从 5 黄 10 绿共 15 个小球中 10 2 任取一个,求它是绿球的概率,∴P= = . 15 3 9 11 5.根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为 ,下雨的概率为 ,既吹东 30 30 8 风又下雨的概率为 .则在吹东风的条件下下雨的概率为( 30 A. 9 11 8 B. 11 8 D. 9 )

2 C. 5 [答案] D

11 [解析] 设事件 A 表示“该地区四月份下雨”, B 表示“四月份吹东风”, 则 P(A)= , 30 8 9 8 P?AB? 30 8 P(B)= ,P(AB)= ,从而吹东风的条件下下雨的概率为 P(A|B)= = = . 30 30 9 9 P?B? 30 6.一个口袋中装有 2 个白球和 3 个黑球,则先摸出一个白球后放回,再摸出一个白球 的概率是( 2 A. 3 2 C. 5 [答案] C 2 2 2 4 [解析] 设 Ai 表示第 i 次(i=1、 2)取到白球的事件, 因为 P(A1)= , P(A1A2)= × = , 5 5 5 25 4 25 2 在放回取球的情况 P(A2|A1)= = . 2 5 5 二、填空题 7.甲、乙两地都处于长江下游,根据历史记载,知道甲、乙两地一年中雨天占的比例 分别为 20%与 18%,两地同时下雨的比例为 12%. (1)乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率为________. ) 1 B. 4 1 D. 5

(2)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率为________. 2 [答案] (1) 3 (2)0.6

[解析] 设 A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则 P(A)=20%=0.2,P(B)=18% =0.18,P(AB)=12%=0.12. (1)P(A|B)= (2)P(B|A)= P?AB? 0.12 2 = = . P?B? 0.18 3 P?AB? 0.12 = =0.6. 0.2 P?A?

8.100 件产品中有 5 件次品,不放回地抽取两次,每次抽 1 件,已知第一次抽出的是 次品,则第 2 次抽出正品的概率为________. [答案] 95 99 5 100

[解析] 设“第一次抽到次品”为事件 A, “第二次抽到正品”为事件 B, 则 P(A)=
1 1 C1 19 P?AB? 95 5C95 = ,P(AB)= 2 = ,所以 P(B|A)= = . 20 A100 396 P?A? 99

9.一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩, 则这时另一个小孩是男孩的概率是________. [答案] 2 3

[解析] 设 A=“其中一个是女孩”,B=“其中一个是男孩”,则 3 1 P(A)= ,P(AB)= , 4 2 P?AB? 2 ∴P(B|A)= = . P?A? 3 三、解答题 10.一个盒子中有 6 只好晶体管,4 只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后 不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的概率. [解析] 令 Ai={第 i 只是好的},i=1,2.
1 1 1 解法 1:n(A1)=C1 6C9,n(A1A2)=C6C5, 1 n?A1A2? C1 5 6C5 = 1 1= . n?A1? C6C9 9

故 P(A2|A1)=

解法 2:因事件 A1 已发生(已知),故我们只研究事件 A2 发生便可,在 A1 发生的条件下, 盒中仅剩 9 只晶体管,其中 5 只好的,所以 P(A2|A1)= C1 5 5 = . C1 9 9

一、选择题 11.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如果从中任取两个 球,则恰好取到两个同色球的概率是( 1 A. 5 2 C. 5 [答案] C
2 [解析] 从 5 个球中任取两个,有 C2 5=10 种不同取法,其中两球同色的取法有 C3+1

) 3 B. 10 1 D. 2

=4 种, 4 2 ∴P= = . 10 5 12. (2014· 哈师大附中高二期中)一盒中装有 5 个产品, 其中有 3 个一等品, 2 个二等品, 从中不放回地取出产品,每次 1 个,取两次,已知第二次取得一等品的条件下,第一次取得 的是二等品的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] A [解析] 解法 1:设 A=“第一次取到二等品”,B=“第二次取得一等品”,则 AB= 2×3 5×4 P?AB? 1 “第一次取到二等品且第二次取到一等品”,∴P(A|B)= = = . P?B? 2×3+3×2 2 5×4 解法 2:设一等品为 a、b、c,二等品为 A、B, “第二次取到一等品”所含基本事件有(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b), (A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)共 12 个,其中第一次取到一等品的基本事 6 1 件共有 6 个,∴所求概率为 P= = . 12 2 13.从 1、2、3、4、5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( 1 A. 8 2 C. 5 [答案] B 1 B. 4 1 D. 2 ) ) 1 B. 3 2 D. 3

