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数学:1.1《变化率与导数》课件(新人教A版选修2-2)_图文

新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-2 选修

1.1. 《变化率与导数》

教学目标
? 了解导数概念的实际背景,体会导数的 思想及其内涵;了解函数的平均变化率; 教学重点: 教学重点: ? 函数的平均变化率;导数概念的实际背景, 导数的思想及其内涵;

一、变化率问题

导数研究的问题

变化率问题

研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度.

微积分主要与四类问题的处理相关: 微积分主要与四类问题的处理相关
? 一、已知物体运动的路程作为时间的函数 已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 求物体在任意时刻的速度与加速度等 ? 二、求曲线的切线 求曲线的切线; ? 三、求已知函数的最大值与最小值 求已知函数的最大值与最小值; ? 四、求长度、面积、体积和重心等。 求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大( 数增减、变化快慢、最大(小)值等问题 最一般、最有效的工具。 最一般、最有效的工具。

变化率问题
? 问题 气球膨胀率 问题1
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现 可以发现,随着气球内空气容量的增 过程 可以发现 随着气球内空气容量的增 气球的半径增加越来越慢.从数学角度 加,气球的半径增加越来越慢 从数学角度 气球的半径增加越来越慢 从数学角度, 如何描述这种现象呢? 如何描述这种现象呢
? 气球的体积 单位 与半径 气球的体积V(单位 与半径r 单位:L)与半径 4 3 (单位 单位:dm)之间的函数关系是 V ( r ) = π r 单位 之间的函数关系是

3 3V 3 ? 如果将半径 表示为体积 的函数 那么 r (V ) = 如果将半径r表示为体积 的函数,那么 表示为体积V的函数 4π

我们来分 析一下: 析一下
3V r (V ) = 4π
3

? 问题 气球膨胀率 问题1 我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现 可以发现,随着气球内空气容 的过程 可以发现 随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢 气球的半径增加越来越慢. 量的增加 气球的半径增加越来越慢 从数学角度,如何描述这种现象呢 如何描述这种现象呢? 从数学角度 如何描述这种现象呢

? 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ≈ 0.62(dm) 气球的平均膨胀率 r (1) ? r (0) 膨胀率为 膨胀率
1? 0 ≈ 0.62(dm / L)

? 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ≈ 0.16(dm) 气球的平均膨胀率 r (2) ? r (1) 膨胀率为 膨胀率 显然
2 ?1 ≈ 0.16(dm / L)
0.62>0.16

思考?
? 当空气容量从 1增加到 2时,气球的平 当空气容量从V 增加到V 气球的平 均膨胀率是多少? 均膨胀率是多少

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 问题 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 高台跳水运动中 运动员相对于水面 的高度h(单位: h(单位 与起跳后的时间t 的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单 位:秒)存在函数关系 h 2+6.5t+10. h(t)=h(t)=-4.9t 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态? 地描述其运动状态?
o t

请计算

0 ≤ t ≤ 0.5和1 ≤ t ≤ 2时的平均速度v :

请计 0 ≤ t ≤ 0.5和1 ≤ t ≤ 2时的平均速度v : 算
h

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

t

平均变化率定义: 平均变化率定义
上述问题中的变化率可用式子

f(x2 ) ? f ( x1 ) 表示 x2 ? x1

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 从 称为函数

? 若设?x=x2-x1, ?f=f(x2)-f(x1) 若设
这里?x看作是对于 这里 看作是对于x1的一个 看作是对于 增量”可用x 代替x “增量”可用 1+?x代替 2 代替 同样?f=?y==f(x2)-f(x1) 同样

则平均变化率为 平均变化率为

f = x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

思考? 思考
? 观察函数 观察函数f(x)的图象 的图象

?y f(x2 ) ? f ( x1 ) = 平均变化率 ?x x2 ? x1
y f(x2)

Y=f(x)

B

表示什么? 表示什么
f(x2)-f(x1)=△y △ A f(x1) x2-x1=△x △x x1 x2

直线AB 直线 的斜率

O

做两个题吧! 做两个题吧
? 1 、已知函数 已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 的图象上的一点A(的图象上的一点 1,-2)及临近一点 及临近一点B(-1+?x,-2+?y),则 及临近一点 则 ?y/?x=( ) D A 3 B 3?x-(?x)2 C 3-(?x)2 D 3-?x ? 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 、 附近的平均速度。 2x0+?x

练习: 练习:
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为( A ) A. 6+?t C.3+?t 9 B. 6+?t+ ?t D.9+?t

? 2.物体按照 物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 物体按照 的规律作直 线运动,求在 附近的平均变化率. 求在4s附近的平均变化率 线运动 求在 附近的平均变化率

