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高中数学必修5常考题型:一元二次不等式及其解法(复习课)


一元二次不等式及其解法(复习课)
【常考题型】 题型一、简单的分式不等式
【例 1】 解下列不等式 x+2 x+1 (1) <0;(2) ≤2. 1-x x-2 [解] x+2 x+2 (1)由 <0,得 >0, 1-x x-1

此不等式等价于(x+2)(x-1)>0, ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}. x+1 (2)法一:移项得 -2≤0, x-2 -x+5 x-5 左边通分并化简有 ≤0,即 ≥0, x-2 x-2
? ??x-2??x-5?≥0, 它的同解不等式为? ?x-2≠0, ?

∴x<2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}. x-5 法二:原不等式可化为 ≥0, x-2
? ?x-5≥0, 此不等式等价于? ① ?x-2>0 ? ?x-5≤0, ? 或? ② ?x-2<0, ?

解①得 x≥5,解②得 x<2, ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}. 【类题通法】 1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解, 但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化 为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 【对点训练】 1.解下列不等式:

x+2 (1) ≥0; 3-x

2x-1 (2) >1. 3-4x

? ??x+2??3-x?≥0, 解:(1)原不等式等价于? ?3-x≠0, ? ??x+2??x-3?≤0, ? 即? ?-2≤x<3. ?x≠3 ?

∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}. 2x-1 3x-2 (2)原不等式可化为 -1>0,即 <0. 3-4x 4x-3 等价于(3x-2)(4x-3)<0. 2 3 ∴ <x< . 3 4 2 3 ∴原不等式的解集为{x| <x< }. 3 4

题型二、不等式中的恒成立问题
【例 2】 关于 x 的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1 对 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范 围. [解] 原不等式等价于 mx2+mx+m-1<0,对 x∈R 恒成立, 当 m=0 时,0· x2+0· x-1<0 对 x∈R 恒成立. 当 m≠0 时,由题意,得
?m<0, ?m<0, ? ? ? ?? 2 2 ?Δ=m -4m?m-1?<0 ? ? ?3m -4m>0

m<0, ? ? ?? 4 ?m<0. m<0,或m> ? 3 ? 综上,m 的取值范围为 m≤0. 【类题通法】 不等式对任意实数 x 恒成立, 就是不等式的解集为 R, 对于一元二次不等式 ax2+bx+c>0,
?a>0, ? 它的解集为 R 的条件为? 2 ? ?Δ=b -4ac<0; ? ?a>0, 一元二次不等式 ax2+bx+c≥0,它的解集为 R 的条件为? 2 ?Δ=b -4ac≤0; ?

?a<0, ? 一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为?的条件为? ?Δ≤0. ?

【对点训练】 2.若关于 x 的不等式 ax2+2x+2>0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:当 a=0 时,原不等式可化为 2x+2>0,其解集不为 R,故 a=0 不满足题意,舍去; 当 a≠0 时,要使原不等式的解集为 R,只需
? ?a>0, ? 2 ?Δ=2 -4×2a<0, ?

1 解得 a> . 2 1 ? 综上,所求实数 a 的取值范围为? ?2,+∞?.

题型三、一元二次不等式的实际应用
【例 3】 某农贸公司按每担 200 元收购某农产品,并按每 100 元纳税 10 元(又称征税率 为 10 个百分点),计划可收购 a 万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税 率降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加 2x 个百分点. (1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的 83.2%,试确定 x 的取值范围. [解] (1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为 a(1+2x%)万担,收购总金额为

200a(1+2x%). 依题意得,y=200a(1+2x%)(10-x)% = 1 a(100+2x)(10-x)(0<x<10). 50

(2)原计划税收为 200a· 10%=20a(万元). 1 依题意得, a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%, 50 化简得 x2+40x-84≤0, ∴-42≤x≤2. 又∵0<x<10, ∴0<x≤2. ∴x 的取值范围是{x|0<x≤2}. 【类题通法】 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是:

(1)理解题意,搞清量与量之间的关系; (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题; (3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 【对点训练】 3.某校园内有一块长为 800 m,宽为 600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划 四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花 卉带宽度的范围. 解:设花卉带的宽度为 x m,则中间草坪的长为(800-2x) m,宽为(600-2x) m.根据题意 1 可得 (800 - 2x)(600 - 2x)≥ ×800×600 ,整理得 x2 - 700x + 600×100≥0 ,即 (x - 600)(x - 2 100)≥0,所以 0<x≤100 或 x≥600,x≥600 不符合题意,舍去. 故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.

【练习反馈】
x -2 1.若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B={x| ≤0},则 A∩B=( x A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} )

解析:选 B ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}. 2.已知不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( A.-4≤a≤4 C.a≤-4 或 a≥4
2

)

B.-4<a<4 D.a<-4 或 a>4

解析:选 A 依题意应有 Δ=a -16≤0, 解得-4≤a≤4,故选 A. x+1 3.不等式 ≤3 的解集为________. x x+1 x+1 2x-1 1 解析: ≤3? -3≤0? ≥0?x(2x-1)≥0 且 x≠0?x<0 或 x≥ . x x x 2 1? ? 答案:?x|x<0或x≥2?
? ?

4.若函数 f(x)=log2(x2-2ax-a)的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 解析:已知函数定义域为 R,即 x2-2ax-a>0 对任意 x∈R 恒成立. ∴Δ=(-2a)2+4a<0.

解得-1<a<0. 答案:(-1,0) 5.你能用一根长为 100 m 的绳子围成一个面积大于 600 m2 的矩形吗? 解:设围成的矩形一边的长为 x m,则另一边的长为(50-x) m,且 0<x<50. 由题意,得围成矩形的面积 S=x(50-x)>600, 即 x2-50x+600<0,解得 20<x<30. 所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于 600 m2 的矩形.


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