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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:3章 反馈练习]

反馈练习
一、选择题 8 1.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a,b 夹角的余弦值为 ,则 λ 等于( 9 A.2 2 C.-2 或 55 [答案] C 2-λ+4 a· b 8 2 [解析] cos〈a,b〉= = 2 = ,所以 λ=-2 或 . |a||b| 9 55 λ +5× 9 2.若 a、b、c 是非零空间向量,则下列命题中的真命题是( A.(a· b)c=(b· c)a C.若 a· c=b· c,则 a∥b [答案] B [解析] (a· b)c 是与 c 共线的向量,(b· c)a 是与 a 共线的向量,a 与 c 不一定共线,故 A 假; 若 a· b=-|a|· |b|,则 a 与 b 方向相反, ∴a∥b,故 B 真; 若 a· c=b· c,则(a-b)· c=0,即(a-b)⊥c,不能得出 a∥b,故 C 假; 若 a· a=b· b,则|a|=|b|,方向不确定, 故得不出 a=b,∴D 假. 3.已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的值可以是( 1 A.2, 2 C.-3,2 [答案] A [解析] ∵a∥b,∴存在实数 k,使 b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=(kλ+k,0,2k), kλ+k=6, ? ? ∴?2μ-1=0, ? ?2λ=2k, 1 1 B.- , 3 2 D.2,2 ) ) B.-2 2 D.2 或- 55 )

B.若 a· b=-|a|· |b|,则 a∥b D.若 a· a=b· b,则 a=b

? ?μ=2, ∴? λ=2, ?k=2, ?

1

? ?μ=2, 或? λ=-3, ?k=-3. ?

1

故选 A.

4.同时垂直于 a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是( 1 2 2? A.? ?3,-3,3? 1 1 2? C.? ?3,-3,3?

)

1 2 2? B.? ?-3,3,-3? 1 2 2? ? 1 2 2? D.? ?3,-3,3?或?-3,3,-3?

[答案] D [解析] 设所求向量为 c=(x,y,z), 2x+2y+z=0, ? ? 则?4x+5y+3z=0, ? ?x2+y2+z2=1,

检验知选 D.

[点评] 检验时,先检验 A(或 B),若 A 不满足,则排除 A、D;再检验 B,若 A 满足, 则排除 B,C,只要看 D 是否成立. 5.已知矩形 ABCD,PA⊥平面 ABCD,则以下等式中可能不成立的是( → → A.DA· PB=0 → → C.PD· AB=0 [答案] B [解析] ① DA⊥AB? ? → → ??DA⊥平面 PAB?DA⊥PB?DA· PB=0; ? DA⊥PA ? → → B.PC· BD=0 → → D.PA· CD=0 )

→ → ②同①知AB· PD=0; → → ③PA⊥平面 ABCD?PA⊥CD?PA· CD=0; → → ④若BD· PC=0,则 BD⊥PC, 又 BD⊥PA,∴BD⊥平面 PAC,故 BD⊥AC, 但在矩形 ABCD 中不一定有 BD⊥AC,故选 B. → 1 → → → 6.已知 ABCD 是四面体,O 是△BCD 内一点,则AO= (AB+AC+AD)是 O 为△BCD 3 重心的( ) B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] 设 E 为 CD 中点,

→ 1 → → → 1→ 1 → → → → AO= (AB+AC+AD)= AB+ (BC-BA+BD-BA) 3 3 3 1→ 1 → → 2→ → 2→ = AB+ (BC+BD)- BA=AB+ BE, 3 3 3 3 → 2→ ∴BO= BE.即 O 为△BCD 的重心.反之也成立. 3 7.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,以 D 为原点建立空间直角坐标系,E 为 BB1 的中点,F 为 A1D1 的中点,则下列向量中能作为平面 AEF 的法向量的是( )

A.(1,-2,4) C.(2,-2,1) [答案] B

B.(-4,1,-2) D.(1,2,-2)

[解析] 设平面 AEF 的法向量 n=(x,y,z),正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则 1 1 1 → 1 → A(1,0,0),E(1,1, ),F( ,0,1).故AE=(0,1, ),AF=(- ,0,1). 2 2 2 2 → ? ?y+2z=0, n=0, ?AE· 由? 即? 1 → ?AF · n=0, ? ?-2x+z=0, 1 1 ? ?y=-2z, 所以? ?x=2z. ?

