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高一数学期末复习资料——函数综合题训练


2017 届高一数学期末复习资料——函数综合题训练 1. 下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( ). A.y=2|x| B.y=lg(x+ x2+1) C.y=2x+2-x D.y=lg 1 x+1

2. 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) , 且 对 任 意 的 x1 , x2 ? 1( x1 ? x2 ) , 有

1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,设 a ? f ( ? ), b ? f (2), c ? f (3) ,则 a, b, c 的大小关系为 2 x1 ? x2
3.函数 y ? x ? sin x , x ?? ?π, π? 的大致图像是 (A)c ? b ? a (B) b ? a ? c (C) b ? c ? a ( )





(D) a ? b ? c

4.若函数 f ( x) 满足:“对于区间(1,2)上的任意实数 x1,x2(x1≠x2),|f(x2)-f(x1) |<|x2-x1|恒成立”, 则称 f ( x) 为完美函数.在下列四个函数中,完美函数是( ) A. f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ?| x |

C. f ( x) ? 2 x

D. f ( x) ? x 2

5.函数 f ( x) ? a x ? log a x在[1, 2] 上的最大值和最小值之差为 a 2 ? a ? 1 ,则实数 a 的值为( ) (A)2 (B)2 或 4 (C)

6. 设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [m, n] 上的两个函数, 若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ?[m, n] 上有两个不同的零点, 则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [m, n] 上是“相关函数”, 区间 [m, n] 是“相关区间”. 若 f ( x) ? ? x ? tx ? 3 与 g ( x) ? 2 x ? t 在 [2, 4] 上是 “ 相关函数 ” ,则实数 t 的取值范围是
2

1 或4 2

(D)2 或

1 2



) (B) 4 ? 2 6,9 ?

(A) (4 ? 2 6,9) (C) (??, 4 ? 2 6) ? (4 ? 2 6, ??)

?

?

(D) (4 ? 2 6, ??)

1

7.已知函数 f ( x) ? ? 围是( A. [ ? )

?3x ? 1, 0 ? x ? 1
x ?2 ? 1, x ? 1

,设 b ? a ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 a ? f (b) 的取值范

1 , ? ?) 12

B. [ ?

1 1 , ? ) 12 3

2) C. [ ,

2 3

2] D. [ ,

2 3

8 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 减 . 若 实 数 a 满 足

f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是
2



(x+1)2+sinx 9.设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=_ x2+1

___

10、若函数

? a ( ? 4- )x+2, x ? 1 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围 f ( x) ? ? 2 ?a x , x ? 1 ?
2

11.已知函数 f ( x) ? log a ( ax ? x ? ) 在 [1, ] 上恒正,则实数 a 的取值范围是

1 2

3 2

2

13. 函数 f ( x) ? 2x , g ( x) ? ?x2 ? 2x ? b ( b ? R ) ,记 h( x) ? f ( x) ? (1)判断 h( x) 的奇偶性,并证明;

1 f ( x)

( 2 ) 对 任 意 x ??1, 2 ? , 都 存 在 x1, x2 ??1,2? , 使 得 f ( x) ? f ( x1) , g ( x) ? g ( x2 ) . 若

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的值;
(3)若 2
x

h(2 x) ? mh( x) ? 0 对于一切 x ??1,2? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

14.设函数 f ( x) ? x x ? a

(a ? R)
a2 ,求实数 a 的取值范围. 4

(1)讨论 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 x ? [0,1] 时, f ( x) 的最大值为

3

16.已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 。 4x ? 2x ?1 (1) 若对于任意的 x ? R, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (2) 若 f ( x) 的最小值为 ? 2 ,求实数 k 的值; (3) 若对任意的 x1 , x2 , x3 ? R , 均存在以 f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) 为三边长的三角形, 求实数 k
的取值范围。

1.D 2.B

3.C

4.A

5.D

6.B

7C

8. 9.2

a ? 2或0 ? a ?

1 2 10. 4 ? a ? 8



4

13.已知函数

f ( x) ?

x 2 ? ax ? a , x ? ?1,?? ?, 且a ? 1 x

(1)判断 f ( x) 的单调性并证明; (2)若 m 满足 f (3m) ? f (5 ? 2m) ,试确定 m 的取值范围。 (3)若函数 g ( x) ? x ? f ( x) 对任意 x ? ?2,5? 时, g ( x) ? 2 x ? 3 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

2

解: (1) f ( x) 在 1,?? 上为增函数。 (2)1 ? m ? 2 ( 3 ) g ( x)

?

?

? x 2 ? ax ? a ,由 g ( x) ? 2 x ? 3 ? 0 得: x 2 ? a( x ? 1) ? 2 x ? 3 ? 0 ,即
2

2

a( x ? 1) ? ?( x ? 1) 2 ?
a ? ?( x ? 1) ?

1 2



? x ? ?2,5?,? x ? 1? ?3,6? , 那 么 ① 式 可 转 化 为

1 1 所以题目等价于 a ? ?( x ? 1) ? 在 x ? ?2,5? 上恒成立。即 a 大 2( x ? 1) 2( x ? 1)

于函数 y

? ?( x ? 1) ?

