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集合的含义与表示知识讲解


集合及集合的表示 【学习目标】 1.了解集合的含义,会使用符号“ ? ” “ ? ”表示元素与集合之间的关系. 2.能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常用数集、解集和一些基本图形的集 合等. 【要点梳理】 集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学 分支,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得 到应用. 要点一、集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能 判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集. 3.关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则 x 或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不 应重复出现同一元素. (3)无序性:集合中的元素的次序无先后之分.如:由 1,2,3 组成的集合,也可以写成由 1,3,2 组 成一个集合,它们都表示同一个集合. 4.元素与集合的关系: (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作 a ? A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作 a ? A 5.集合的分类 (1)空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作: ? . (2)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集. 6.常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集),记作 N * 正整数集,记作 N 或 N+ 整数集,记作 Z 有理数集,记作 Q 实数集,记作 R 要点二、集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法 来表示集合. 1. 自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法.如:大于等于 2 且小于等于 8 的偶数构成的集合. 2 3 2. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内.如:{1,2,3,4,5},{x ,3x+2,5y -x, 2 2 x +y },?;3.描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{ }内.具体方法:在大 括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 4.图示法:图示法主要包括 Venn 图、数轴上的区间等.为了形象直观,我们常常画一条封闭的曲线, 用它的内部来表示一个集合,这种表示集合的方法称为韦恩( Venn )图法 . 如下图,就表示集合

?1,2,3,4? .

1,2,3,4

【典型例题】 类型一:集合的概念及元素的性质 例 1.下列各组对象哪些能构成一个集合? (1)著名的数学家;(2)比较小的正整数的全体;(3)某校 2011 年在校的所有高个子同学;(4)不超过 20 的非负数;(5)方程 x ? 9 ? 0 在实数范围内的解; (6) 2 的近似值的全体. 答案:(4)、 (5) 解析:从集合元素的“确定” 、 “互异” 、 “无序”三种特性判断. “著名的数学家” 、 “比较小的正整数” 、 “高个子同学”对象不确定,所以(1)、(2)、 (3)不是集合, 同理(6)也不是集合.(4)、 (5)可构成集合,故答案是(4)、 (5). 点评: (1)判断指定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象,都能确定 它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. (2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的,集合里面元素的个数很多,但不一 定是无限集. 举一反三: 【变式 1】判断下列语句能否确定一个集合?如果能表示一个集合,指出它是有限集还是无限集. (1)你所在的班,体重超过 75kg 的学生的全体;(2)举办 2008 年奥运会的城市;(3)高一数学课本中的 所有难题;(4)在 2011 年 3 月 11 日日本地震海啸中遇难的人的全体;(5)大于 0 且小于 1 的所有的实数. 答案:集合:(1)、(2)、(4)、(5);有限集:(1)、(2)、(4)。 解析:紧扣“集合” 、 “有限集” 、 “无限集”的定义解决问题. (1)你所在的班,体重超过 75kg 的学生是确定的,不同的,能组成一个集合,且为有限集; (2)举办 2008 年奥运会的城市也能组成一个集合,为有限集; (3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的,不确定的,无明确标准,对于一道数学题是否是“难题” 无法客观判断. (4) 在 2011 年 3 月 11 日日本地震海啸中遇难的人是确定的,不同的,因而能构成集合,是有限集. (5) 大于 0 且小于 1 的所有的实数也是确定的,互异的,因此这样的实数能构成一个集合,是无限集.
2

例 2.集合 A 由形如 m ? 3n(m ? Z , n ? Z ) 的数构成的,判断 答案:是 解析 : 由分母有理化得,

1 是不是集合 A 中的元素? 2? 3

1 ? 2 ? 3 . 由题中集合 A 可知 m ? 2, n ? 1,均有 m ? Z, n? Z , 2? 3

? 2 ? 3 ? A ,即

1 ?A. 2? 3 1 2? 3

点评: (1) 解答本题首先要理解 ? 与 ? 的含义, 然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的, 能否化成此形式,进而去判断

1 是不是集合 A 中的元素. 2? 3

(2)判断一个元素是不是某个集合的元素,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征. 此类题,主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式. 举一反三: 【变式 1】设 S={x|x=m+ 2n,m,n ? Z} (1)若 a ? Z,则是否有 a ? S? (2)对 S 中任意两个元素 x1,x2,则 x1+x2,x1·x2,是否属于集合 S?