当 z=-2 时,n=(-4,1,-2),故选 B. 8.a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是( A. 5 5 B. 55 5 )

3 5 C. 5 [答案] C [解析] b-a=(1+t,2t-1,0), ∵|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2=5t2-2t+2 1?2 9 9 3 5 =5? ?t-5? +5≥5,∴|b-a|min= 5 .

11 D. 5

9.如图 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( ..

)

A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 [答案] D

B.AC1⊥BD D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60°

[解析] 正方体中,BD∥B1D1,且 BD?面 CB1D1,知 BD∥平面 CB1D1,A 正确;AC1 在面 ABCD 内的射影为 AC,又 AC⊥BD,由三垂线定理知 AC1⊥BD.故 B 正确;同理可得 AC1⊥B1D1,AC1⊥CD1,且 B1D1∩CD1=D1,∴AC1⊥平面 CB1D1,故 C 正确;由 AD∥BC

知,∠B1CB 为 AD 与 CB1 所成的角,应为 45° ,故 D 错误. 10.已知△ABC 的顶点 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则 AC 边上的高 BD 的长等于( A.3 C.5 [答案] C → → [解析] 解法一:设 D(x,y,z),则AD=(x-1,y+1,z-2),BD=(x-5,y+6,z- → 2),AC=(0,4,-3), → → → → ∵AD∥AC,且BD⊥AC, ) B .4 D.6

? ? 4 -3 = , ∴? y+1 z-2 ? ?4?y+6?-3?z-2?=0,
x-1=0, → ∴|BD|=5.

? ?y=-21, 5 ∴? 22 ? ?z= 5 .

x=1,

→ → 解法二:设AD=λAC,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3), ∴x=1,y=4λ-1,z=2-3λ. → ∴BD=(-4,4λ+5,-3λ), → → → 又AC=(0,4,-3),AC⊥BD, ∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0, 9 12? 4 → ∴λ=- ,∴BD=? ?-4,5, 5 ?, 5 → ∴|BD|= 9?2 ?12?2 ?-4?2+? ?5? +? 5 ? =5.

→ → 11. 已知正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 F 是侧面 CDD′C′的中心, 若AF=AD → → +xAB+yAA′,则 x-y 等于( A.0 1 C. 2 [答案] A → → → [解析] 如图所示,AF=AD+DF, → → → ∴DF=xAB+yAA′, ) B .1 1 D.- 2

1 → → → ∴ DC′=xAB+yAA′, 2 1 → 1→ 1 → ∵ AB′= AB+ AA′ 2 2 2 → → AB′=DC′, 1 ∴x=y= ,x-y=0. 2 12. (2014· 开滦二中期中)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=1, AC=2, BC= 3, D、E 分别是 AC1 和 BB1 的中点,则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为( )

π A. 6 π C. 3 [答案] A

π B. 4 π D. 2

[解析] 取 AC 中点 F,则 DF 綊 BE,∴DE∥BF, ∴BF 与平面 BB1C1C 所成的角为所求, ∵AB=1,BC= 3,AC=2,∴AB⊥BC,

又 AB⊥BB1,∴AB⊥平面 BCC1B1,作 GF∥AB 交 BC 于 G,则 GF⊥平面 BCC1B1,∴ 1 3 1 1 ∠FBG 为直线 BF 与平面 BCC1B1 所成的角,由条件知 BG= BC= ,GF= AB= ,∴tan 2 2 2 2 GF 3 π ∠FBG= = ,∴∠FBG= . BG 3 6 二、填空题 13.|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则 a· c+b· c+a· b=__________.

