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第五章 法向量与复数(作业)


2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.45

向量的概念与线性运算
【课后检测】看清问题,提高速度,力求准确 1、下面给出四个命题: 1)对于实数 m 和向量 a , b 恒有: m ( a - b )= m a - m b ; 2)对于实数 m , n 和向量 a ,恒有:( m - n ) a = m a - n a ; 3)若 m a = m b ( m ∈R),则有: a = b ; 4)若 m a = n a ( m , n ∈R, a ≠ 0 ),则 m = n . 其中正确的命题有 个。

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AB BC ? b , ? c , a ? b ? c 的模为 AC 2、 已知: 正方形 ABCD 边长为 1, ? a , 则

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? ??? ?

? ????

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3、设 O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的三点,动点 P 满足

??? ??? ? ? ??? ???? ? O P? O ? ? ( A B A?C ( ?? ,则直线 AP 一定通过 ? ABC 的 A ? ),? 0, )
4、 OA 、 OB 不共线, AP ? t AB ( t ? R ) ,用 OA 、 OB 表示 OP = 5、 ? ABC 中, MA ? MB ? MC ? O ,若存在实数 m 使得 AB ? AC ? mAM ,则 m ? 6、 ? ABC 中,D 在边 BC 上, CD ? 2 DB ,若 CD ? aAB ? bAC ,则 a ? b ? 7、如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 C

心。

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D
45
0

???? ??? ? ???? AD ? x AB ? y AC ,则 x ?
8 、 ? ABC 中 , AP ? 为

,y?

。 A

E

600

??? ?

? 1 ??? 3 ???? AB ? AC , 则 ? PAB 与 ? ABC 面 积 之 比 3 5

B



9、设向量 e1 与 e2 不共线, AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3(e1 ? e2 ) (1)求证:A、B、D 三点共线; (2)若 ke1 ? e2 与 e1 ? ke2 共线,求 k 的值。

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— 89 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.45

10 、P 、 Q 分 别为 OA、 OB 上 的点 ,线 段 PQ 过 三角 形 ABO 的重心 G, OA ? a, OB ? b ,

??? ?

? ??? ?

?

??? ? ? ???? ? OP ? ma, OQ ? nb , m ? 0, n ? 0 ,求 3m ? n 的最小值。

11、 (选做题)如图,若点 L、M、N 分别在 ?ABC 边 BC、CA、AB 上,

??? ???? ??? ? ? ? ? AL ? BM ? CN ? 0 ,求证: l ? m ? n 。

BL CM AN ?l, ? m, ? n, BC CA AB
C

M L A
N

B

— 90 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.46

向量的坐标运算
【课后检测】看清问题,提高速度,力求准确 1、已知 a ? (3,5), b ? ( ?2, ?1), 则 a ? 2b 的坐标为

?

?

?

?



2、已知 A 31 , B ? 1,3)C ( x, y ) ,且 OC ? ? OA ? ? OB ,且常数 ? , ? 满足 ? ? ? ? 1 ,则 x ? y 的 , (, ( )
2 2

????

??? ?

??? ?

最小值为______________。 3、已知 OA ? (K,12), OB =(4,5) OC =(-K,10) , ,且 A、B、C 三点共线,则 k= 4、已知 a =(4,2) b =(6,y) , ,且 a // b ,则 y=

??? ?

??? ?

????



?

?

? ?



AC ,点 P 在第三象限,则 ? 的取值范围是 5、已知 A(2,3) ,B(5,4),C(7,10),若 AP ?AB ? ?
6、设 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),则|3 a -4 b |的取值范围是 。

??? ?

??? ?

????



0) 1) 1) 7、设 M ? ?a a ? (2, ? m(0, ,m ? R? 和 N ? ?b b ? (1, ? n(1,? 1),n ? R? 都是元素为向量的集合,则

M∩N=



8、如图,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD=DC=1, AB=3,动 点 P 在 △ BCD 内 运 动 ( 含 边 界 ), 设 .

AP ? ? AB ? ? AD(? , ? ? R) , ? ? ? 的取值范围是 则

9、已知 A(2,1) ,B(5,4), C(5,10),在平面上找一点 Q,使得 | QA | ? | QB | ? | QC | 最小。
2 2 2

??? ?

??? ?

????

— 91 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.46

10、已知 3sin ? ? sin(2? ? ? ) , ? ? k? ?