答案:a ? S 是 解析:(1)若 a ? Z,则有 a ? S,即 n=0 时,x ? Z,∴a ? S; (2) ? x1,x2 ? S,则 x1 =m1 + 2n1 ,x2 =m2 + 2n2 (m1 ,n1 ,m2 ,n2 ? Z)

? x1 ? x2 ? (m1 ? m2 ) ? 2(n1 ? n2 ) ? S (m1 ? m2 ? Z , n1 ? n2 ? Z ) x1 ? x2 =(m1 + 2n1 ) ? (m2 + 2n2 )=m1m2 +2n1n2 + 2(m1n 2 +m2 n1 ) ∵m1,n1,m2,n2 ? Z,∴m1m2+2n1n2 ? Z,m1n2+m2n1 ? Z ∴x1·x2 ? S.
类型二:元素与集合的关系 例 3.用符号“ ? ”或“ ? ”填空. (1) 2 3 _____{x | x ? 11} ,   3 2 ____{x | x ? 4} ; (2) 3___{x | x ? n2 ? 1 ,n ? N? } ,    5___{x | x ? n2 ? 1 ,n ? N? } ; (3) (?11) , ___{ y | y ? x2 } ,   (?11) , ___{( x,y) | y ? x2 }. 解析:给定一个对象 a,它与一个给定的集合 A 之间的关系为 a ? A ,或者 a ? A ,二者必居其一.解 答这类问题的关键是:弄清 a 的结构,弄清 A 的特征,然后才能下结论.对于第(1)题,可以通过使用计算 器,比较各数值的大小,也可以先将各数值转化成结构一致的数,再比较大小;对于第 (2)题,不妨分别 令 x=3,x=5,解方程;对于第(3)题,要明确各个集合的本质属性. (1)

2 3 ? 12 ? 11 , ? 2 3 ?{x | x ? 11} ;

3 2 ? 18 ? 16 ? 4, ?3 2 ?{x | x ? 4} ;
(2)令 3 ? n ? 1 ,则 n ? ? 2 ? N?, ?3 ?{x | x ? n2 ? 1 ,n ? N? } ;
2

令 5 ? n ? 1 ,则 n ? ?2 ,其中2 ? N?, ?5 ?{x | x ? n2 ? 1 ,n ? N? } ;
2

(3) ∵(-1,1)是一个有序实数对,且符合关系 y=x , ∴ (?11) , ?{ y | y ? x2 } ,   (?11) , ?{( x,y) | y ? x2 }. 点评:第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外, “见根号就平方”也是一种常用的解题思路 和方法,应注意把握.第(2)题关键是明确集合 {x | x ? n2 ? 1 ,n ? N? } 这个“口袋”中是装了些 x 呢?还 是装了些 n 呢?要特别注意描述法表示的集合,是由符号“|”左边的元素组成的,符号“|”右边的部 分表示 x 具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合 { y | y ? x } 这个“口袋”是由 y 构成的,并且
2

2

是由所有的大于或等于 0 的实数组成的;而集合 {( x,y) | y ? x } 是由抛物线 y ? x 上的所有点构成的,
2 2

是一个点集. 举一反三: 【变式 1】 用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1)若 A=Z ,则 ?

1 2

A ;-2

A.

2 (2)若 B ? x | 2 x ? x ? 1 ? 0 , 则 ?

?

?

1 2

B ;-2

B.

答案: (1) ? , ? (2) ? , ? 类型三:集合中元素性质的应用 例 4.定义集合运算: A

B ? ?z | z ? xy( x ? y), x ? A, y ? B? .设集合 A ? ?0,1? , B ? ?2,3? ,则集
D. 18

合 A B 的所有元素之和为 A. 0 B. 6 C. 12 答案: D 解析: A

B ? ?z | z ? xy( x ? y), x ? A, y ? B? ,? 当 A ? ?0,1?, B ? ?2,3? 时, A

B ? ?0,6,12? ,

于是 A B 的所有元素之和为 0+6+12=18. 点评:这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的情境下完成某种推理证明是集合命题 的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型. 举一反三: 【变式 1】 定义集合运算: A ? B ? ?z | z ? xy, x ? A, y ? B? , 设 A ? ?1 ,2 ? ,B ? ?0,2? ,则集合 A ? B ) C. 3 D. 6 的所有元素之和为( A. 0 B. 2 答案:D 解析:

z ? xy, x ? A, y ? B ,且 A ? ?1,2? , B ? ?0,2? ,

? z 的取值有:0,2,4 故 A ? B ? ?0, 2, 4? , ? 集合 A ? B 的所有元素之和为:0+2+4=6.
■高清课程:集合的表示及运算 例 5. 设集合 A ={x ? R | ax ? 2 x ? 1 ? 0 },当集合 A 为单元素集时,求实数 a 的值. 答案:0,1 2 解析:由集合 A 中只含有一个元素可得,方程 ax +2x+1=0 有一解,由于本方程并没有注明是一个二次 方程,故也可以是一次方程,应分类讨论: 当 a=0 时,可得是一次方程,故满足题意. 当 a≠0 时,则为一个二次方程,所以有一根的含义是该方程有两个相等的根,即为判别式为 0 时的 a 的值,可求得为 a=1.故 a 的取值为 0,1.
2
2 2 例 6.已知集合 A ? a ? 2, (a ? 1) , a ? 3a ? 3 ,若 1 ? A ,求实数 a 的值及集合 A .

?

?

答案: a ? 0 , A ? ?1,2,3? . 解析: (1)若 a ? 2 ? 1, 则 a ? ?1 . 所以 A ? ?1,0,1? ,与集合中元素的互异性矛盾,则 a ? ?1 应舍去.
2 (2)若 (a ? 1) ? 1 ,则 a ? 0 或 a ? ?2 ,

当 a ? 0 时, A ? ?2,1,3? 满足题意; 当 a ? ?2 时, A ? ?0,1,1 ?,与集合中元素的互异性矛盾,则 a ? ?2 应舍去.

(3)若 a ? 3a ? 3 ? 1 ,则 a ? ?1 或 a ? ?2 ,由上分析知 a ? ?1 与 a ? ?2 均应舍去.
2

综上, a ? 0 ,集合 A ? ?1,2,3? . 点评:本题中由于 1 和集合 A 中元素的对应关系不明确,故要分类讨论.此类问题在解答时,既要应用 元素的确定性、互异性解题,又要利用它们检验解的正确与否,特别是互异性,最容易忽视,必须在学习 中引起足够的重视. 举一反三:
2 【变式 1】已知集合 A ? a ? 2, a ? 2 , 3 ? A ,求实数 a 的值

?

?

答案:

a ? ?1

解析:当 a ? 2 ? 1 ,即 a ? ?1 时, A ? ?3,3? ,与集合的概念矛盾,故舍去 当 a 2 ? 2 ? 3, 即 a ? ?1 时, a ? 1 不满足题意舍去,故 a ? ?1 . 类型四:集合的表示方法 例 7.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x ? 3 ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 15 小于 25 的所有整数组成的集合.
2

答案: (1) { 3, (2) ?16,17,18,19,20,21,22,23,24? 。 ? 3}; 解析:(1)设方程 x ? 3 ? 0 的实数根为 x,并且满足条件 x ? 3 ? 0
2 2

因此,用描述法表示为 A ? {x | x2 ? 3 ? 0,x ? R} ; 方程 x ? 3 ? 0 有两个实数根 3, ? 3
2

因此,用列举法表示为 A ? { 3, ? 3} . (2)设大于 15 小于 25 的整数为 x,它满足条件 x ? Z ,且 15<x<25, 因此,用描述法表示为 B ? {x |15 ? x ? 25,x ? Z} ; 大于 15 小于 25 的整数有 16,17,18,19,20,21,22,23,24, 因此,用列举法表示为 B ? ?16,17,18,19,20,21,22,23,24? . 点评: (1)列举法表示集合,元素不重复、不计次序、不遗漏,且元素与元素之间用“, ”隔开. (2)列举法适合表示有限集,当集合中元素的个数较少时,用列举法表示集合较为方便,而且一目了 然. (3)用描述法表示集合时,要注意代表元素是什么,同时要注意代表元素所具有的性质. 举一反三: 【变式 1】用列举法表示集合: 2 3 (1)A={x ? R|(x-1)(x+2)(x -1)(x -8)=0} (2)B={(x,y)|x+y=3, x ? N, y ? N} (3)C={y|x+y=3,x ? N, y ? N}