3 [答案] - 2 [解析] 设 a· c+b· c+a· b=x, 则 2x=(a+b)· c+(b+c)· a+(c+a)· b 3 =-|c|2-|a|2-|b|2=-3,∴x=- . 2 → → → → → 14.给出命题:①在?ABCD 中,AB+AD=AC;②在△ABC 中,若AB· AC>0,则△ABC → 1 → → 是锐角三角形;③在梯形 ABCD 中,E、F 分别是两腰 BC、DA 的中点,则FE= (AB+DC); 2 → 1 → → ④在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、DA 的中点,则FE= (AB+DC).以上命题 2 中,正确命题的序号是______________. [答案] ①③④ [解析] 本题考查向量的有关运算. ①满足向量运算的平行四边形法则,①正确;

→ → → → AB· AC=|AB|· |AC|· cosA>0?∠A<90° ,但∠B、∠C 无法确定,△ABC 是否是锐角三角形 → → → → → → → 无法确定,②错误;③符合梯形中位线,正确;④如图:DC=DA+AC;DC+AB=DA+AB → → → → → → → 1 → → +AC=DA+2AE=2(FA+AE)=2FE,则FE= (AB+DC). 2 15.如图所示,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 CC1 的中点,则 异面直线 D1E 与 AC 所成角的余弦值是__________.

[答案]

10 5

→ [解析] 如图,建立空间直角坐标系,则 A(4,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,4),E(0,4,2),AC= → (-4,4,0),D1E=(0,4,-2).

→ → cos〈AC,D1E〉=

16 10 = . 5 32× 20 10 . 5

∴异面直线 D1E 与 AC 所成角的余弦值为

16.若△ABC 中,∠ACB=90° ,∠BAC=60° ,AB=8,PC⊥平面 ABC,PC=4,M 是 AB 上一点,则 PM 的最小值为__________.

[答案] 2 7 → → → [解析] 由条件知 PC、AC、BC 两两垂直,设CA=a,CB=b,CP=c,则 a· b=b· c=c· a =0, ∵∠BAC=60° ,AB=8,∴|a|=CA=8cos60° =4,|b|=CB=8sin60° =4 3.|c|=PC=4, → → 设AM=xAB=x(b-a), → → → → 则PM=PC+CA+AM=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+xb-c, → |PM|2=(1-x)2|a|2+x2|b|2 + |c|2 +2(1-x)xa· b-2xb· c-2(1-x)a· c=16(1-x)2+48x2 +16 1?2 =32(2x2-x+1)=64? ?x-4? +28, 1 → → ∴当 x= 时,|PM|2 取最小值 28,∴|PM|min=2 7. 4 三、解答题 17.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 E 是上底面 A′B′C′D′的中心, → → → → → 用DA,DC,DD′表示向量BD′,AE.

→ → → → → → [解析] (1)BD′=DD′-DB=-DA-DC+DD′. 1 → → → → → (2)AE=AA′+A′E=DD′+ A′C′ 2 1→ 1 → → → → =DD′+ AC=DD′+ (DC-DA) 2 2 1→ 1→ → =- DA+ DC+DD′. 2 2 18.如图所示,已知空间四边形 ABCD,P、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心.

求证:PQ∥平面 ACD. [证明] ∵P、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心. → → → 1 → 1→ ∴PQ=EQ-EP= ED- EA 3 3 1 → → 1→ = (ED-EA)= AD. 3 3 → → ∴PQ∥AD,即 PQ∥AD, 又 PQ?平面 ACD,AD?平面 ACD,∴PQ∥平面 ACD. 19.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中 点.

(1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求 AC1 与 CB1 所成角的余弦值. [解析] ∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、 C1C 两两垂直. 如图所示,以 C 为坐标原点,直线 CA、CB、CC1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系.

3 则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D( ,2,0). 2 → → (1)∵AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4). → → ∴AC· BC1=0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,则 E(0,2,2). 3 → → ∵DE=(- ,0,2),AC1=(-3,0,4). 2 → 1→ ∴DE= AC1,∴DE∥AC1. 2 ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. → → (3)∵AC1=(-3,0,4),CB1=(0,4,4), → → AC1· CB1 2 2 → → ∴cos〈AC1· CB1〉= = . 5 → → |AC1|· |CB1| 2 2 ∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 . 5 20.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,AD=6,AA1=4,M 是 A1C1 的中点,P 在线 段 BC 上,且 CP=2,Q 是 DD1 的中点,求: (1)M 到直线 PQ 的距离; (2)M 到平面 AB1P 的距离. [解析] 如图,建立空间直角坐标系 B-xyz,则 A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2).

