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高中数学必修1-第一章-集合与函数概念-知识点


第一章 集合与函数概念
一:集合的含义与表示
1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是 否属于这个整体。 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。 (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 (3)元素的无序性: 集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合 3、集合的表示:{?} (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 a、列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c??} b、描述法: ①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ③Venn 图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。 4、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系: (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的 子集。记作: A ? B (或 B ? A) 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分; (2)A 与 B 是同一集合。

? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A (2).“包含”关系(2)—真子集
如果集合 A ? B ,但存在元素 x?B 且 x¢A,则集合 A 是集合 B 的真子集 如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)读作 A 真含与 B (3).“相等”关系:A=B “元素相同则两集合相等” 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B (4). 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 (5)集合的性质 ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③如果 A B 且 B C,那么 A C ④有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 7、集合的运算 运算类型 交 集 并











由所有属于 A 且属于 B 的元 素所组成的集合 , 叫做 A,B 的交集. 记作 A ? B (读作 ‘A 交 B’),即 A ? B={x|x ? A,且 x ? B}.

由所有属于集合 A 或属于集 合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集. 记作: A? B(读作‘A 并 B’),即 A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}).

全集:一般,若一个集合汉语我们所研究 问题中这几道的所有元素, 我们就称这个 集合为全集,记作:U 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫 做 S 中子集 A 的补集 (或余集) 记作 C S A , CSA= {x | x ? S , 且x ? A}

韦恩图示
A B

A

B

S

A

图1

图2





A A A A A

∩ A=A ∩Φ =Φ ∩B=B ? A ∩B ? A ∩B ? B

A A A A A

U U U U U

A=A Φ =A B=B U A B ?A B ?B

(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(A∩B) AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ .

二、函数的概念
函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作: y=f(x),x∈A. (1)其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; (2)与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则 a) 定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意的 x 的值组成的 集合. (4)求抽象函数的定义域,如果没有弄清所给函数之间的关系,求解容易出错误 问题 1:已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [a,b] ,求 y ? f ( x ? 2) 的定义域 [误解]因为函数 y ? f ( x) 的定义域为 [a,b] ,所以 a ? x ? b ,从而 a ? 2 ? x ? 2 ? b ? 2 故 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a ? 2, b ? 2] [正解]因为 y ? f ( x) 的定义域为 [a,b] ,所以在函数 y ? f ( x ? 2) 中, a ? x ? 2 ? b , 从而 a ? 2 ? x ? b ? 2 ,故 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a ? 2, b ? 2] 问题 2:已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f ( x) 的定义域 [误解]因为函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,所以得到 a ? x ? 2 ? b ,从而 1.

a ? 2 ? x ? b ? 2 ,所以函数 y ? f ( x) 的定义域是 [a ? 2, b ? 2]

[正解]因为函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,则 a ? x ? b ,从而 a ? 2 ? x ? 2 ? b ? 2 所以函数 y ? f ( x) 的定义域是 [a ? 2, b ? 2] 即本题的实质是由 a ? x ? b 求 x ? 2 的范围

b) 值域 (先考虑其定义域) 求值域的几种常用方法(新课只讲配方,判别式,分离常数法) ( 1 )配方法:对于(可化为) “ 二次函数型 ” 的函数常用配方法,如求函数 y ? ? sin x ? 2 cos x ? 4 ,可变为
2

y ? ? sin 2 x ? 2 cos x ? 4 ? (cosx ? 1) 2 ? 2 解决
(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数 y ? log 1 (? x ? 2 x ? 3)
2 2

就是利用函数 y ? log 1 u 和 u ? ? x ? 2 x ? 3 的值域来求。Y=f(u),u=g(x)
2

2

2x ? 1 的值域 x ? 2x ? 2 1 2x ? 1 2 由y? 2 得 yx ? 2( y ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 , 若 y ? 0, 则得 x ? ? , 所以 y ? 0 是函数值域中的一个值; 2 x ? 2x ? 2
(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 y ?
2