?
2

? ? ? , ? ? ?k? , k ? Z , ? ? (2, tan(? ? ? )), b ? (1, tan ? ) ,

? ? 求证: a // b 。

11、 (选做题) (1)已知 OA, OB不共线 ,点 C 在直线 AB 上,实数 x 满足 x OA ? xOB ? OC ? O ,求
2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ???? ?

??

x 的值。

(2)已知 G 为 ? ABC 的重心, 4aGA ? 2bGB ? 3cGC ? O, 求 cos C 。

??? ?

??? ?

????

??

— 92 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.47

向量的数量积(1)
【课后检测】看清问题,提高速度,力求准确 1、下列命题中正确的序号有: (1) 0 ? a ? 0 (2) 0 ? a ? 0 (3)若 a ? 0 ,则对任一向量 b ,有 a ? b ? 0 (4)若 a ? 0, 则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 (5)若 a ? 0, a ? b ? 0 ,则 b ? 0 (6) | a ? b |?| a | ? | b | ; (7)对任意向量 a ,有 a ?| a |

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2

2、设 a ? ( 3, 5), b ? a , | b |? 2 ,则 b 的坐标为____________。 3、设 | a |? 1,| b |? 3, a ? b ? ( 3,1) ,则 | a ? b |? _____, a ? b 与 a ? b 的夹角为_______。 4、设 | a |?| b |? 1 , | 3a ? 2b |? 3 ,则 | 3a ? b |? ________ . 5、已知 | a |? 1,| b |? 2 , c ? a ? b, c ? a ,则 a 与 b 夹角为____________。 6、已知: | p |? 2 2,| q |? 3, p, q 的夹角为 角线长为 。

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4

,则以 a ? 5p ? 2q, b ? p ? 3q 为邻边的平行四边形的对

?

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?

7、若 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ? 0, (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 a ? b ? c 的最大值为 8、若平面向量 ? , ? 满足 ? ? 1, ? ? 1 ,且以向量 ? , ? 为邻边的平行四边形的面积为 的夹角 ? 的取值范围是 9、 ?ABC 中, AB ? (2,3) , AC ? (1, k ) ,且 ?ABC 是直角三角形,求 k 。

? ? ?

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?? ?? 1 ,则 ? 与 ? 2

??? ?

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— 93 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.47

10、已知 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , (1)若 ? ? ? ?

?

?

?

? ? ? ? 4 ? (2)若 a ? b ? , ? ? , 求 tan(? ? ? ) 的值。 , 求 a ? b 的值; 6 5 8

11、 (选做题)△ABC 中,若 AB ? AB ? CB ? BC ? AC ? CA ? BA (1)判断△ABC 的形状; (2)求

2

s 的取值范围(其中 s 为△ABC 的面积,r 为△ABC 的内切圆半径,c=AB) 。 cr

— 94 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.48

向量的数量积(2)
【课后检测】看清问题,提高速度,力求准确 1、已知 a 和 b 是两个不共线的向量,则 | a |?| b | 是向量 (a ? b) ? (a ? b) 的
0 2、已知 | a |? 5,| b |? 4 ,向量 a 和 b 的夹角为 60 ,若 k a ? b ? a ? 2b ,则 k=

?

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条件。 。 。 。 。

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3、已知: OA ? (?3,1) , OB ? (0,5) ,有 AC // OB , BC ? AB ,则 C 点坐标为

???? ??? ?

??? ?

??? ?

? ? 1 ??? 2 ??? ???? ???? CB ? CA, 则MA ? MB ? 6 3 ? ? ? ? ? ? ? 5、已知:| a |=2,| b |=3,向量 a 与 b 的夹角为 450,向量 mb - a 与 a 垂直,则 m ?
4、若等边 ? ABC 的边长为 2 3, CM ?

???? ?

6、已知非零向量 (a ? b) 和 (2a ? b) 互相垂直,且 ( a ? 2b) 与 (2a ? b) 也互相垂直,则向量 a 与 b 的夹 角的余弦值为 。

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7、设向量 a 、 b 、 c 满足| a |=| b |=1, a ? b ? ?

?

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? 1 ? ? ? ? 0 , a - c 与 b - c 的夹角为 60 ,则 c 的最大值为 2

8、已知 a ? (cos ? ,sin ?), b ? (cos ?,sin ?) 且 | a ? b |? (1)求 cos(? ? ? ) ; (2)若 0 ? ? ?

?

?

? ?

2 5 。 5

?
2

,?

