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高中数学第一章导数及其应用1.1.11.1.2变化率问题导数的概念课件新人教选修22101504110_图文

第一章 §1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 学习 目标 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念. 2.掌握函数平均变化率的求法. 3.掌握导数的概念,会用导数的定义求简单函数在某点处的导数. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念 设函数y=f(x),x1,x2是其定义域内不同的两个点,那么函数的变化率 f?x2?-f?x1? x2-x1 表示,我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的 可用式子 平均变化率,习惯上用Δx表示x -x ,即Δx=x -x ,可把Δx看作是相 2 1 2 1 对于x1的一个“增量”,可用x1+Δx代替x2;类似地,Δy= f(x2)-f(x1) . Δy 于是,平均变化率可以表示为 Δx . 答案 2.求平均变化率 求函数y=f(x)在[x1,x2]上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量Δx= x2-x1 ; (2)求函数值的增量Δy= f(x2)-f(x1) ; f?x2?-f?x1? Δy (3)求平均变化率 = x2-x1 Δx f?x1+Δx?-f?x1? = . Δx 答案 思考 (1)如何正确理解Δx,Δy? 答案 Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,其值可取正值、负值, 但Δx≠0;Δy也是一个整体符号,若Δx=x1-x2, 则Δy=f(x1)-f(x2),而不是Δy=f(x2)-f(x1),Δy可为正数、负数,亦可 取零. 答案 (2)平均变化率的几何意义是什么? 答案 如图所示:y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均 变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的 “数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视 ?Δ y ? ? ? 越大,曲线y=f(x)在区间[x ,x ]上越“陡峭”,反之亦然. 觉化”, 1 2 ? ? ?Δ x ? 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率, 若函数y=f(x)图象上有两点A(x1,f(x1)) ,B(x2,f(x2)) , f?x2?-f?x1? 则 =kAB. x2-x1 答案 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率 瞬时速度 .做直线运动的物体,它的运 把物体在某一时刻的速度称为 动规律可以用函数s=s(t)描述,设Δt为时间改变量,在t0+Δt这段时间 内,物体的位移(即位置)改变量是Δs= s(t0+Δt)-s(t0) ,那么位移改 变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度 v ,即 s?t0+Δt?-s?t0? Δs Δt v = Δt = . 答案 物理学里,我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度,即 t0时刻的瞬时速度,用v表示,物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体 s?t0+Δt?-s?t0? 在t0到t0+Δt这段时间内的平均变化率 在Δt→0时的极 Δt s?t0+Δt?-s?t0? Δs 限,即 v= lim .瞬时速度就是位移函数对时间 = lim → → Δt 0 Δt Δt 0 Δt 的 瞬时变化率 . 答案 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么? 答案 其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值,它是刻 画函数值在某处变化的快慢. (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么? 答案 ①区别:平均变化率刻画函数值在区间 [x1,x2]上变化的快慢, 瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢; Δy ②联系:当Δx趋于0时,平均变化率 趋于一个常数,这个常数即为 Δx 函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值. 答案 知识点三 导数的概念 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f?x0+Δx?-f?x0? Δy 一般地, 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是Δ lim =Δ lim , x→0 Δx x→0 Δx 我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的 导数 ,记作 f′(x0)或 y ? |x ? x0 ,即 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx→0 Δx f′(x0)=Δ lim = . x→0 Δx 答案 思考 (1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在? Δy Δy 答案 函数 f(x)在 x0 处可导,是指 Δx→0 时,Δx有极限,如果Δx不存在 极限,就说函数在点 x0 处无导数. (2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么? 答案 求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下: ①求函数值的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? ②求平均变化率:Δx= ; Δx f?x0+Δx?-f?x0? Δy ③取极限,得导数:f′(x0)=Δ lim =Δ lim . x→0 Δx x→0 Δx 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 求平均变化率 解 当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率为 2 2 f ? x + Δ x ? - f ? x ? [2 ? x + Δ x ? + 3] - ? 2 x Δy 0 0 0 0+3? = = Δx Δx Δx 4x0Δx+2?Δx?2 = = 4 x 0+2Δx. Δx 1 1 当 x0=2,Δx=2时,平均变化率的值为 4×2+2×2=9. 反思与感悟 解析答案 2Δx+4 解析 因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(Δx)2+4Δx, Δy 所以平均变化率Δx=2Δx+4. 解析答案 1 1 解 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)= 2- 2 ?x0+Δx? x0 Δx?2x0+Δx? =- 2 2, ?x0+Δx? x0 Δx?2x0+Δx? - 2 2 ? x + Δ x ? x0 0 Δy ∴Δx= Δx

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