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河北省邯郸市临漳一中2012届高三春季开学摸底考试试卷数学(理)试题


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120 分钟 150 分
在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项正确. 一.选择题(每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项正确.) 选择题( 1.已知复数 z 分别为 A.

= a + bi (a、b ∈ R ) , z 是 z 的共轭复数,且 z = (2 + i )(3 ? i ) 则 a、b 的值

7, 1

B. 6 , 1 ?

C. 7 , 1 ?

D. 6 , 1

2.若方程 lnx + x ? 4 = 0 在区间 ( a, b)( a, b ∈ Z , 且 b ? a = 1) 上有一根,则 a 的值为 A. 1 B.2 C.3 D.4

3.已知等差数列 {a n } 中, a 7 A. 15 4.已知命题 B.30

+ a 9 = 16 , s11 =

99 , 则 a12 的值是 2
D.64

C.31

p : ?x ∈ R , 3 x > 0 ,则
x

A. ?p : ?x ∈ R , 3 C. ?p : ?x ∈ R , 3

≤0 <0

B. ?p : ?x ∈ R , 3 D. ?p : ?x ∈ R , 3

x

≤0 <0

x

x

5.已知直线 m, n 和平面 α , 则 m //n 的必要非充分条件是 A.

m//α 且 n // α

B. m ⊥ α 且 n

⊥α

C. m//α 且 n ? α 6.二项式 ( x + A.第 7 项

D. m, n 与 α 成等角

2 x

)12 展开式中的常数项是
B.第 8 项 C.第 9 项 D.第 10 项

7.某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表: 考试次数 x 所减分数 4.5 4 3 2.5 1 2 3 4

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y 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为 A. C.

y = 0.7 x + 5.25 y = ?0.7 x + 6.25

B. D.

y = ?0.6 x + 5.25 y = ?0.7 x + 5.25

8.将函数

f ( x) = 2 sin(2 x ?

π
3

) 的图像向左平移

π
4

个单位,

得到函数 g (x ) 的图像,则函数 g (x ) 的一个单调递增区间是 A.

[?

5π π π π π , 0] B. [? , 0] C. [0 , ] D. [? , ] 24 3 3 6 2

9.右面是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应填写的内容分别是 A. f(a)f(m)<0 B. f(b)f(m)<0 C. f(b)f(m)<0 D. f(b)f(m)<0 10. 任取 k ∈ [? ; a=m; 是; ; b=m; 是; ; m=b; 是; ; b=m; 否; 否 否 否 是

3 , 3 ] ,直线

y = kx + 3 与圆
交于 M、N 两点,则

( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 4 相
|MN| ≥

2 3 的概率为 1 2
B.

A.

3 2 3 3

C.

1 3

D.

11.直线 l 的方向向量为

n = (4 , 3) 且过抛物线
抛物线围成的封闭图形

x 2 = 4 y 的焦点,则直线 l 与
面积为 A.

85 8

B.

125 24

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C.

125 12

D.

385 24

x 2 y2 12.已知 P 是双曲线 ? = 1 (b > 0) 上一点,F1、F2 是左右焦点,⊿P F1F2 的三边长成 4 b2
等差数列,且∠F1 P F2=120°,则双曲线的离心率等于

A.

3 5 7

B.

3 5 2

C.

2 7

D.

7 2

小题, 二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分) 填空题( 13.已知函数

f ( x) 满足 f (1) =1 且 f ( x + 1) = 2 f ( x) , 则 f (1) + f (2) + … + f (10) =___________。 f ( x) = 3 x + sinx , 则 满 足 不 等 式
1 1