2 C2 4 C2 1 2+C3 2 [解析] ∵P(A)= = ,P(AB)= 2= , 2 C5 10 C5 10

P?AB? 1 ∴P(B|A)= = . P?A? 4 二、填空题 14.先后两次抛掷同一枚骰子,将得到的点数分别记为 a、b.将 a,b,5 分别作为三条线 段的长,则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________. [答案] 7 18

[分析] 本题有两点要点:一是构成三角形,须满足较小的两个数的和大于第三个数; 二是构成等腰三角形,须有两个数相等. [解析] 基本事件的总数为 6×6=36. ∵三角形的一边长为 5, ∴当 a=1 时,b=5 符合题意,有 1 种情况; 当 a=2 时,b=5 符合题意,有 1 种情况; 当 a=3 时,b=3 或 5 时符合题意,即有 2 种情况; 当 a=4 时,b=4 或 5 时符合题意,有 2 种情况; 当 a=5 时,b∈{1,2,3,4,5,6}时符合题意,即有 6 种情况; 当 a=6 时,b=5 或 6 时符合题意,即有 2 种情况. 故满足条件的不同情况共有 14 种,所求概率为 14 7 P= = . 36 18 15.从 1~100 这 100 个整数中,任取一数,已知取出的一数是不大于 50 的数,则它是 2 或 3 的倍数的概率为________. [答案] 33 50

[解析] 解法 1:根据题意可知取出的一个数是不大于 50 的数,则这样的数共有 50 个, 33 其中是 2 或 3 的倍数的数共有 33 个,故所求概率为 . 50 解法 2:设 A=“取出的球不大于 50”,B=“取出的数是 2 或 3 的倍数”,则 P(A)= 50 1 33 = ,P(AB)= , 100 2 100 P?AB? 33 ∴P(B|A)= = . P?A? 50 三、解答题 16.某校高三(1)班有学生 40 人,其中共青团员 15 人.全班平均分成 4 个小组,其中 第一组有共青团员 4 人.从该班任选一个作学生代表.

(1)求选到的是第一组的学生的概率; (2)已知选到的是共青团员,求他是第一组学生的概率. [解析] 设事件 A 表示“选到第一组学生”, 事件 B 表示“选到共青团员”. 10 1 (1)由题意,P(A)= = . 40 4 (2)解法 1:要求的是在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的条件概率 P(A|B).不难理 解,在事件 B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提),有 15 种不同的选择, 其中属于第一组的有 4 种选择.因此,P(A|B)= 15 3 4 1 解法 2:P(B)= = ,P(AB)= = , 40 8 40 10 P?AB? 4 ∴P(A|B)= = . P?B? 15 17.投掷两颗均匀骰子,已知点数不同,设两颗骰子点数之和为 ξ,求 ξ≤6 的概率. [解析] 解法 1: 投掷两颗骰子, 其点数不同的所有可能结果共 30 种, 其中点数之和 ξ≤6 的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),共 11 种,∴ 11 所求概率 P= . 30 30 5 解法 2:设 A=“投掷两颗骰子,其点数不同”,B=“ξ≤6”,则 P(A)= = ,P(AB) 36 6 11 = , 36 P?AB? 11 ∴P(B|A)= = . P?A? 30 18.在某次考试中,要从 20 道题中随机地抽出 6 道题,若考生至少能答对其中的 4 道 题即可通过;若至少能答对其中的 5 道题就获得优秀,已知某考生能答对其中的 10 道题, 并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率. [解析] 设 D 为“该考生在这次考试中通过”,则事件 D 包含事件 A={该考生 6 道题 全答对}, 事件 B={该考生 6 道题中恰答对 5 道}, 事件 C={该考生 6 道题中恰答对 4 道}. 设 E={该考生获得优秀},由古典概型的概率公式及加法公式可知 P(D)=P(A∪B∪C)=P(A) + P(B)+ P(C) =
1 2 C6 C5 C4 10 10C10 10C10 + 6 , P(AD) =P(A) ,P(BD) =P(B), P(E|D) =P(A ∪B|D) = 6 + 6 C20 C20 C20

4 . 15

1 C6 C5 10 10C10 6 6 C20 C20 P?A? P?B? 13 P(A|D)+P(B|D)= + = 6 .故所求的概 5 1 4 2 + 6 5 1 4 2 = P?D? P?D? C10+C10C10+C10C10 C10+C10C10+C10C10 58 C6 C6 20 20

13 率为 . 58

[点评]

解此类题时利用公式 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可使求有些条件概率时更为

简捷,但应注意 B、C 互斥这一前提条件.


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