1 在 x ? ?2,5? 上的最大值。即求 y ? ( x ? 1) ? 1 在 2( x ? 1) 2( x ? 1)

x ? ?2,5? 上的最小值。令 t ? x ? 1, t ? ?3,6?则y ? t ?
在 t ? ?3,6? 上为增函数,所以最小值为

1 ,由(1)得 1 y?t? 2t 2t

19 。所以 19 ? ? a ? 1。 6 6
1 f ( x)

14..函数 f ( x) ? 2x , g ( x) ? ?x2 ? 2x ? b ( b ? R ) ,记 h( x) ? f ( x) ? (1)判断 h( x) 的奇偶性,并证明;

( 2 ) 对 任 意 x ??1, 2 ? , 都 存 在 x1, x2 ??1,2? , 使 得 f ( x) ? f ( x1) , g ( x) ? g ( x2 ) . 若

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的值;
(3)若 2
x

h(2 x) ? mh( x) ? 0 对于一切 x ??1,2? 恒成立,求实数 m 的取值范围.
(a ? R)
a2 ,求实数 a 的取值范围. 4
5

20.设函数 f ( x) ? x x ? a

(1)讨论 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 x ? [0,1] 时, f ( x) 的最大值为 22.

解: (1) a ? 0, f ( x) ? x | x |, ?x ? R, f (? x) ? ? f ( x) , f ( x) 为奇函数;

a ? 0, f ( x) ? x | x ? a |, f (1) ?| a ? 1 |, f (?1) ? ? | a ? 1 |, f (1) ? f (?1) ? 0
f ( x) 为非奇非偶函数
2 ? ? x ? ax x ? a (2) f ( x) ? x x ? a ? ? 2 ? ?ax ? x x ? a a2 ? a ? ?2 ? 2 2 ① a ? 0 f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a ? 4 ②a ? 0 a a2 ? a ?? (i) ? 1 ? f ( x) max ? f (1) ? 2 4

……4 分

a 1? 2 a a2 ? 1 ? a ? f ( x ) ? f ( ) ? ? a ?[2 2 ? 2, 2] (ii) max 2 2 2 4

1? 2 a2 a ? f ( x)max ? f (1) ? ? a ?? (iii) 1 ? 2 4
综上: a ?[2

2 ? 2, 2] ?{?2 2 ? 2}

……12 分

15.已知函数: f ( x) ? 3x 2 ? 2mx ? 1 , g ( x ) ? x ? (1)求证:一定存在 x0 ? (?1,2) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

7 , 4

(2)若对任意的 x ? ( ?1,2) , f ( x ) ? g ( x ) ,求 m 的取值范围. (3) h( x ) 为奇函数 , 当 x ? 0 时 , h( x ) ? f ( x ) ? 2mx ? 1 , 若 3h( x) ? 2h( x ? sin ? ) 对 ? ? R 恒成 立,求 x 的取值范围. 解: (1) 若存在 x0 ? (?1,2) ,使 f ( x0 ) ? 0 只需 f ( ?1) ? 2m ? 2 ? 0 或 f (2) ? ?4m ? 11 ? 0 即:
2

m ? R ,证毕.

4分

(2) 3 x ? 2mx ? 1 ?| x | ?

7 ,对任意的 x ? ( ?1,2) 恒成立, 4

6

2 ①当 0 ? x ? 2 时, 3x ? (2m ? 1) x ?

3 3 ? 2m ? 1 在 0 ? x ? 2 时恒成立 ? 0 ,即 3 x ? 4x 4

1 3 ? 3 ,当 x ? 时等号成立. 4x 2 所以 3 ? 2m ? 1 ,即 m ? 1
因为 3 x ?
2 ②当 ? 1 ? x ? 0 时, 3 | x | ? (2m ? 1) | x | ?

3 3 ? 0 ,即 3 | x | ? ? 1 ? 2m 在 ? 1 ? x ? 0 时 4 4| x|

恒成立,因为 3 x ?

1 3 ? 3 ,当 x ? ? 时等号成立. 2 4x

所以 3 ? 1 ? 2m ,即 m ? ?1 ③当 x ? 0 时, m ? R . 综上所述,实数 m 的取值范围是 [?1, 1] . (3) h( x) ? 3x x ,在 R 上单调递增 9分

3h( x) ? 2h( x ? sin ? ) 可以化为 h( 3x) ? h( 2 x ? 2 sin ? )
即: 3x ?

2 x ? 2 sin ? 对 ? ? R 恒成立

x?

2 sin ? 对 ? ? R 恒成立 3? 2
14 分

所以 x ? (??,? 6 ? 2]

4x ? k ? 2x ?1 16.已知函数 f ( x) ? 。 4x ? 2x ?1
(4) 若对于任意的 x ? R, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (5) 若 f ( x) 的最小值为 ? 2 ,求实数 k 的值; (6) 若对任意的 x1 , x2 , x3 ? R , 均存在以 f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) 为三边长的三角形, 求实数 k 的取值范围。 . (1) k ? ?2 (2) f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 ? 1? 4x ? 2x ?1

k ?1 , 1 x 2 ? x ?1 2
7

1 k ?1 ? 1 ? 3 ,则 y ? 1 ? (t ? 3) , x t 2 k?2 ] 无最小值,舍去; 当 k ? 1 时, y ? (1, 3
令t ? 2 ?
x

当 k ? 1 时, y ? 1 最小值不是 ? 2 ,舍去;

k?2 k?2 ,1) ,最小值为 ? ?2 ? k ? ?8 , 3 3 综上所述, k ? ?8 。
当 k ? 1 时, y ? [ (3) 由题意, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 对任意 x1 , x2 , x3 ? R 恒成立。 当 k ? 1 时,因 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 故

k?2 2k ? 4 且 1 ? f ( x3 ) ? , 3 3

k?2 ? 2 ,即 1 ? k ? 4 ; 3

当 k ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 1,满足条件;

k?2 1 2k ? 4 2k ? 4 ? f ( x3 ) ? 1 ,故 1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 且 ,? ? k ?1; 3 2 3 3 1 综上所述, ? ? k ? 4 Zxxk 2
当 k ? 1 时,

8


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