若 y ? 0 , 则 由 ? ? [?2( y ? 1)] ? 4 y(2 y ? 1) ? 0 得
2

3 ? 13 3 ? 13 ? y? 且y ? 0 , 故 所 求 值 域 是 2 2

[

3 ? 13 3 ? 13 , ] 2 2

2 cos x ? 3 的值域,因为 cos x ? 1 2 cos x ? 3 5 5 5 y? ? 2? ? (?? ,? ] ,故 ,而 cos x ? 1 ? (0,2] ,所以 ? cos x ? 1 cos x ? 1 cos x ? 1 2 1 y ? (?? ,? ] 2 3x (5)利用基本不等式求值域:如求函数 y ? 2 的值域 x ?4
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数 y ? 当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, y ?

3 x? 4 x

,若 x ? 0 ,则 x ?

4 4 ? 2 x? ? 4 x x

若 x ? 0 ,则 x ?

4 4 4 3 3 ? ?(? x ? ) ? 2 ( ? x) ? ( ) ? 4 ,从而得所求值域是 [? , ] 4 4 x ?x ?x
4 2

(6)利用函数的单调性求求值域:如求函数 y ? 2 x ? x ? 2( x ? [?1,2]) 的值域
3 2 4 2 因 y ? 8x ? 2 x ? 2 x(4 x ? 1) ,故函数 y ? 2 x ? x ? 2( x ? [?1,2]) 在 ( ?1,? ) 上递减、在 ( ?

1 2

1 ,0) 上递增、在 2

1 1 15 (0, ) 上递减、在 ( ,2) 上递增,从而可得所求值域为 [ ,30] 2 2 8
(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段函数的值域常用

此法) 。 c) 3. 函数的表示方法: (1) 解析法:明确函数的定义域 (2) 图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。 (3) 列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。 4、函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y) 的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x), 反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,即平移。 (3)函数图像平移变换的特点:(新课靠后讲) 1)加左减右——————只对 x 2)上减下加——————只对 y 3)函数 y=f(x) 关于 X 轴对称得函数 y=-f(x) 4)函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x) 5)函数 y=f(x) 关于原点对称得函数 y=-f(-x) 6)函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去,x 轴上面图像不动得 函数 y=| f(x)| 7)函数 y=f(x) 先作 x≥0 的图像,然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|) 3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ②定义域一致 (两点必须同时具备) 4、区间的概念: (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(举个绝对值得例子) (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. (4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 复合函数:如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 7.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在 集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射。记作“f(对应关系):A(原象) ? B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射,而映射不一 定的函数 8、函数的单调性(局部性质)及最值 (1)、增减函数 1)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 2)如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种 (2)、 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单 调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3)、函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法: ○ 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 9:函数的奇偶性(整体性质) (1)、偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2)、奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数;若对称, 则进行下面判断; b、确定 f(-x)与 f(x)的关系; c、作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. (4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 a、在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数; 奇函数的加减仍为奇函数; 奇数个奇函数的乘除认为奇函数; 偶数个奇函数的乘除为偶函数; 一奇一偶的乘积是奇函数; b、复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不 对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 10、函数最值及性质的应用 (1)、函数的最值 a 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 b 利用图象求函数的最大(小)值 c 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); (2)、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 (3)、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与 0 作比较,作商法是与 1 作比较。 (4)、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。 (5)、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用 f(0)=0,但是 f(0)=0 并不一定可以判断函数为 奇函数。(高一阶段可以利用奇函数 f(0)=0)。

函数概念课堂举例
1、相同函数的判断 [例 1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (2) f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;
x x
, g ( x) ? ?

x ? 0, ?1 ?? 1 x ? 0;

(4) f ( x) ?

x
2

x ? 1 , g ( x) ?
2

x2 ? x ;

(5) f ( x) ? x ? 2x ? 1 , g (t ) ? t ? 2t ? 1 总结:要判断两个函数是否表示同一个函数,就要考查函数的三要素 比如 f ( x) ? x ? 1 , f (t ) ? t ? 1 , f (u ? 1) ? (u ? 1) ? 1 都可视为同一函数.
2 2 2