14 . 若

f (2m ? 1) + f (3 ? m) > 0 的 m 的 取 值 范 围
为 。
1

正视图 主视图

1

15. 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,

俯视图 俯视图

形成三棱锥 C-

ABD , 它 的 主 视 图 与 俯 视 图 如 右 上 图 所 示 , 则 二 面 角 C - AB - D 的 正 切 值 为 。

16.如右图,在直角梯形 ABCD 中,AB//DC,AD⊥AB , AD=DC=2,AB=3,点 M 是梯形 ABCD 内
N

或边界上的一个动点,点 N 是 DC 边的中点,

D

C M

uuuu uuur r 则 AM ? AN 的最大值是________

A

B

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 ) 17.(12 分) 若

f ( x) = 3 cos 2 ax ? sin ax cos ax (a > 0) 的图像与直线 y = m(m > 0) 相切,并且切

点横坐标依次成公差为 π 的等差数列. (1)求 a 和 m 的值;

( (2) ⊿ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边。若

A 3 , ) 是函数 f ( x) 图象的一个对 2 2
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称中心,且 a=4,求⊿ABC 外接圆的面积。

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18.(12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组: 第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组 [95,100]得到的 频率分布直方图如图所示. (1)分别求第3,4,5组的频率; (2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。 (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率; (ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试, 设第4组中有 生被考官L面试,求

ξ 名学

ξ 的分布列和数学期望.

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19.(12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, AB

= 2 AD = 2 ,

BD = 3 , PD ⊥底面 ABCD .
(1)证明:平面 PBC (2)若二面角 P ? BC

⊥ 平面 PBD ; ?D为

π
6

,求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值。

20. (12 分)已知方向向量为 V 以及点(0, ? 2 形周长为 4

= (1, 3 ) 的直线 l 过椭圆 C :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的焦点 a2 b2

3) ,直线 l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点,且 A、B 两点与另一焦点围成的三角

6。

(1)求椭圆 C 的方程 (2)过左焦点 F1 且不与 x 轴垂直的直线 m 交椭圆于 M、N 两点,

OM ? ON =

4 6 ≠ 0 (O 坐标原点) ,求直线 m 的方程 3 tan ∠MON

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21. (12 分)设函数

f ( x) = (1 + x) 2 ?2 ln(1 + x)
f ( x) ? m ≥ 0 在 [0 , e ? 1] 有实数解,求实数 m 的取值范围;

(1)若关于 x 的不等式 (2)设 g ( x )

= f ( x) ? x 2 ? 1 ,若关于 x 的方程 g ( x) = p 至少有一个解,求 p 的最小值.

(3)证明不等式: ln(n + 1) < 1 +

1 1 1 + +L+ 2 3 n

(n ∈ N * )

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请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10 分)选修 4-1:几何证明选讲.如图, CB 是⊙ O 的直径, AP 是⊙ O 的切线, AP 与

CB 的延长线交于点 P , A 为切点.若 PB = 5 , ∠BAC 的平分线 AE 与 BC D 、 E ,求 AD ? AE 的值。
C
23.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C

A

PA = 10 , 和⊙ O 分别交于点
B P
选讲.

? O D

E

的圆心的极坐标为

(2, ) . 3
(1) 求圆 C 的极坐标方程; (2) 在以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中,直线 l 的参数方程为

π

1 ? ?x = 1 + 2 t ? ? ,直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,已知定点 M (1 , ? 2) , ? y = ?2 + 3 t (t 为参数) ? 2 ?



|MA|·|MB|。 24. (10 分)选修 4—5:不等式选讲 设正有理数 x 是 (Ⅰ)若 x

2 的一个近似值,令 y = 1 +

1 . 1+ x

> 2 ,求证: y < 2 ; (Ⅱ)比较 y 与 x 哪一个更接近于 2 ?

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17. 解: (1) f ( x ) =

3 cos 2 ax ? sin ax cos ax =

3 π ? sin( 2ax ? ) ………………3 分 2 3
3 ?1 < 0 2

由题意,函数 f (x ) 的周期为 π ,且最大(或最小)值为 m ,而 m > 0 ,

所以, a = 1 , m =

3 +1 2

………… ……………………6 分

(2)∵(

A 3 , ) 是函数 f (x) 图象的一个对称中心 2 2

∴ sin( A ?