?
2

? ? ? 0,sin ? ? ?

5 ,求 sin ? 的值 13

— 95 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.48

9、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A 在 x 轴正半轴上,直线 AB 的倾斜角为

(1) 用 ? 表示 OA

? 3 ?AOB ? ? ,? ? ( , ? ) 2 4
B

3 ? ,OB=2,设 4

y

??? ??? ? ? (2) 求 OA ? OB 的最小值.

A 0 x

10、 (选做题)已知 a 、 b 、 c 三个向量两两所成角都相等,| a |=1,| b |=2,| c |=3 (1)求 a + b + c 向量的长度; (2) a + b + c 向量与向量 a 的夹角。

?

?

?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

?

— 96 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.49

向量与三角
【课后检测】看清问题,提高速度,力求准确 1.下列结论正确的有 ① | a ? b |?| a || b | 。 ②若 a, b 都是单位向量则 a ? b ? 1 恒成立。

? ?

③ AB 的起点为 A(-2,4) ,终点为 B(2,1)则 BA 与 x 轴正向所夹角的余弦值为 ④若 a ? (m,3) 则| a |=4 的充要条件为 m= 7 2.与向量 a = ?

??? ?

??? ?

?

?

4 5

? ?7 1? ? , ?,b ? ?2 2?

?1 7? ? ,? ? 的夹角相等,且模为 1 的向量是 ?2 2?
? ? ? b ? 4 ,则 2a ? b ?
。 。



? ? ? 3.若向量 a、b 的夹角为 150 ? , a ? 3 ,

4.已知 a ? (sin x,cos x), b ? (1, ?2), a ? b, 则 tan 2x =

?

?

?

?

A-B 5 A+B → → 5.A、B 是ΔABC 的两个内角, a =cos i+ sin j,其中 i、j 为相互垂直的单位向量,若| a | = 2 2 2 3 4 2 ,则 tanA·tanB=

0 6、平面内两个非零向量 ? , ? ,满足 | ? |? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角为 135 ,则 | ? | 的取值范围是

?? ??

??

??

?? ? ?

? ?

7.设两个向量 a ? (? ? 2,? ? cos ? ) 和 b ? ? m, ? sin ? ? ,其中 ?,m ? 为实数,若 a ? 2b ,则 ,
2 2

?

?

? ?

m 2

? ?

?

?

? 的取值范围是 m
??



8.在 ?ABC 中, m ? (a, b), n ? (sin B,sin A), p ? (b ? 2, a ? 2) (1)若 m // n ,求证: ?ABC 为等腰三角形; (2)若 m ? p , c ? 2, C ?

?

? ?

?? ?

??

? ?

?
3

,求 S ?ABC

— 97 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.49

9.已知向量 a=(cos

3 3 x x ? x,sin x ),b=(cos ,sin ),且 x ? [0, ] 2 2 2 2 2

(1)求 a ? b ,| a ? b | (2)若 f(x)= a ? b - ? | a ? b |的最小值为 ?

? ?

? ?

3 ,求 ? 的值。 2

→ → → → → 10. (选做题)设 a =(1+cosα,sinα) b =(1-cosβ, sinβ) c =(1,0) 、 、 ,α∈(0,π) ,β∈(π,2π) a 与 c , α-β ? → → 的夹角为θ1, b 与 c 的夹角为θ2,且θ1-θ2= ,求 sin 的值。 4 6

— 98 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.50

向 量 小 结
【课后检测】看清问题,提高速度,力求准确 1、已知向量 a ? (1,2), b(?2,?4), | c |?

5 , 若(a ? b) ? c ?

5 , 则a与c的夹角为 2


。 。

2、已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|=

??? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 3、在等边 ? ABC ,P在边AB上, AP ? ? AB , CP ? AB ? PA ? PB ,则 ? ?

4、已知平面上三点 A、B、C 满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5, 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值 等于 。

5 、 △ABC 中 , ?B A C? 2 ° 1 0 , AB, ? 2

A C , D 是 边 BC 上 一 点 , DC ? 2BD , 则 ?1 ???? ??? ? A D? B C ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6、已知 a, b, c 都为单位向量,且 a ? b ,则 (a ? c)(b ? c) 的最小值为 。
7、在平面直角坐标系中,A(-1,-2) ,B(2,3) ,C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足 ( AB ? tOC ) ? OC ? 0 ,求 t 的值。

??? ?

???? ????