2、定义域: 5.(2008 江西改) 若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [1,3] ,则函数 g ( x ) ?

f (2 x) 的定义域是 x ?1 1 2 3 2

[解析] [ ,1) ? (1, ] ;因为 f ( x ) 的定义域为 [1,3] ,所以对 g ( x) , 1 ? 2 x ? 3 但 x ? 1 故 x ? [ ,1) ? (1, ] 4、映射 (1)集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从 A 到 B 的映射个数是__________,从 B 到 A 的映射个数是 __________. [解析] 9 , 8;从 A 到 B 可分两步进行:第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法(可对应 5 或 6 或 7) ,第二步 A 中的元素 4 也有这 3 种对应方法.由乘法原理, 不同的映射种数 N1=3× 3=9.反之从 B 到 A, 道理相同, 有 N2=2× 2× 2 =8 种不同映射 (2)8.若 f :y=3x+1 是从集合 A={1,2,3,k}到集合 B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,求自然数 a、k 的值及集 合 A、B. [解析] a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}; ∵f(1)=3× 1+1=4,f(2)=3× 2+1=7,f(3)=3× 3+1=10,f(k)=3k+1,由映射的定义知(1) ?
2 ? ?a ? 3a ? 10, 4 ? ?a ? 3k ? 1. 4 ? ?a ? 10, 或 2 ? a ? 3 a ? 3 k ? 1 , ?

1 2

3 2

(2) ?

∵a∈N,∴方程组(1)无解. 解方程组( 2),得 a=2 或 a=- 5(舍), 3k+1=16, 3k=15, k=5. ∴ A={1, 2, 3, 5}, B={4, 7, 10, 16}. 5、值域 (1)已知函数 y ? x ? 4ax ? 2a ? 6(a ? R) ,若 y ? 0 恒成立,求 f (a) ? 2 ? a a ? 3 的值域
2 2 [解析]依题意, y ? 0 恒成立,则 ? ? 16a ? 4(2a ? 6) ? 0 ,解得 ? 1 ? a ?

3 , 2

所以 f (a ) ? 2 ? a (a ? 3) ? ?( a ? 值域是 [ ?

3 2 17 3 19 ) ? ,从而 f (a) max ? f (?1) ? 4 , f (a ) min ? f ( ) ? ? ,所以 f (a ) 的 2 4 2 4

19 , 4] 4
)

(2)定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为 [ a, b] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为(

A. [a ? 1, b ? 1] ;B. [ a, b] ;C. [a ? 1, b ? 1] ;D.无法确定 [解析] B;函数 y ? f ( x ? 1) 的图象可以视为函数 y ? f ( x) 的图象向右平移一个单位而得到,所以,它们的值域是 一样的 (3) (2008 江西改) 若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [1,3] ,则函数 g ( x ) ?

f (2 x) 的定义域是 x ?1 1 2 3 2

[解析] [ ,1) ? (1, ] ;因为 f ( x ) 的定义域为 [1,3] ,所以对 g ( x) , 1 ? 2 x ? 3 但 x ? 1 故 x ? [ ,1) ? (1, ] (4)(2008 江西理改)若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ? x ? ? f ? x ? ? 是 [解析] [ 2,

1 2

3 2

2 3

1 的值域 f ( x)

10 1 2 ] ; F ( x) 可以视为以 f ( x) 为变量的函数,令 t ? f ( x) ,则 F ? t ? ( ? t ? 3) 3 t 3

F? ? 1?
值是

1 t 2 ? 1 (t ? 1)(t ? 1) 2 1 ? 2 ? ,所以, F ? t ? 在 [ ,1] 上是减函数,在 [1,3] 上是增函数,故 F ( x) 的最大 2 2 3 t t t t

10 ,最小值是 2 3

.

函数的概念及表示
一、选择题: 1、函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( A. x x ? 1 2、函数 y ? ) C. x x ? 1或x ? 0 ) B. ? ?1,1? D. ? ??,-1? ? ? ?1 , ? ?? )

?