25 + 3?t

小结: 小结:
? 1.函数的平均变化率 函数的平均变化率

f ( x ) f(x 2 ) ? f ( x1 ) = x 2 ? x1 x

? 2.求函数的平均变化率的步骤 求函数的平均变化率的步骤: 求函数的平均变化率的步骤 (1)求函数的增量?f=?y=f(x2)-f(x1); 求函数的增量

(2)计算平均变化率 计算

f = x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

练习: 练习:
? 过曲线 过曲线y=f(x)=x3上两点 (1,1)和Q 上两点P( , ) (1+?x,1+?y)作曲线的割线,求出当 作曲线的割线, 作曲线的割线 ?x=0.1时割线的斜率 时割线的斜率. 时割线的斜率

(1+?x )3 ?13 2 2 k= = 3 +3?x +(?x ) = 3 +3×0.1+ 0.1 = 3.31 (1+?x ) ?x

二、导数的概念

问题2 问题 高台跳水 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高 h(单位 单位: 与起跳后的时间t 单位: 度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系 h h(t)=h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态? 地描述其运动状态?
o t

65 计算运动员在0 这段时间里的平均速度, 计算运动员在0 ≤ t ≤ 这段时间里的平均速度, 49
65 h( ) = h(0) = 10 49

?h v= =0 ?t

思考下面问题; 思考下面问题; 1)运动员在这段时间里是静止的吗? 运动员在这段时间里是静止的吗?
2)你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗? 你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗?

瞬时速度. 瞬时速度
? 在高台跳水运动中 平均速度不能准确反映 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 他在这段时间里运动状态 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
又如何求 瞬时速度呢? 瞬时速度呢

如何求(比如, 如何求(比如,

趋近于0时 平均 当?t趋近于 时,平均 趋近于 t=2时的)瞬时速度? =2时的 瞬时速度? 时的) 速度有什么变化趋势 速度有什么变化趋势?

通过列表看出平均速度的变化趋势



瞬时速度
? 我们用

h(2 + ?t ) ? h(2) lim = ?13.1 ?t →0 ?t

Δt趋近于 趋近于0 表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确 定值定值-13.1”.
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度, 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过 取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

? 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度? 那么,运动员在某一时刻t 的瞬时速度?
? t→ 0

lim

h (t 0 + ? t ) ? h (t 0 ) ?t

导数的定义: 导数的定义
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 在 处的瞬时变化率是: 从函数

问题:
? 求函数 求函数y=3x2在x=1处的导数 处的导数. 处的导数 分析:先求?f=?y=f(1+?x)-f(1) 分析:先求 1 1 =6?x+(?x)2 再求

再求

lim

f = 6+ x x y
x→ 0

x

=6

应用: 应用:
移单位是m,时间单位是 时间单位是s,g=10m/s .求: 中位 移单位是 时间单位是 求 (1) 物体在时间区间 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; 上的平均速度; 上的平均速度 (2) 物体在时间区间 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; 上的平均速度; 上的平均速度 (3) 物体在 物体在t=2(s)时的瞬时速度 时的瞬时速度. 时的瞬时速度 分析:
1 ? s = s (t 0 + ? t ) ? s ( t 0 ) = 2 g ? t + g ( ? t ) 2 2 __ 1 ? s s (t 0 + ? t ) ? s (t 0 ) v= = = 2 g + g (?t ) 2 ?t ?t
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为 s 运动方程为: 例1 物体作自由落体运动 运动方程为: = 2 gt 其 2

__

解:

1 ?s v= = 2 g + g ( ?t ) 2 ?t

O s(2) s(2+?t)

(1)将 Δt=0.1代入上式,得: 将 代入上式, 代入上式 __

v = 2.05g = 20.5m / s.

?s

(2)将 Δt=0.01代入上式,得: 将 代入上式, 代入上式 __

v = 2.005g = 20.05m / s.
__

( 3 )当 ? t → 0,2 + ? t → 2, 的极限为: 从而平均速度 v 的极限为: __ ?s v = lim v = lim = 2g = 20m / s. ?t →0 ?t →0 ?t

s

应用:
? 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 将原油精练为汽油、柴油、 产品,需要对原油进行冷却和加热。 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 原油的温度(单位: ) 时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第 (h) 和第 (h)时,原 计算第2( 和第6( ) 计算第 由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。 由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。
关键是求出: 关键是求出: f = 2x + x ? 7 fx
x →0

再求出lim

x

= 2x ? 7

它说明在第2( 附近 附近, 它说明在第 (h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 温度大约以 的速度下降; 的速度下降 在第6( 附近 附近, 在第 (h)附近,原油温度大 约以5 的速度上升。 约以 0C/H的速度上升。 的速度上升