→ 8、设平面向量 a = (

1 3 ? ? → 3,-1) , b = ( , ),若存在实数 m(m≠0)和角θ(θ∈(- , )) ,使向 2 2 2 2

→ → → → → → → → 量 c = a +(tan2θ-3) b , d =-m a +(tanθ) b ,且 c ⊥ d , 求:①试求函数 m=f(θ)的关系式; ②令 t = tanθ,求出函数 m = g(t)的极值。

— 99 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.50

9、 (选做题)设定义在 [ x1 , x2 ] 上的函数 y ? f (x) 的图像为 C,

C 的端点为 A、B, M 是 C 上的任意

一 点 , 向 量 OA ? ( x1 , y1 ), OB ? ( x 2 , y 2 ), OM ? ( x, y ) , 若 x ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 , 记 向 量

ON = ? OA ? (1 ? ? )OB ,现定义“已知 y ? f (x) 在 ?x1 , x2 ? 上可在标准 k 下线性近似”是指 MN ? k 恒
成立,其中 k 是一个确定的正数。 (1)试给出对于函数 y ? 2 在区间[0,1]上的 k 的最小值。
x

(2)试给出对于函数 y ? log 2 x 在区间[1,2]上的 k 的最小值。

— 100 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.51

复数的概念及运算
【课后检测】看清问题,提高速度,力求准确 1、 i ? 2i ? 3i ? ? ? 8i ?
2 3 8

。 。

2、复数

3 ? 2i ? 2 ? 3i

3、设 x, y ? R ,且

x y 5 ,则 x+y= ? ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i
。 。



4、复数 z 满足 ( 3 ? 3i ) z ? 3i ,则| z |? 5、设 z ?

1? i ,则 z100 ? z 50 ? 1 = 2
2

6、 若关于 x 的方程 x ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 , a ? R 有实根 b , 则复数 z ? a ? bi 对应的点位于_______象限。 7、 对于非零实数 a、 以下四个命题均成立: a ? b, ①
2 2

1 b b ② ? 0 ; (a ?b) 2 ?a 2 ? 2a ? a

2

; ③若 | a |?| b | , 。

则 a ? ?b ;④ | a | ? a ,那么,对于非零复数 a、b,仍然成立的命题的所有序号为 8、已知 z ? 1 ? i ,a、b ? R ,

z 2 ? az ? 1 ? 1 ? i ,求 a、b。 z2 ? z ? b

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.51

9、已知复数 z1 满足 (1 ? i) z1 ? ?1 ? 5i , z2 ? a ? 2 ? i , a ? R ,若 | z1 ? z2 |?| z1 | ,求 a 的取值范围。

10、 (选做题)已知 ? ? ?

1 3 2 2 3 ? i, (1)证明: ? ? 1 ; (2)求 (1 ? ? ? ? )(1 ? ? ? ? ) 。 2 2

— 102 —

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.52

复数的简单应用
【课后检测】看清问题,提高速度,力求准确 1、集合 {z | z ? i n ? (

1? i n ) , n ? Z } 共有 1? i

个子集。 。

2、已知 | z |? 1 , z 是复数,则下列结论正确的序号为 (1) z ?

1 1 (2) z ? 是虚数; (3) z ? z ; (4) z 2 ? 1 ?R; z z

3、若平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 对应的复数分别为 2i, 4 ? 4i, 2 ? 6i ,则点 D 对应的复数 是_______________________。

4、复数 ?

? 3?i ? ? 对应点位于第 ? 1? i ?
2

象限。

5、若

1? z ? i ,则 z ? 1? z
2 2 2



6、使不等式 m ? (m ? 3m)i ? (m ? 4m ? 3)i ? 10 成立的实数 m 的取值集合是 7、在复平面上,正方形 ABCD 的两个顶点 A、B 对应的复数分别为 1 ? 2i,3 ? 5i ,求另外两个顶点 C、 D 对应的复数。

2 0 1 2 届 高 三 数 学 第 一 轮 复 习 —— NO.52

8、设关于 x 的方程 x ? (tan ? ? i) x ? (2 ? i) ? 0
2

(1)若方程有实数根,求锐角 ? 和实数根; (2)证明:对任意 ? ? k? ?

?
2

(k ? z ) 方程无纯虚数根。

9、 (选做题)已知复数 z1 、 z 2 满足|z1|=|z2|=1,且 z1 + z 2 =

1 3 ? i,求 z1 、 z 2 的值。 2 2

— 104 —


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