π
3

)=0

又因为 A 为⊿ABC 的内角,所以 A = ⊿ABC 中,设外接圆半径为 R, 则由正弦定理得: 2 R =

π
………… ……………………9 分

3
8 3 , 3 4 3 3

a = sin A

4 sin

π
3

=

即: R =

16π ………… ……………………12 分 3 18. 解:(1) 第三组的频率为0.06 × 5=0.3; 第四组的频率为0.04 × 5=0.2;
则⊿ABC 的外接圆面积 S = πR =
2

第五组的频率为0.02 × 5=0.1.

……………………3分

(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试
1 2 C 2 ? C 28 27 = 3 145 C30

则:

P(A)=

……………………6分

(ⅱ)第四组应有2人进入面试,则随机变量 ξ 可能的取值为0,1,2.
i 2 C 2 C 4 ?i 且 P (ξ = i ) = (i = 0、 2) ,则随机变量 ξ 的分布列为: 1、 C 62

…………7分

ξ

0

1

2

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P

2 5

8 15

1 15
……………………10分

Eξ =

8 2 2 + = 15 15 3
2 2 2

……………………12分 ∴ BC ⊥ BD ∴ PD ⊥ BC ∴ BC ⊥ 平面 PBD ………………………………………5 分

19. 解: (1)∵ CD = BC + BD 又∵ PD ⊥底面 ABCD 又∵ PD ∩ BD = D 而 BC ? 平面 PBC ∴平面 PBC ⊥ 平面 PBD

(2)由(1)所证, BC ⊥ 平面 PBD 所以∠ PBD 即为二面角P-BC-D的平面角,即∠ PBD = 而 BD =

π
6

3 ,所以 PD = 1

…………………………………………7分

分别以 DA 、 DB、 DP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系。 则 A(1,0,0) , B (0, 3 ,0) , C (?1, 3 ,0) , P (0,0,1) 所以, AP = (?1,0,1) , BC = (?1,0,0) , BP = (0,? 3 ,1) 设平面 PBC 的法向量为 n = ( a, b, c) ,则 ?

?n ? BC = 0 ? ? n ? BP = 0 ?

即?

?? a = 0 ?? 3b + c = 0

可解得 n = (0 , 1 , 3 )

∴ AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 sin θ =

AP ? n AP n

=

3 2 ?2

=

6 4

……………12 分

20.解: (1) l : y =

3x ? 2 3
∴c=2

直线 l 与 x 轴交点即为椭圆的右焦点 F2 2 , 0) (

由已知⊿ F1 AB 周长为 4 6 ,则 4a= 4 6 ,即 a =

6 ,所以 b = 2

故椭圆方程为

x2 y2 + =1 6 2
第 11 页

………………………………4 分

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(2)椭圆的左焦点为 F1 ? 2 , 0) ( ,则直线 m 的方程可设为 y = k ( x + 2) 代入椭圆方程得: (3k 2 + 1) x 2 + 12k 2 x + 12k 2 ? 6 = 0 设 M ( x1 , y1 ), N (x 2 , y 2 ) , 则x1 + x 2 = ?

12k 2 3k 2 + 1

x1 ? x 2 =

12k 2 ? 6 ………6 分 3k 2 + 1

∵ OM ? ON =

4 6 4 6 cos ∠MON =| OM | ? | ON | cos ∠MON ≠ 0 = 3 tan ∠MON 3 sin ∠MON
4 2 6 ,即 S ?OMN = 6 3 3
……………9 分

所以,∴ OM | ? | ON | sin ∠MON = | 又 | MN |= 1 + k | x1 ? x 2 |=
2

2 6 (1 + k 2 ) 3k 2 + 1


原点 O 到 m 的距离 d =

| 2k | 1+ k 2

则 S ?OMN

1 = | MN | d = 2 3 3

6 (1 + k 2 ) | 2k | 2 ? = 6 2 2 3 3k + 1 1+ k
3 ( x + 2) 3

解得 k = ±

∴ m的方程y = ±

…… ……………………12 分

21. 解: (1)依题意得 f ( x ) max ≥ m

Q f ′( x) = 2(1 + x) ?

