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数列求通项专题


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百色高中文科数学总复习专题---由递推关系求数列通项 百色高中文科数学总复习专题---由递推关系求数列通项 总复习专题--类型一: S n = f ( an )
解决方法 ???? an = ? s1 → ?

(n = 1)

? sn ? sn ?1 (n ≥ 2)
n

例 1:在数列 {an } 中, a1 + a2 + a3 + L + an = 3 ,求数列 {an } 的通项公式﹒

例 2:已知下列各数列的前 n 项和为 Sn ,求数列 {an } 的通项公式﹒ (1) S n = 10 ? 1 ;
n

(2) S n = n + 1
2

例 3:已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 = a , an +1 = S n + 3 数列 {bn } 的通项公式﹒

n

n ∈ N + ,若 bn = S n ? 3n ,求

练习:1、数列{an}的前 N 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn ( n ∈ N * ) .求数列{an}的通项 an。 an = 3 2、已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 Sn 满足 S n =

n ?1

1 (an + 2) 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 8

an = 4 n ? 2
3、已知数列 {a n } 前 n 项和 S n = 4 ? a n ?

1 2 n?2
.

(2)求通项公式 a n . (1) 求 a n+1 与 an 的关系;

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专题讲解—数列通项求法 专题讲解 数列通项求法

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类型二: an +1 = an + f ( n) ( f ( n ) 可以求和) 类型三: an +1 = f ( n) ? an ( f ( n) 可以求积)

?解 决方 法? 累加法 ?? →
解决方法 ???? 累积法 →

例 4:已知数列 {an } , a1 =2, an +1 = an +3 n +2,求 an ﹒

例 5:在数列 {an } 中,已知 a1 = 1, 有 nan ?1 = ( n + 1) an ,( n ≥ 2 )求数列 {an } 的通项公式﹒

练习: 4、已知 a1 = 1 , an = an ?1 + n ( n ≥ 2 ) ,求 an ﹒ 5、已知 a1 = 1 , an =

n ?1 an ?1 ( n ≥ 2 ),求 an ﹒ n +1

→ 类型四: an +1 = Aan + B (其中A,B为常数A ≠ 0,1)???? 待定常数法
解决方法

可将其转化为 an +1 + t = A( an + t ) ,其中 t = 求 an 即可。

B ,则数列 {an + t} 为公比等于 A 的等比数列,然后 A ?1

例 6:在数列 {an } 中, a1 = 1 ,当 n ≥ 2 时,有 an = 3an ?1 + 2 ,求数列 {an } 的通项公式﹒

练习:6、已知数列{a n }中,a 1 =1,a n =

1 a n ?1 + 1 ( n ≥ 2) 求通项 a n . 2
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类型五: an +1 = pan + f ( n) ( p ≠ 0 且 p ≠ 1 ) 一般需一次或多次待定系数法,构造新的等差数列或等比数列。 例 7:在数列 {an } 中, a1 = 2, an +1 = λ an + λ
n +1

+ (2 ? λ ) ? 2 n (λ > 0) ,求数列 {an } 的通项公式﹒

例 8:在数列{ a n }中, a1 =

3 , 2a n ? a n ?1 =6 n ? 3 ,求通项公式 a n . 2

例 9:已知数列{a n }中, a1 =

5 1 1 , an +1 = an + ( )n +1 ,求数列 {an } 的通项公式﹒ 6 3 2

练习: 7、在数列{ a n }中, a1 = ?1, a n +1 = 2a n + 4 ? 3 8、设在数列 {an } 中, a1 = 1 , an =
n ?1

, 求通项公式 a n ﹒

1 an ?1 + 2n ? 1( n ≥ 2 ) 求数列 {an } 的通项公式. 2

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类型六: an +1 =

c ? an 解决方法 → ( c ? p ? d ≠ 0 ) ???? 倒数法 pan + d

例 10:在数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 =

an ,求数列 {an } 的通项公式﹒ 2an + 1

例 11: {an } 是首项为 1 的正项数列, ( n + 1) a n +1 ? na n + a n +1 a n = 0 设 且 (n=1,2,3…) 求数列 {an } ,
2 2

的通项公式﹒

练习 9、 (1) 、若数列的递推公式为 a1 = 3,

1 1 3 = ? 2(n ∈ ) ,则求这个数列的通项公式﹒ an = an +1 an 7 ? 6n
1 2n ? 1

(2) 、已知数列{ a n }满足 a1 = 1, n ≥ 2 时, a n ?1 ? a n = 2a n ?1 a n ,求通项公式 a n ﹒ an =

类型七: Aan +1 + Ban + Can ?1 = 0; 其中A,B,C为常数,且A ? B ? C ≠ 0

(

)
? A ?α ? β = B , ? ?β ?α = C

可将其转化为 A ( an +1 + α an ) = β ( an + α an ?1 )( n ≥ 2 ) -----(*)的形式,列出方程组 ? 解出 α , β ; 还原到(*)式,则数列 {an +1 + α an } 是以 a2 + α a1 为首项, 再结合其它方法,就可以求出 an 。

β
为公比的等比数列,然后

A

例 12、在数列 {an } 中, a1 = 2 , a2 = 4 ,且 an +1 = 3an ? 2an ?1 ( n ≥ 2 ) 求数列 {an } 的通项公式.

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