?y ? x ? ? ? ?y ? ?x ? ? ? ?y ? x ? (5) M ? ? x ? ? ? ? y ? ? x? (6)P={x|x(x-a)=0, a ? R}
(4) D ? ?( x , y) ? 解析:本题是描述法与列举法的互化,一定要先观察描述法中代表元素是什么. (1)A={1,-2,-1,2}

? ? ? ?

(2)B={(0,3),(3,0),(1,2),(2,1)} (3)C={0,1,2,3} (4)D={(0,0)} (5)M={0} (6)当 a≠0 时,P={0,a};当 a=0 时,P={0}. 点评:此例题(2)与(3) , (4)与(5)两组都是考察代表元素的,而(6)考察了集合元素的互异性, 遇到代数式时,能否意识到字母 a ? R,需要分类讨论. 【变式 2】用适当的方法表示下列集合: (1)比 5 大 3 的数; (2)方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0 的解集; (3)二次函数 y ? x 2 ? 10 的图象上的所有点组成的集合。
2 答案: (1) ?8? ; (2) ?(2, ?3)? ; (3) ( x, y ) | y ? x ? 10

?

?
2

解析: (1)比 5 大 3 的数显然是 8,故可表示为 ?8? 。 (2)方程 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0 可化为 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 0 ,
2 2 2

? x ? 2, ?? ? 方程的解集为 ?(2, ?3)? 。 ? y ? ?3, 2 (3)用描述法表示为 ?( x, y ) | y ? x ? 10? 。
点评:用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据 集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。

巩固练习
一、选择题 1.下列条件所指对象能构成集合的是 ( ) A.与 0 非常接近的数 B.我班喜欢跳舞的同学 C.我校学生中的团员 D.我班的高个子学生 2.下列四个集合中,是空集的是( ) A. {x | x ? 3 ? 3} C. {x | x 2 ? 0} B. {( x, y) | y 2 ? ? x 2 , x, y ? R} D. {x | x 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R}

3.集合 ?x ? Z | (3x ?1)( x ? 4) ? 0? 可化简为( ) A. ? ?

?1 ? ?3?

B. ?4?

C. ? , 4 ?

?1 ?3

? ?

D. ?? , ?4 ?

? 1 ? 3

? ?

4.下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1;

(2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ;
2

(3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? 1,1? ; 其中正确命题的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个

D.3 个 )

5.若以集合 S ? ?a, b, c? 中的三个元素为边长可构成一个三角形,则这个三角形一定不是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

6. 设 a ? 0 ,则不等式 ax ? 1 ? 0 的解集为( ) A. ? x | x ?

? ?

1? ? a?

B. ? x | x ? ? ?

? ?

1? a?

C. ? x | x ?

? ?

1? ? a?

D. ? x | x ? ? ?

? ?

1? a?

二、填空题 7.用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1)-3______ N , (2) ?

2 ______ N ,

9 ______ N ;

1 ______ R, ? _______ R, e ______ CRQ ( e 是个无理数). 2

8. 方程组 ?

? x ? y ? 2, 的解集 用列举法表示为 ?x ? y ? 0

. . .

9.自然数中6个最小的完全平方数组成的集合为 10.由

|a| |b| ? (a, b ? R) 所确定的实数集合是 a b

2 11.用描述法表示的集合 y | y ? ? x ? 2 x ? 1, x ? R 可化简为

?

?

.

三、解答题 12.已知集合 A ? ? x ? N |

? ?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A . 6? x ?

13.分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)大于 ?4 且小于 6 的整数所组成的集合; (2)方程 x ? 5x ? 6 x ? 0 的实数根所组成的集合.
3 2

14.已知集合 A ={x ? R | ax ? 2 x ? 1 ? 0 , a ? R },若 A 中元素至多只有一个,求实数 a 的取值范
2

围.


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六、小结 1、集合的概念 2、集合的表示 3、元素与集合的关系 4、集合的分类

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