应用:
? 例3.质量为10kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的 质量为10kg的物体,按照s(t)=3t +t+4的 10kg的物体 规律做直线运动, 规律做直线运动, (1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度; 求运动开始后4 时物体的瞬时速度;

1 2 求运动开始后4 时物体的动能。 (2)求运动开始后4s时物体的动能。 ( E = mv ) 2
?s 25?t + 3?t 2 v = lim = lim = lim (25 + 3?t ) = 25 ?x → 0 ?t ?x → 0 ?x → 0 ?t 1 2 1 E = mv = × 10 × 252 = 3125( J ) 2 2

小结:
? 1求物体运动的瞬时速度: 求物体运动的瞬时速度:

Δs=s(t+Δt)(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 (2)求平均速度 = s ; v t s (3)求极限 lim = lim s(t +
x →0

t

x →0

t ) ? s (t ) . t

? 1由导数的定义可得求导数的一般步骤: 由导数的定义可得求导数的一般步骤: 由导数的定义可得求导数的一般步骤 (1)求函数的增量?y=f(x0+?t)-f(x0) )

(2)求平均变化率 求平均变化率 (3)求极限 f ' ( x0 ) = lim )
x →0

y x

y x

练习:
? (1)求函数 求函数y= 求函数 ? (2)求函数 求函数y= 求函数 处的导数. 在x=1处的导数 处的导数

x

4 的导数. 的导数 2 x

三、导数的几何意义

回顾
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x y=f(x)的定义域为 ∈D,f(x)从 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为: 平均变化率为:

f = x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y △ f(x1) O

Y=f(x)

②割线的斜率

f k= = x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

B

A x2-x1=△x △x x1 x2

回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 在 处的瞬时变化率是: 从函数
f ( x 0 + x ) ? f ( x 0) x = lim
x →0

lim
x →0

f , x

我们称它为函数y=f(x) 我们称它为函数y=f(x)

处的导数,记作f 在x=x0处的导数,记作f′ (x0)或y′|x→x0即
f '( x 0) = lim
x →0

f ( x 0 + x ) ? f ( x 0) x

= lim
x →0

f , x

以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 取极限 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

由导数的意义可知,求函数 在点x 由导数的意义可知 求函数y=f(x)在点 0处的 求函数 在点 导数的基本方法是: 导数的基本方法是

(1)求函数的增量?y = f (x0 + ?x) ? f (x0 ); 回 (2)求平均变化率 ?y = f (x 0 +?x) ? f (x0 ) ; 顾 ?x ?x
?y (3)取极限,得导数f ′( x0 ) = lim . ?x→0 ?x

注意:这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 注意 这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负. 自变量的增量?x的形式是多样的 但不论?x选择 的形式是多样的,但不论 自变量的增量 的形式是多样的 但不论 选择 哪种形式, 也必须选择与之相对应的形式. 哪种形式 ?y也必须选择与之相对应的形式 也必须选择与之相对应的形式

应用:
? 例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 将原油精练为汽油、柴油、 产品,需要对原油进行冷却和加热。 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 原油的温度(单位: ) 时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第 (h) 和第 (h)时,原 计算第2( 和第6( ) 计算第 由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。 由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。
关键是求出: 关键是求出: f = 2x + x ? 7 fx
x →0

再求出lim

x

= 2x ? 7

它说明在第2( 附近 附近, 它说明在第 (h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 温度大约以 的速度下降; 的速度下降 在第6( 附近 附近, 在第 (h)附近,原油温度大 约以5 的速度上升。 约以 0C/H的速度上升。 的速度上升

导数的几何意义:
y y=f(x) Q 割 线 T 切线

P

α

o

x 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即 当点Q沿着曲线无限接近点 我们发现 当点 沿着曲线无限接近点 即 割线PQ如果有一个极限位置 Δx→0时,割线 如果有一个极限位置 则我 → 时 割线 如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点 处的切线 们把直线 称为曲线在点P处的切线. 称为曲线在点 处的切线

y

设切线的倾斜角为α 那 设切线的倾斜角为α,那 么当?x→0时,割线 的斜 割线PQ的斜 么当 时 割线 称为曲线在点P处的 率,称为曲线在点 处的切 称为曲线在点 处的切 线的斜率. 线的斜率
'

y= Q f( x) P
α

割 线 T 切 线 x

o

f (x0 +?x) ? f (x0 ) ?y = lim 即: k切线 = f (x0 ) = lim ?x→0 ?x ?x→0 ?x
这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 这个概念 ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质——函数在 函数在x=x0处的导数 处的导数. ②切线斜率的本质 函数在 要注意,曲线在某点处的切线 曲线在某点处的切线: 要注意 曲线在某点处的切线 1) 与该点的位置有关 与该点的位置有关; 2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解 如有极限 则在 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限 如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的 如不存在,则在此点处无切线 且切线是唯一的;如不存在 则在此点处无切线; 此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3) 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点 并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个 甚至可以无穷多个. 可以有多个 甚至可以无穷多个

求曲线y=f(x)=x2+1在点 在点P(1,2)处的切线方程 处的切线方程. 例1:求曲线 求曲线 在点 处的切线方程 f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 解 : k = lim y ?x→0 Q ?x (1 + ?x)2 + 1 ? (1 + 1) = lim 2 ?x→0 y = x +1 ?x 2?x + (?x)2 = lim = 2. ?x→0 ?x P 因此,切线方程为 切线方程为y-2=2(x-1), 因此 切线方程为 ?x 即y=2x.
1
?