2 2 x(x + 2 ) = ,而函数 f (x ) 的定义域为 (?1 , + ∞) 1+ x x +1

∴ f (x ) 在 (?1 , 0) 上为减函数,在 (0 , + ∞ ) 上为增函数,则 f (x ) 在 [0 , e ? 1] 上为增函数

∴ f ( x) max = f (e ? 1) = e 2 ? 2
即实数 m 的取值范围为 m ≤ e ? 2
2

………………………………4 分

(2) g ( x ) = f ( x ) ? x 2 ? 1 = 2 x ? 2 ln(1 + x ) = 2 [ x ? ln(1 + x )] 则 g ′( x ) = 2(1 ?

1 2x )= 1+ x 1+ x

显然,函数 g ( x ) 在 (?1 , 0) 上为减函数,在 (0 , + ∞ ) 上为增函数 则函数 g ( x ) 的最小值为 g (0) = 0 所以,要使方程 g ( x ) = p 至少有一个解,则 p ≥ 0 ,即 p 的最小值为 0
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…………8 分

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(3)由(2)可知: g ( x ) = 2 [ x ? ln(1 + x )] ≥ 0 在 (?1 , + ∞) 上恒成立 所以 令x =

ln(1 + x) ≤ x ,当且仅当 x=0 时等号成立

1 1 1 (n ∈ N * ) ,则 x ∈ (0 , 1) 代入上面不等式得: ln(1 + ) < n n n n +1 1 1 < , 即 ln(n + 1) ? ln n < 即 ln n n n 1 1 1 所以, ln 2 ? ln 1 < 1 , ln 3 ? ln 2 < , ln 4 ? ln 3 < ,…, ln(n + 1) ? ln n < 2 3 n
将以上 n 个等式相加即可得到:

ln(n + 1) < 1 +

1 1 1 + +L+ 2 3 n

………………………………12 分

22. 证明:连结 CE ,Q PA 2 = PB ? PC , PA = 10 , PB = 5 ,

∴ PC = 20 , BC = 15 .


A

Q PA 与⊙ O 相切于点 A ,∴ ∠PAB = ∠ACP ,

∴ ?PAB ∽ ?PCA ,则

AB PB 1 = = . AC PA 2

………………4 分

C

? O D

B

P

Q BC 为⊙ O 的直径,∴ ∠CAB = 90° ,

AC 2 + AB 2 = BC 2 = 225 .
可解得 AC = 6 5 , AB = 3 5 . 又Q AE 平分 ∠BAC ,∴ ∠CAE = ∠EAB , 又Q ∠ABC = ∠E ,∽ ?ADB ,

E

……………………6 分



AB AD = AE AC
…………………………………10 分

AD ? AE = AB ? AC = 3 5 × 6 5 = 90
23. 解: (1)设 P ( ρ , θ ) 是圆上任意一点,

则在等腰三角形 COP 中,OC=2,OP= ρ , ∠COP =| θ ? 所以, ρ = 4 cos(θ ?

π
3

| ,而

π
3

1 | OP |=| OC | cos∠COP 2

) 即为所求的圆 C 的极坐标方程。

……………………5 分

(2)圆 C 的直角坐标方程为 (x ? 1) 2 + ( y ? 3 ) 2 = 4 ,即: x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 3 y = 0

1 ? ?x = 1 + 2 t ? ? 将直线 l 的参数方程 ? 3 ? y = ?2 + 2 t ?

(t 为参数)代入圆 C 的方程得:

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t 2 ? (3 + 2 3 )t + 3 + 4 3 = 0 ,其两根 t1、t 2 满足 t1 ? t 2 = 3 + 4 3
所以, |MA|·|MB| =| t1 ? t 2 |= 3 + 4 3 分 24. 解: (1)因为 y ? 所以, y < (2) | y ? ………………10

2 = 1+

1 2 + x ? 2 ? 2 x ( x ? 2 )(1 ? 2 ) ? 2 = = <0 1+ x 1+ x 1+ x
……………………………………4 分

2

2 | ? | x ? 2 |= |

( x ? 2 )(1 ? 2 ) |?|x? 2 | 1+ x

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