?

B. x x ? 0

?

?

?

?

D. x 0 ? x ? 1

?

?

x ?1 的值域为( x ?1

A. ? ??, 1? ? ?1 , ? ?? C. ? ??,-1? ? ?1 , ? ??

3、下列函数 f ? x ? 与g ? x ? 表示同一函数的是( A. f ? x ? ? x 与g ? x ? ?
2

? x?

4

x2 B. f ? x ? ? x与g ? x ? ? x
D. f ? x ? ? x 与g ? x ? ?
2 3

C. f ? x ? ?

x ? 1与g ? x ? ? x 2 ? 1

x6

4.给出下列四个对应,其中构成映射的是?(

)

A.(1)(2) C.(1)(3)(4)

B.(1)(4) D.(3)(4) )

? ?x-3,x>0, 5.已知函数 f(x)=? 2 若 f(a)=f(4),则实数 a 等于??( ? ?x ,x≤0. A.4 B .1 或-1 C.-1 或 4 D.1,-1 或 4

6、函数 f ? x ? ? A. ? ??,3?

1 的定义域是( x ?3
B. ? 3, ? ??

) C. ? ??, 3? ? ?3, ? ?? D. ? ??, 3? ? ?3, ? ??

7.集合 M ? ?x ?2 ? x ? 2? , N ? ? y 0 ? y ? 2? ,给出下列四个图形,其中能表示以 M 为定义域,N 为值域的函数关 系的是( ). y 2 -2 0 A. x -2 0 B. y 2 2 x -2 0 C. y 2 2 x -2 0 D. y 2 2 x

8.下列图形是函数 y=-|x|(x∈[-2,2])的图象的是(

)

9.下列四个图象中,不是函数图象的是(

).

y

y

y

y

O
A.

x

O
B.

x
O
C.

x
).

O
D.

x

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 [ ?1, 2) ,则 f ( x ? 1) 的定义域为( A. [ ?1, 2) B. [0, ?2) C. [0, ?3) D. [ ?2,1)

11、已知函数 f ? x ? 1? 的定义域为 ? ?2,3? ,则 f ? x ? 2? 的定义域为( A. ? ?2,3? B. ? ?1,4? C. ?1 , 6? D. ? ?4,1?



12.在函数 y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点 P(t,|t|),此函数与 x 轴、 直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分) 的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )

二、填空题 13.已知 f ( x) = x2 +x+1,则 f ( 2) =______;f[ f (2) ]=______. 14.已知 f (2 x ? 1) ? x2 ? 2 x ,则 f ( x) = 2x+2, -1≤x<0, ? ? 1 15.设 f(x)=?-2x, 0<x<2, ?3, x≥2, ?
2

. 3 则 f{f[f(- )]}的值为________,f(x)的定义域是________. 4

16、函数 f ? x ? ? x ? 2x, x ???2,1? 的值域是_______________________。

17、函数 f ? x ? ?

1 ? x ? R ? 的值域是______________________。 x ?1
2

18.已知函数 f(x)的图象如下图所示,则 f(x)的解析式是________.

三、解答题: 19.求下列函数的定义域:(1) y ?
1 ; x ? 2 ?1

(2) y ?

x?3
3

x ?1 ? 2

.(

3) y ?

2?x x ?1

20.求下列函数的定义域与值域: (1) y ?
3x ? 2 ; 5 ? 4x

(2) y ? ? x2 ? x ? 2 .

(3) y ? x ? 1 ? 2 x ;

22.已知函数 ( x ? 1) f (

x ?1 ) ? f ( x) ? x ,其中 x ? 1 ,求函数 f ( x) 的解析式. x ?1

23. 设 f ( x) 是抛物线, 并且当点 ( x, y ) 在抛物线图象上时, 点 ( x, y 2 ? 1) 在函数 g ( x) ? f [ f ( x)] 的图象上, 求 g ( x) 的解析式.

24.动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点出发顺次经过 B、C、D 再回到 A;设 x 表示 P 点的行程, y 表示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数解析式.


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