?y

M

x

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: 的基本步骤 求出P点的坐标 点的坐标; ①求出 点的坐标 ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; 出切线的斜率 利用点斜式求切线方程. ③利用点斜式求切线方程

-1 O

1

1 3 8 y = x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 练习 如图已知曲线 求 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率 (2)点P处的切线方程 处的切线的斜率; 处的切线方程. 点 处的切线的斜率 点 处的切线方程
1 1 3 3 ( x + ?x ) ? x 1 3 ?y 3 ′ = lim (1 = lim 3 解: ) y = x ,∴ y ?x → 0 ? x ?x → 0 y 3 ?x 1 y= x 3 4 1 3 x 2 ?x + 3 x ( ?x ) 2 + ( ?x ) 3 = lim 3 3 ?x → 0 ?x 2 1 = lim [3 x 2 + 3 x?x + ( ?x ) 2 ] = x 2 . 1 3 ?x → 0

3

P

∴ y′ | x=2 = 22 = 4.

x

-2 -1

处的切线的斜率等于4. 即点P处的切线的斜率等于 处的切线的斜率等于

O -1 -2

1

2

(2)在点 处的切线方程是 在点P处的切线方程是 在点 处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 即

函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 由函数 在 处求导数的过程可以看到 当 是一个确定的数.那么 那么,当 变化时 便是x 变化时,便是 时,f’(x0) 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是 的一个函数,我们叫它为 我们叫它为f(x)的导函数 即: 的导函数.即 的一个函数 我们叫它为 的导函数

?y f (x + ?x) ? f (x) f ′(x) = y′ = lim = lim ?x→0 ?x ?x→0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 也简称导数 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

函数y = f (x)在点x0处的导数f ′(x0 ) 等于函数f (x)的导函 数f ′(x)在点x0处的 ( ) 函数值 .

如何求函数y=f(x)的导数 的导数? 如何求函数 的导数

(1)求函数的增量?y = f (x +?x) ? f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值: ?y f (x +?x) ? f (x) = ; ?x ?x ?y (3)求极限,得导函数y′ = f ′(x) = lim . ?x→0 ?x

看一个例子: 看一个例子
例4.已知 y =
?y = ?x

x,求 y ′.
x x + ?x + x

解:?y = x + ?x ? x =
1 x + ?x + x

?y 1 1 ∴ y′ = lim = lim = . ?x →0 ?x ?x →0 x + ?x + x 2 x

下面把前面知识小结: 下面把前面知识小结
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念, 学表达式的一个重要概念,要从它的几何意义和物 理意义认识这一概念的实质,学会用事物在全过 理意义认识这一概念的实质,学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤: 要切实掌握求导数的三个步骤: 要切实掌握求导数的三个步骤 (1)求函数的增 量; ) (2)求平均变化率; )求平均变化率; (3)取极限,得导数。 )取极限,得导数。

小结:
c.弄清“函数f(x)在点 0处的导数”、“导函数”、 弄清“函数 在点x 处的导数” 导函数” 弄清 在点 导数” 之间的区别与联系。 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 )函数在一点处的导数, 变量与自变量的改变量之比的极限, 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 常数,不是变数。 而言的, (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 而言的 )函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f(x)的导函数 f ′(x) 。 就是函数 的导函数 在点x (3)函数 )函数f(x)在点 0处的导数 f ′( x0 ) 就是导函数 f ′(x) 在点 处的函数值, 在x=x0处的函数值,即 f ′( x0 ) = f ′( x) |x= x 。这也是 求函数在点x 处的导数的方法之一。 求函数在点 0处的导数的方法之一。
0

小结: 小结
求切线方程的步骤: 求切线方程的步骤:
(1)求出函数在点 0处的变化率 f ′( x 0 ) ,得到曲线 )求出函数在点x 在点(x 的切线的斜率。 在点 0,f(x0))的切线的斜率。 的切线的斜率 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即 )根据直线方程的点斜式写出切线方程,

y ? f (x0 ) = f ′(x0 )(x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想, 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 数概念。 导 数概念。


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