→ → (1)∵QM=(-2,-3,2),QP=(-4,-2,-2), → → QM· QP → → ∴QM在QP上的射影为 → |QP| = ?-2?×?-4?+?-3?×?-2?+2×?-2? 5 6 = , 6 ?-4?2+?-2?2+?-2?2

故 M 到 PQ 的距离为

5 6?2 → |QM|2-? = ? 6 ?

25 462 17- = . 6 6

→ → (2)设 n=(x,y,z)是平面 AB1P 的法向量,则 n⊥AB1,n⊥AP, → → ∵AB1=(-4,0,4),AP=(-4,4,0),
?-4x+4z=0, ? ∴? ?-4x+4y=0. ?

→ 因此可取 n=(1,1,1),由于MA=(2,-3,-4), 那么点 M 到平面 AB1P 的距离为 → |MA· n| |2×1+?-3?×1+?-4?×1| d= = |n| 3 = 5 3 , 3

5 3 故 M 到平面 AB1P 的距离为 . 3 → [点评] 求点 P 到直线 l 的距离时,在直线 l 上任取一点 Q,则QP在 l 上射影的长度为 → → m=|QP|· |cos〈QP,n〉|(n 为直线 l 的一个方向向量), → |QP· n| 即 m= , |n| 于是 P 到 l 的距离 d= |QP― →|2-m2. 21.(2014· 浙江理,20)如图,在四棱锥 A-BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE =∠BED=90° ,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2.

(1)证明:DE⊥平面 ACD; (2)求二面角 B-AD-E 的大小. [解析] (1)在直角梯形 BCDE 中,∵DE=BE=1,CD=2,∴BD=BC= 2,在三角形 ABC 中,AB=2,BC= 2,AC= 2,∴AC⊥BC. ∵平面 ABC⊥平面 BCOE,而平面 ABC∩平面 BCDE=BC AC⊥BC,∴AC⊥平面 BCDE,∴AC⊥DE, 又∵DE⊥DC,∴DE⊥平面 ACD.

→ → (2)由(1)知分别以CD、CA为 x 轴、z 轴正方向. 过 C 作 CM∥DE,以 CM 为 y 轴建立空间直角坐标系.

则 B(1,1,0),A(0,0, 2),D(2,0,0),E(2,1,0) → → → ∴AB=(1,1,- 2),AD=(2,0,- 2),DE=(0,1,0) 设平面 ABD 的法向量 n1=(x1,y1,z1), → → 由 n 1· AB=n1· AD=0,解得 n1=(1,1, 2). 设平面 ADE 的法向量 n2=(x2,y2,z2), → → 则 n 2· AE=n2· AD=0,解得:n2=(1,0, 2) 设二面角 B-AD-E 的大小为 θ,易知 θ 为锐角, cosθ=|cos〈n1,n2〉|= 1+0+2 3 = , 2 6× 3

π ∴二面角 B-AD-E 的平面角为 . 6 22. (2014· 浙北名校联盟联考)已知在长方体 ABCD-A′B′C′D′中, 点 E 为棱 CC′ 上任意一点,AB=BC=2,CC′=1. (1)求证:平面 ACC′A′⊥平面 BDE; (2)若点 P 为棱 C′D′的中点, 点 E 为棱 CC′的中点, 求二面角 P-BD-E 的余弦值. [解析] (1)∵ABCD 为正方形,∴AC⊥BD, ∵CC′⊥平面 ABCD,∴BD⊥CC′, 又 CC′∩AC=C,∴BD⊥平面 ACC′A′, ∵BD?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ACC′A′. (2)以 DA 为 x 轴,以 DC 为 y 轴,以 DD′为 z 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0), 1 B(2,2,0),E(0,2, ),P(0,1,1), 2

设平面 BDE 的法向量为 m=(x,y,z), 1 → → ∵DB=(2,2,0),DE=(0,2, ), 2 → ? DB=2x+2y=0, ?m· ∴? 1 → DE=2y+ z=0, ? 2 ? m· 令 x=1,则 y=-1,z=4,∴m=(1,-1,4), 设平面 PBD 的法向量为 n=(x,y,z), → ? DB=2x+2y=0, ?n· → ∵DP=(0,1,1),∴? → ? DP=y+z=0, ? n· 令 x=1,则 y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1), m· n 6 ∴cos〈m,n〉= = , |m|· |n| 3 ∴二面角 P-BD-E 的余弦值为 6 . 3


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